樹立主線思維 例談平面向量復(fù)習(xí)

廣東省深圳市高級中學(xué) (518040) 高 軍

在平面向量高考復(fù)習(xí)過程中，樹立主線思維，構(gòu)建平面向量知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，形成數(shù)學(xué)解題基本思想方法和積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)這兩個(gè)過程中發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

1 問題呈現(xiàn)及變式探究

問題已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是，最大值是.

分析：本試題是2020年我校高三一道數(shù)學(xué)理科調(diào)研試題，題干簡潔，解法多樣，內(nèi)涵豐富.主要考查向量的線性運(yùn)算與坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).因?yàn)橄蛄烤哂写鷶?shù)與幾何的雙重身份，所以問題的解決可以從這兩條主線切入.

圖1

評注：(1)向量融數(shù)與形于一體，在解決問題時(shí)，基底法與圖形法從形(幾何)的角度切入，坐標(biāo)法與不等式法從數(shù)(代數(shù))的角度展開.(2)從另外角度探究問題，由平行四邊形性質(zhì)易得|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)=10，設(shè)|a+b|=x，|a-b|=y，故原問題可轉(zhuǎn)化為：

已知x2+y2=10(其中1≤x≤3，1≤y≤3)，求x+y的最值.這是我們非常熟悉的問題，有多種方法解決.

由此得到下列變式題，讀者不妨試一試.

變式2 已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|-|a-b|的最小值是，最大值是.(答案：-2，2)

變式3 已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|·|a-b|的最小值是，最大值是.(答案：3，5)

2 復(fù)習(xí)思考

2.1 以代數(shù)與幾何為主線，構(gòu)建基礎(chǔ)知識網(wǎng)絡(luò)體系

在高三平面向量復(fù)習(xí)過程中，以代數(shù)與幾何為主線構(gòu)建平面向量知識網(wǎng)絡(luò)體系，把握住“一組概念、兩條主線、三個(gè)定理、四種運(yùn)算、五類運(yùn)用”，有利于學(xué)生更全面、系統(tǒng)掌握平面向量知識間的內(nèi)在聯(lián)系，也有利于培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、知識建構(gòu)的能力.一組概念即向量、向量的模、零向量、單位向量、相等向量等向量基本概念；兩條主線是指向量的幾何和代數(shù)兩種思維視角.三個(gè)定理指的是平面向量基本定理、共線向理定理、三點(diǎn)共線定理.四種運(yùn)算指的是兩向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積.五類運(yùn)用是指從代數(shù)與幾何的視角來解決兩向量的垂直、平行、向量的模、夾角、投影等五類問題.

2.2 以代數(shù)與幾何為主線，形成平面向量基本解題方法

縱觀近幾年的高考試題，平面向量試題以客觀題居多，考查內(nèi)容聚焦平面向量基本概念與運(yùn)算、平面向量的最值問題.另外，平面向量在三角函數(shù)、解析幾何、函數(shù)不等式、立體幾何等知識模塊均有滲透，體現(xiàn)其工具性和思想性.

2.2.1 平面向量基本概念及其運(yùn)算

圖2

評注：平面向量的數(shù)量積是平面向量問題中的重點(diǎn)之一，基底法與坐標(biāo)法是解決問題的通性通法.同時(shí)利用數(shù)量積可以解決與長度、角度、平行、垂直、投影等相關(guān)的問題.

2.2.2 平面向量中的最值問題

例2 已知向量a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0，則|c|最大值是.

圖3

圖4

解析：如圖4所示，由題意得O，A，B，C四點(diǎn)共圓，當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)，則|c|取最大值為|OC|=2|OA|=2.

變式2已知平面向量a，b滿足|a|=|b|=2，若存在單位向量c，使得(a-c)·(b-c)=0，則|a-b|的取值范圍是.

圖5

變式3 若a，b，c均為單位向量，且a·b=0，(a-c)·(b-c)≤0，則|a+b-c|的最大值為.

圖6

評注：平面向量中的最值與范圍問題是熱點(diǎn)與難點(diǎn)問題.此類問題綜合性強(qiáng)，對思維能力要求較高.通常有兩種思路：一是“數(shù)化”即利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算，建立變量的函數(shù)解析式，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值與范圍問題.二是“形化”即利用平面向量幾何意義解決問題，上述變式題的解法體現(xiàn)了向量幾何意義.

2.2.3 平面向量與其他知識的交匯

圖7

評注：向量的?？梢岳米鴺?biāo)來表示，也可借助“形”，這是兩種不同的思維視角.作為中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，向量成為聯(lián)系各模塊知識的橋梁，高三復(fù)習(xí)應(yīng)在梳理基本知識的基礎(chǔ)上，關(guān)注平面向量在其他知識模塊的應(yīng)用，滲透用向量來解決問題的思想方法.

2.3 以代數(shù)與幾何為主線，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)首先要求學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中掌握“四基”，即數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).其次是在應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中提高“四能”，即從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析問題和解決問題的能力.進(jìn)而在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)這兩個(gè)過程中發(fā)展六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).在平面向量復(fù)習(xí)備考中，從代數(shù)角度解決問題，重在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科核心素養(yǎng).從幾何角度解決問題，重在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、幾何直觀、邏輯推理等學(xué)科核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如何在數(shù)學(xué)教學(xué)課堂落地生根，需要一線教師勤于思考、注重實(shí)踐、持之以恒.