小學(xué)生數(shù)學(xué)識圖、畫圖與析圖能力培養(yǎng)

蔡鳳梅

摘? ? 要?? ?小學(xué)生數(shù)學(xué)識圖、作圖與析圖能力的強弱直接影響到幾何直觀能力的發(fā)展，影響到學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上教師要致力于實現(xiàn)“多方法、多視角和多策略”，即多種方法培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)識圖能力、多種視角培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)畫圖能力和多種策略發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)析圖能力，從而有效提高學(xué)生識圖、作圖與析圖能力，促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

關(guān)鍵詞? ?小學(xué)生 數(shù)學(xué) 識圖 作圖 析圖

基于幾何直觀主要是利用圖形生動形象地描述數(shù)學(xué)現(xiàn)象、問題，有助于學(xué)生直觀地分析問題，有效地架起數(shù)學(xué)抽象與學(xué)生思維直觀之間的橋梁。因而在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上要關(guān)注學(xué)生識圖、作圖與析圖能力的培養(yǎng)?？v觀當(dāng)下很多課堂，教師雖然能運用圖形幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識，但更多的只是教師單向式的解析與引導(dǎo)，很少關(guān)注學(xué)生對圖形的理解與運用。這顯然不利于學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展，不利于學(xué)生可持續(xù)發(fā)展。筆者結(jié)合一些具體的教學(xué)案例談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生識圖、作圖與析圖能力，從而有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、多種方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)識圖能力

教學(xué)實踐表明，小學(xué)生容易對直觀、生動的圖形產(chǎn)生興趣，并快速投入到學(xué)習(xí)活動中來。因此，我們要深入研究學(xué)生的認知特點和規(guī)律，并結(jié)合具體的數(shù)學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生在識圖活動中對圖意進行有序的描述，培養(yǎng)學(xué)生從圖中搜集、分析和處理信息的能力，體悟數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生過程，從而實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的深度理解。

1.呈現(xiàn)多種圖形位置，培養(yǎng)學(xué)生圖形辨識能力

由于小學(xué)生生活經(jīng)驗和抽象思維能力有限，如果教師呈現(xiàn)的圖形位置比較單一，則會導(dǎo)致學(xué)生窄化數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵和外延。因而，教師要根據(jù)圖形的本質(zhì)特征，呈現(xiàn)豐富的圖形素材進行多種圖形位置的擺放，促使學(xué)生能在數(shù)學(xué)直覺的基礎(chǔ)上正確了解數(shù)學(xué)知識的典型類型與常見變式，不斷豐富數(shù)學(xué)表象，提高學(xué)生辨識圖形的能力。

如筆者在教學(xué)人教版《數(shù)學(xué)》二年級上冊“認識直角”一課時，讓學(xué)生嘗試用三角板畫直角，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生所畫的直角都是由一條水平邊與另一條豎直邊組成的。顯然學(xué)生對直角的認知并沒有深入，只是想當(dāng)然地認為直角就是由一條水平邊與另一條豎直邊組成的。如果對學(xué)生的這種“想當(dāng)然”沒有正確的引導(dǎo)，則直接影響到后續(xù)四年級畫垂線與畫三角形的高的學(xué)習(xí)（見圖1）。因而，為了培養(yǎng)學(xué)生識圖能力，筆者在黑板上呈現(xiàn)一組各種不同姿勢的直角讓學(xué)生辨別（見圖2）。當(dāng)學(xué)生初步對直角有一個建構(gòu)時，筆者繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生進行思考：為什么姿勢不一樣卻都是直角？逼著學(xué)生通過觀察、驗證，從而領(lǐng)悟到直角不只是停留在文字層面的“直直的角”，而是只要兩條射線所組成的角是90°，那么這個角就是直角。為了進一步讓學(xué)生對直角有更深刻的辨識，筆者將班級里前桌的一位學(xué)生畫的直角，正正地貼在黑板上，問大家是不是直角，繼而多次、多角度地變換“貼”的方向，從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)同一個直角不管怎樣擺放，終究還是直角。課堂上，通過多個直角圖形位置的擺放讓學(xué)生識別直角的真正內(nèi)涵，又通過同一直角的不同擺放讓學(xué)生識辨直角的外延，從而打破了學(xué)生的思維禁錮，建立概念清晰的表象，提升學(xué)生圖形的識別能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下了堅實的基礎(chǔ)。

