覆冰導(dǎo)線馳振時(shí)其極限環(huán)幅值反饋控制

閔光云， 劉小會(huì)1,*， 孫測(cè)世， 蔡萌琦

(1.重慶交通大學(xué)土木工程學(xué)院， 重慶 400074； 2.重慶交通大學(xué)省部共建山區(qū)橋梁及隧道工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 重慶 400074；3.成都大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院， 成都 610106)

覆冰導(dǎo)線的馳振是一種典型的自激振動(dòng)，由于其馳振形狀類似于龍舞，因此又稱舞動(dòng)，其主要特點(diǎn)表現(xiàn)為小變形、大位移[1-3]。在雨凇、霜淞等惡劣環(huán)境下馳振的持續(xù)時(shí)間可長達(dá)數(shù)十日，導(dǎo)線馳振會(huì)產(chǎn)生交變張力，大幅變化的交變張力易使得導(dǎo)線疲勞、金具磨損，嚴(yán)重時(shí)可導(dǎo)致結(jié)構(gòu)功能失效。針對(duì)馳振所產(chǎn)生的交變張力問題，王少華等[4]采用仿真與理論結(jié)合的方法研究了覆冰導(dǎo)線的舞動(dòng)特性并討論了物理參數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)張力的影響。黃欲成等[5]采用能量平衡法分析了導(dǎo)線Bate阻尼線體系的微風(fēng)振動(dòng)特性，其研究成果表明交變張力可改變輸電導(dǎo)線的防振特性。針對(duì)導(dǎo)線的馳振機(jī)理問題，不同的學(xué)者建立了不同的模型，提出了不同的馳振機(jī)理，但目前學(xué)術(shù)界普遍接受的還是Hartog[6]提出的豎向失穩(wěn)機(jī)理，以及Nigol等[7]為代表的學(xué)者提出的豎向-扭轉(zhuǎn)二自由度耦合的舞動(dòng)機(jī)理。基于提出的馳振機(jī)理，再根據(jù)試驗(yàn)或者仿真得到導(dǎo)線的三分力氣動(dòng)參數(shù)，接著就能研究導(dǎo)線的舞動(dòng)特性。蔡萌琦等[8]首先進(jìn)行了覆冰八分裂導(dǎo)線的風(fēng)洞試驗(yàn)，接著通過ABAQUS用戶子單元施加氣動(dòng)荷載，研究了覆冰八分裂導(dǎo)線的舞動(dòng)特性。向玲等[9]采用流體計(jì)算軟件模擬了覆冰四分裂導(dǎo)線各子導(dǎo)線的氣動(dòng)參數(shù)，接著將四分裂導(dǎo)線等效為繞中心軸的一根導(dǎo)線，基于馳振控制方程分析了四分裂導(dǎo)線的舞動(dòng)特性。

在以上學(xué)者們的研究基礎(chǔ)上[1-14]，推導(dǎo)單擋導(dǎo)線馳振控制方程，通過風(fēng)洞試驗(yàn)得到覆冰導(dǎo)線的三分力氣動(dòng)參數(shù)，基于多尺度法求解覆冰導(dǎo)線發(fā)生馳振時(shí)產(chǎn)生的極限環(huán)的表達(dá)式，最后通過引入線性、平方非線性、三次非線性反饋控制器實(shí)現(xiàn)對(duì)極限環(huán)幅值的控制。

1 單擋導(dǎo)線馳振方程

為推導(dǎo)單擋導(dǎo)線的馳振控制方程，首先建立單擋導(dǎo)線力學(xué)模型，如圖1所示。圖1中，青色曲線表示導(dǎo)線的靜態(tài)平衡構(gòu)型，其上的微元用ds表示；藍(lán)色曲線表示導(dǎo)線在外部荷載作用下的動(dòng)態(tài)構(gòu)型，其上的微元用ds′表示。y表示導(dǎo)線豎向的靜態(tài)位移，w表示導(dǎo)線豎向的動(dòng)態(tài)位移，x表示導(dǎo)線橫向的靜態(tài)位移，u表示導(dǎo)線橫向的動(dòng)態(tài)位移。

圖1 單擋導(dǎo)線力學(xué)模型Fig.1 Mathematical model of single conductor

假設(shè)導(dǎo)線為連續(xù)體，分別在導(dǎo)線靜態(tài)平衡構(gòu)型與動(dòng)態(tài)平衡構(gòu)型上取出一微元段，如圖2所示。

圖2中，T表示導(dǎo)線靜態(tài)張力；Q、Q′分別表示導(dǎo)線靜態(tài)構(gòu)型、動(dòng)態(tài)構(gòu)型上微元段所受剪力；M、M′分別為導(dǎo)線靜態(tài)構(gòu)型、動(dòng)態(tài)構(gòu)型上微元段所受彎矩；τ為動(dòng)張力。

