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    巧用幾何畫板設(shè)計(jì)鑲嵌圖案

    2018-09-08 11:15亢建波
    中國信息技術(shù)教育 2018年16期
    關(guān)鍵詞:教育技術(shù)幾何畫板

    摘要:本文從數(shù)學(xué)教材中的“鑲嵌”話題引入,利用幾何畫板的“平移”“反射”等變換進(jìn)行鑲嵌圖案設(shè)計(jì),有極強(qiáng)的可操作性。這種設(shè)計(jì)方法得到的鑲嵌圖案整體可以進(jìn)行動(dòng)態(tài)變化,且操作簡便,這是利用現(xiàn)代教育技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科融合的典例。

    關(guān)鍵詞:鑲嵌;幾何畫板;教育技術(shù)

    中圖分類號:G434 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 論文編號:1674-2117(2018)15/16-0120-03

    在華東師大版《數(shù)學(xué)》七年級(下)第91頁的閱讀材料《多姿多彩的圖案》中有以下兩幅特殊的圖案(如圖1、圖2)。類似地,在北師大版《數(shù)學(xué)》八年級(下)第85頁的例題中也有類似圖案(如圖2)。

    這兩個(gè)版本的教材中均選擇了這樣的圖案,說明這樣的圖案一定有其神奇之處,而事實(shí)上它們就是鑲嵌圖案。查閱資料可以發(fā)現(xiàn),荷蘭藝術(shù)家埃舍爾(M.C.Escher,1898—1972)對鑲嵌圖案頗有研究,教材中選取的圖2就是出自這位藝術(shù)家的作品《蜥蜴》。他在創(chuàng)作《天使與惡魔》(如圖3)時(shí),更是借助了“旋轉(zhuǎn)”“分形”等變換加以實(shí)現(xiàn)。創(chuàng)作這些作品時(shí),他自覺不自覺地使用了數(shù)學(xué)中的“平移”“軸對稱”“旋轉(zhuǎn)”“分形”等知識,再通過藝術(shù)加工,最后兼具了藝術(shù)性與科學(xué)性。

    分析這些圖案可以發(fā)現(xiàn),它們都是以一個(gè)圖案為基礎(chǔ),將圖案中的一部分進(jìn)行分割,利用“平移”“軸對稱”“旋轉(zhuǎn)”變換中的一種或幾種進(jìn)行變換,拼補(bǔ)后得到一個(gè)新的基本圖案(注意新的基本圖案與原圖案的面積是相等的)。一個(gè)圖案好畫后,要形成一系列有這種特征的圖案,單單借助手工繪圖很難實(shí)現(xiàn)。在教學(xué)實(shí)踐中,如果給學(xué)生布置一個(gè)這樣的實(shí)踐作業(yè),完成的效果基本不會(huì)太好,而利用幾何畫板的“平移”“反射(軸對稱)”“旋轉(zhuǎn)”等變換就可以設(shè)計(jì)出美妙的鑲嵌圖案。

    利用“平移”變換設(shè)計(jì)鑲嵌

    操作過程如下:

    1.畫一個(gè)矩形ABCD。

    2.在矩形ABCD內(nèi)部靠近線段AD,任作三個(gè)點(diǎn)E、F、G,依次選定點(diǎn)A、E、F,選擇菜單欄“構(gòu)造”菜單下“過三點(diǎn)的弧”,就可得到圖4,選定點(diǎn)F、G、D,重復(fù)之前的步驟,可得到圖5。移動(dòng)點(diǎn)E或點(diǎn)F,可改變兩弧的形狀或長度(如圖6)。

    3.依次選定點(diǎn)A、B,選擇菜單欄“變換”菜單下“標(biāo)記向量”,會(huì)看到由點(diǎn)A到點(diǎn)B閃爍一下,接著選定兩弧,選擇菜單欄“變換”菜單下“平移”,彈出“平移”對話框,點(diǎn)擊“平移”按鈕,得到如上頁圖7的效果。

