七階Kaup-Kupershmidt方程的經(jīng)典李群分析和精確解

盧毅輝， 胡恒春

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

1 問(wèn)題的提出

非線性發(fā)展方程可以描述自然界中的各種非線性現(xiàn)象，并且在物理、化學(xué)和生物等學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用。因此，研究這些非線性發(fā)展方程的解及解的性質(zhì)具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。到目前為止，學(xué)者們已經(jīng)提出許多有效的方法來(lái)研究非線性模型的可積性質(zhì)和精確解，例如：反散射方法、Hirota雙線性方法、擴(kuò)展的tanh方法、指數(shù)展開(kāi)法、Painlevé分析法等[1-10]。

4 結(jié) 論

通過(guò)經(jīng)典李群方法對(duì)七階KK方程進(jìn)行了研究，得到了該方程對(duì)應(yīng)的無(wú)窮小，進(jìn)而得到了不同形式的約化方程。最后，通過(guò)求解約化方程得到了多種形式的精確解，包括有理解、橢圓函數(shù)解、三角函數(shù)解、雙曲函數(shù)解、冪級(jí)數(shù)解，且給出了冪級(jí)數(shù)解收斂性的證明。

通過(guò)本文的分析可以看出，在解決非線性發(fā)展方程時(shí)，可以通過(guò)李群變換法巧妙地對(duì)原偏微分方程進(jìn)行約化，進(jìn)而通過(guò)對(duì)約化方程的求解來(lái)獲得原方程的解。但是隨著方程維數(shù)的增加，其約化難度將會(huì)變得困難許多。另外，如何對(duì)得到的約化方程進(jìn)行有效處理使其轉(zhuǎn)化為我們熟知的方程，亦即探討約化方程與已知方程的聯(lián)系是一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題。目前對(duì)約化方程的處理大多借助于函數(shù)展開(kāi)，例如，擴(kuò)展的tanh展開(kāi)法、Riccati展開(kāi)法、微分方程展開(kāi)法、冪級(jí)數(shù)法等。但是，能否通過(guò)某些適當(dāng)?shù)淖儞Q將約化方程巧妙地轉(zhuǎn)化為我們?nèi)菀捉鉀Q的方程或者是否有更為有效的方法來(lái)處理約化方程值得今后深入研究。