圖2 導(dǎo)線微元圖Fig.2 Micro element diagram of conductor

列出導(dǎo)線y軸方向靜力平衡方程，即

(1)

式(1)中：m表示導(dǎo)線單位質(zhì)量；g表示重力加速度。

列出擾動(dòng)狀態(tài)下導(dǎo)線的動(dòng)態(tài)平衡方程，即

(2)

由材料力學(xué)可知：

(3)

式(3)中：EI表示彎曲剛度;w″表示對(duì)位移x求二階導(dǎo)數(shù)。

假設(shè)導(dǎo)線垂度很小，且u沿x軸方向變化不大，即

(4)

聯(lián)立式(1)～式(4)可得：

(5)

式(5)即考慮抗彎剛度的動(dòng)力學(xué)方程。

動(dòng)張力的表達(dá)式為

(6)

忽略導(dǎo)線軸向的慣性力，可將動(dòng)張力表示為

(7)

將式(7)代入式(5)可得：

(8)

式(8)中：fc表示阻尼系數(shù);Fair表示空氣荷載,其表達(dá)式為

(9)

式(9)中：ρ為空氣動(dòng)力系數(shù)；D為導(dǎo)線迎風(fēng)直徑；U為當(dāng)?shù)仄骄L(fēng)速；Cy(α)為氣動(dòng)參數(shù)，其表達(dá)式為

Cy(α)=α1α+α2α2+α3α3

(10)

式(10)中：α1、α2、α3需通過風(fēng)洞試驗(yàn)獲得；α為瞬時(shí)攻角，其表達(dá)式為

(11)

式(1)中：α0為初始攻角；θ為扭轉(zhuǎn)角。

導(dǎo)線的馳振特征主要由基本模態(tài)決定，因此可將導(dǎo)線的動(dòng)態(tài)位移寫為

w=φ(x)q(t)

(12)

式(12)中：φ(x)表示模態(tài)函數(shù)；q(t)為時(shí)間函數(shù)。

將式(9)～式(12)代入式(8)并結(jié)合Galerkin離散法可得：

(13)

式(13)中：

為方便使用多尺度法分析，現(xiàn)轉(zhuǎn)化式(13)的表達(dá)式為

(14)

2 風(fēng)洞試驗(yàn)

為確定導(dǎo)線的覆冰類型以及與風(fēng)洞試驗(yàn)相關(guān)的各項(xiàng)參數(shù)，于2008年到四川省西昌市對(duì)覆冰導(dǎo)線進(jìn)行觀測(cè)調(diào)研。圖3所示為導(dǎo)線的覆冰類型，主要表現(xiàn)為新月形冰型。

圖3 現(xiàn)場(chǎng)調(diào)研所得導(dǎo)線覆冰冰型Fig.3 Iced type of conductor obtained from investigation

覆冰模型的材料采用木頭，按實(shí)際形狀進(jìn)行加工，然后粘貼在導(dǎo)線模型表面，如圖4所示。

圖4 覆冰冰型模型Fig.4 Ice covered model

采用擬靜態(tài)方法，選取一段導(dǎo)線模型，進(jìn)行氣動(dòng)參數(shù)測(cè)試，測(cè)試模型如圖5所示。

圖5 覆冰單導(dǎo)線舞動(dòng)模擬試驗(yàn)?zāi)Ｐ虵ig.5 Galloping simulation model of iced single conductor

通過風(fēng)洞試驗(yàn)測(cè)得12 mm冰厚的新月形覆冰單導(dǎo)線在10 m/s風(fēng)速作用下三分力系數(shù)隨瞬時(shí)攻角的變化曲線，如圖6所示。

圖6 覆冰單導(dǎo)線空氣動(dòng)力系數(shù)Fig.6 Aerodynamic coefficients of iced single conductor

3 多尺度法求極限環(huán)

針對(duì)非線性振動(dòng)系統(tǒng)的研究方法有多種，但多尺度法是比較傳統(tǒng)的方法，且覆冰導(dǎo)線的馳振屬于弱非線性振動(dòng)，因此選取多尺度法。為方便覆冰導(dǎo)線馳振方程的處理，引入式(15)：

(15)

覆冰導(dǎo)線的馳振屬于弱非線性振動(dòng)系統(tǒng)，因此式(14)可改寫為

(16)

根據(jù)多尺度法可將式(16)的解設(shè)為

x=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)+…

(17)

式(17)中：T0、T1表示兩個(gè)時(shí)間尺度，(T0=t,T1=εt)且滿足：

(18)