    4.在矩形ABCD內(nèi)部靠近線段CD,任作三個(gè)點(diǎn)H、I、J,依次分別選定D、H、I和I、J、C,重復(fù)步驟2的過程,可得如圖8的效果。依次選定點(diǎn)D、A,選擇菜單欄“變換”菜單下“標(biāo)記向量”,會(huì)看到由點(diǎn)D到點(diǎn)A閃爍一下,接著選定兩弧DHI和IJC,重復(fù)步驟3中的其余步驟,得到如圖9的效果。

    5.依次選定線段AB、BC、CD、DA,選擇菜單欄“顯示”菜單下“隱藏對象”,實(shí)現(xiàn)隱藏四條線段(或按快捷鍵Ctrl+H也可)。選定點(diǎn)E、F、G,選擇菜單欄“編輯”菜單下“操作類按鈕”的下級菜單“隱藏/顯示”按鈕,生成一個(gè)“隱藏/顯示”圖標(biāo)按鈕。點(diǎn)擊按鈕,可以讓以上各點(diǎn)隱藏或顯示,為后期形成整幅圖案后,調(diào)整基本圖案做好準(zhǔn)備工作。同時(shí)如果需要調(diào)整基本圖案,可以適當(dāng)調(diào)整A、B、C、D、E、F、G中的某點(diǎn)或幾個(gè)點(diǎn)的位置,以進(jìn)一步美化圖案。

    6.依次選定點(diǎn)A、D,選擇菜單欄“變換”菜單下“標(biāo)記向量”,會(huì)看到由點(diǎn)A到點(diǎn)D閃爍一下,接著選定所有對象(整幅圖案),選擇菜單欄“變換”菜單下“平移”,用文本工具點(diǎn)擊點(diǎn)D平移后的對應(yīng)點(diǎn)D',會(huì)顯示出“D'”,依次選定點(diǎn)A、D',重復(fù)之前步驟,出現(xiàn)圖10的效果。

    7.依次選定點(diǎn)A、B,選擇菜單欄“變換”菜單下“標(biāo)記向量”,會(huì)看到由點(diǎn)A到點(diǎn)B閃爍一下,接著選定所有對象(整幅圖案),選擇菜單欄“變換”菜單下“平移”。根據(jù)需要可重復(fù)步驟6、7,得到圖11的效果。如果根據(jù)需要打印出來,適當(dāng)涂色,則可變換出各種效果。

    利用文本工具依次點(diǎn)左上角第一幅圖,可看到點(diǎn)的標(biāo)簽隱藏,適當(dāng)調(diào)整圖中某一點(diǎn)或某幾個(gè)點(diǎn)的位置,則會(huì)出現(xiàn)整個(gè)圖案動(dòng)態(tài)變化。

    利用“平移”“軸對稱”變換設(shè)計(jì)鑲嵌

    如何能出現(xiàn)圖1、圖2的特殊效果呢?有了上面第一種做法為基礎(chǔ),用“平移”“軸對稱”進(jìn)行鑲嵌圖案的設(shè)計(jì)就很好操作了。具體步驟如下:

    1.任畫一條線段AB,并分別過點(diǎn)A、B作AB的垂線,在過點(diǎn)A的垂線上任取一點(diǎn)C,雙擊線段AB(或選擇菜單欄“變換”菜單下“標(biāo)記鏡面”),選定點(diǎn)C,選擇菜單欄“變換”菜單下“反射”,得到點(diǎn)C'(如點(diǎn)C'標(biāo)簽未顯示,則點(diǎn)擊左側(cè)文本工具,再點(diǎn)擊點(diǎn)C',即可顯示標(biāo)簽)。

    2.在線段AB上方取三點(diǎn)D、E、F,依次選中B、D、F,選擇菜單欄“構(gòu)造”菜單下“過三點(diǎn)的弧”,得到弧BDE,同理再作弧CFE。

    3.選定過點(diǎn)B的垂線,選擇菜單欄“變換”菜單下“標(biāo)記鏡面”(雙擊該直線也可標(biāo)記),會(huì)看到該直線閃爍一下。同時(shí)選定弧BDE與弧CFE(不選點(diǎn)),選擇菜單欄“變換”菜單下“反射”,得到圖12。

    4.依次選中點(diǎn)B、C', 選擇菜單欄“變換”菜單下“標(biāo)記向量”,同時(shí)選定剛剛步驟3中得到的兩弧,選擇菜單欄“變換”菜單下“平移”,彈出對話框,點(diǎn)擊“平移”,得到圖13。隱藏步驟3中得到的兩弧。

    5.在直線AC右側(cè)(靠近AC),線段AB上方取點(diǎn)G、H、I,依次選中A、G、H,選擇菜單欄“構(gòu)造”菜單下“過三點(diǎn)的弧”,得到弧AGH,同理再作弧CIH。

    6.雙擊該直線AC標(biāo)記鏡面,同時(shí)選定弧AGH與弧CIH,選擇菜單欄“變換”菜單下“反射”,得到上頁圖14。

    7.依次選中點(diǎn)A、C',選擇菜單欄“變換”菜單下“標(biāo)記向量”,同時(shí)選定剛剛步驟6中得到的兩弧,選擇菜單欄“變換”菜單下“平移”,彈出對話框,點(diǎn)擊“平移”,得到上頁圖15。隱藏步驟6中得到的兩弧。

    8.分別選定線段AB及兩垂線,按快捷鍵Ctrl+H,加以隱藏?;緢D案已經(jīng)完成。

    9.選定點(diǎn)G、H、I、D、E、F,選擇菜單欄“編輯”菜單下“操作類按鈕”的下級菜單“隱藏/顯示”按鈕,生成一個(gè)“隱藏/顯示”圖標(biāo)按鈕,點(diǎn)擊按鈕,可以讓以上各點(diǎn)隱藏或顯示,為后期形成整幅圖案后,調(diào)整基本圖案做好準(zhǔn)備工作。

    10.依次選中點(diǎn)A、B,選擇菜單欄“變換”菜單下“標(biāo)記向量”,同時(shí)選定圖案中的所有弧和點(diǎn)B,選擇菜單欄“變換”菜單下“平移”,彈出對話框,點(diǎn)擊“平移”,得到上頁圖16。用文本工具點(diǎn)擊最右側(cè)點(diǎn),顯示點(diǎn)B'的標(biāo)簽,依次選中點(diǎn)A、B',重復(fù)剛才的操作過程,可得如圖17的圖案。根據(jù)需要,可繼續(xù)重復(fù)之前過程(注意:不能復(fù)制粘貼后再手動(dòng)平移)。

    11.依次選中點(diǎn)C、C',選擇菜單欄“變換”菜單下“標(biāo)記向量”,同時(shí)選定圖案中的所有弧和點(diǎn)C',選擇菜單欄“變換”菜單下“平移”,彈出對話框,點(diǎn)擊“平移”。用文本工具點(diǎn)擊最下端的點(diǎn),顯示點(diǎn)C''的標(biāo)簽,依次選中點(diǎn)C、C'',重復(fù)剛才的操作過程,可得類似圖18的圖案。

    如果要調(diào)整圖案形狀,就需要調(diào)整A、B、C點(diǎn)的位置,更進(jìn)一步可以點(diǎn)擊步驟9中生成的“隱藏/顯示”圖標(biāo)按紐,對其他點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整。這時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn),左上角的基本圖案變化的同時(shí),其他部分也變化了。

    你理解整個(gè)鑲嵌圖案設(shè)計(jì)的原理了嗎?你是否想嘗試挑戰(zhàn)一下自己,用“平移”“旋轉(zhuǎn)”等變換設(shè)計(jì)一個(gè)鑲嵌圖案?

    參考文獻(xiàn):

    [1]王建磐.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)(七下)[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2016,12.

    [2]江玉軍.幾何畫板5.0從入門到精通[M].中山:中山大學(xué)出版社,2011,8.

    [3]邵新虎,王鳳進(jìn),羅新展.利用幾何畫板探究數(shù)學(xué)問題[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2016,4.

    作者簡介:亢建波,山西省臨汾市第一中心學(xué)校數(shù)學(xué)高級教師。

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