將式(17)代入式(18)可得：

(19)

將式(19)代入式(15)，并將涉及ε0項(xiàng)的系數(shù)、ε1項(xiàng)的系數(shù)分別整理在一起，即

ε0階：

(20)

ε1階：

κ4(D0x0)2+κ5(D0x0)3

(21)

令：

x0=A(T1)exp(iω0T0)+cc

(22)

式(2)中：cc表示式(22)共軛項(xiàng)。

將式(22)代入式(21)可得：

(23)

根據(jù)微分方程的可解條件，求解式(23)首先需消除其永年項(xiàng)，即

(24)

為方便計(jì)算，先引入極坐標(biāo)函數(shù)：

A(T1)=0.5aexp(iφ)

(25)

式(25)中：a表示幅值；φ表示相位；i為虛數(shù)單位。

將式(25)代入式(23)并且分離虛部可得到平均方程為

(26)

針對(duì)求解系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的問題，令式(26)左端為0，即可得到：

(27)

4 反饋控制器

4.1 線性反饋控制器

(28)

同樣運(yùn)用多尺度法可得式(28)的穩(wěn)態(tài)解為

(29)

觀察式(29)可得知:當(dāng)κ=0時(shí)，式(29)即等價(jià)式(27),即未受控的下覆冰導(dǎo)線馳振的極限環(huán)表達(dá)式;當(dāng)κ=-κ3時(shí)，可將幅值控制到0。

4.2 二次非線性反饋控制器

(30)

同理，運(yùn)用多尺度法可得式(30)的穩(wěn)態(tài)解為

(31)

觀察式(31)可知其與式(27)完全一樣，即二次非線性反饋控制系統(tǒng)對(duì)覆冰導(dǎo)線馳振下的幅值不起控制作用。

4.3 三次非線性反饋控制器

(32)

同理，運(yùn)用多尺度法可得式(32)的穩(wěn)態(tài)解為

(33)

觀察式(33)可得知:當(dāng)κ=0時(shí)，式(33)即等價(jià)式(27);當(dāng)κ=-κ5時(shí)，可將幅值控制到0。

5 算例分析

根據(jù)以上分析可知，線性反饋控制器、三次非線性控制器皆能控制覆冰導(dǎo)線馳振時(shí)所產(chǎn)生的幅值。為了驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性，下面將通過具體的數(shù)值算例給出解釋。導(dǎo)線的物理參數(shù)如表1[14]所示，模態(tài)函數(shù)選取φ(x)=sin(πx/l)，導(dǎo)線長度l為300 m。

表1 導(dǎo)線的物理參數(shù)Table 1 Physical parameters

根據(jù)以上導(dǎo)線的物理參數(shù)以及風(fēng)洞試驗(yàn)所得的三分力氣動(dòng)系數(shù)并基于MATLAB可得覆冰導(dǎo)線馳振下受控與不受控的極限環(huán)，如圖7所示。

觀察圖7可知，不論是線性反饋控制器還是三次非線性反饋控制器皆能控制覆冰導(dǎo)線馳振下所產(chǎn)生的極限環(huán)的大小，針對(duì)具體的覆冰導(dǎo)線選取合適的反饋控制函數(shù)完全能使得導(dǎo)線的幅值為0。

為了更加清晰地分析反饋控制器對(duì)幅值的控制效果，下面給出了導(dǎo)線處于穩(wěn)定狀態(tài)下任意10 s的位移時(shí)程曲線，如圖8所示。

圖8 舞動(dòng)時(shí)程曲線Fig.8 Time history curve of galloping

觀察圖8可以發(fā)現(xiàn)，反饋控制器在不改變系統(tǒng)的周期的前提下能對(duì)導(dǎo)線的幅值起到明顯的抑制作用。由于導(dǎo)線的幅值隨著κ的變化而變化，因此針對(duì)具體的覆冰導(dǎo)線選取合適的κ能將其馳振所產(chǎn)生的幅值降為最小，從而保證工程的安全。

6 結(jié)論

根據(jù)研究，所得結(jié)論如下。

(1)將導(dǎo)線假設(shè)為連續(xù)體，推導(dǎo)了導(dǎo)線馳振方程，進(jìn)行了風(fēng)洞試驗(yàn)，所得的三分力氣動(dòng)參數(shù)能給以實(shí)際工程一定的參考價(jià)值。

(2)通過多尺度法求得了導(dǎo)線馳振下所產(chǎn)生的極限環(huán)的表達(dá)式，通過引入線性反饋控制函數(shù)與三次非線性反饋控制函數(shù)降低了極限環(huán)的幅值，進(jìn)而能保證工程結(jié)構(gòu)的安全運(yùn)行。