2.呈現(xiàn)多樣圖形變化，建立圖形之間內(nèi)在聯(lián)系

“圖形變換”是學(xué)生最常用于解決幾何圖形的重要數(shù)學(xué)策略。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要靈活打通各種圖形之間千絲萬縷的內(nèi)在聯(lián)系，巧妙地運用平移、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)、割補等方法來多樣地呈現(xiàn)圖形變化，從而增強學(xué)生的識圖能力。如在教學(xué)人教版《數(shù)學(xué)》五年級上冊“梯形的面積計算”一課時，可以引導(dǎo)學(xué)生將兩個完全一樣的梯形拼成一個平行四邊形來推導(dǎo)面積計算公式，也可以啟發(fā)學(xué)生將梯形進行割補，轉(zhuǎn)化成一個平行四邊形來推導(dǎo)面積計算公式，還可以通過畫輔助線方法來推導(dǎo)梯形面積公式等等。同一圖形不同變化推導(dǎo)出同樣的面積計算公式，打通圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，增強學(xué)生識圖能力的同時，也有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

3.呈現(xiàn)多維圖形組合，提升圖形綜合識讀水平

教師有意識地呈現(xiàn)復(fù)雜多維的圖形組合，并引導(dǎo)學(xué)生從圖中搜集、分析和處理信息，巧妙排除干擾因素，由表及里、去偽存真，抓住圖形本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生利用“化繁為簡”的數(shù)學(xué)思想方法巧妙地把復(fù)雜多維的圖形轉(zhuǎn)化成簡單的圖形，從而有效地提升學(xué)生的圖形綜合識讀水平。如圖3是邊長為4cm的正方形，求陰影部分面積。這道題乍一看有點復(fù)雜，其中有正方形、扇形和三角形等多種圖形，要求的是不規(guī)則圖形的面積。在教學(xué)時，筆者引導(dǎo)學(xué)生連接AD，得到第二幅圖，有的學(xué)生恍然大悟，得出陰影面積是以C為圓心與以B為圓心的兩個90°的扇形交叉部分面積，但還是有部分學(xué)生表示不理解，于是筆者通過課件在第二幅圖形上設(shè)計閃動動作抽象出第三幅圖，這時學(xué)生的思路一下子清晰了。通過圖形的分割與變換認識圖形，成功將復(fù)雜的多維圖形組合轉(zhuǎn)化成簡單熟悉的圖形。經(jīng)常性地進行這樣訓(xùn)練，可以讓學(xué)生從直觀而復(fù)雜的圖形中獲取數(shù)學(xué)信息，并通過加工轉(zhuǎn)化，激活數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的綜合讀圖水平。

二、多種視角，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)畫圖能力

用圖形直觀語言表述數(shù)學(xué)概念，可以有效降低數(shù)學(xué)知識的抽象程度，促使學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)有一個更為清晰的建構(gòu)。因此，教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中要研透、讀懂教材編排意圖，充分挖掘教材資源，通過信息技術(shù)手段，將抽象的數(shù)學(xué)知識設(shè)計成直觀圖形，逐步培養(yǎng)學(xué)生借助幾何直觀進行思考的數(shù)學(xué)習(xí)慣。另一方面，利用圖形可以有效地將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象。因此在學(xué)生解決問題碰到困難時，要積極鼓勵學(xué)生通過作圖來尋找解決數(shù)學(xué)問題的途徑。在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)作圖能力的同時，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

如在學(xué)習(xí)了“路程、速度與時間”一課后，筆者設(shè)計這樣一道習(xí)題：“D3136次動車10：36從莆田站開出，17：42到達上海虹橋;D3135次動車10：41從上海虹橋開出，17：59到達莆田站。能知道這兩列動車大約會在什么時間相遇嗎？”這道題已知信息中沒有兩地之間的距離，只告訴起始站的發(fā)車時間與到站時間，如果只是運用常規(guī)思路（即“相遇時間=總路程÷速度和”這個數(shù)學(xué)關(guān)系式）來解決，顯然是行不通的。在學(xué)生思維陷入困頓之際，筆者啟發(fā)學(xué)生可以用數(shù)學(xué)作圖的方法將題中的已知信息轉(zhuǎn)化成圖形，有的學(xué)生用畫線段圖的方法依然找不到出路。于是筆者繼續(xù)啟發(fā)，數(shù)學(xué)圖形不只有線段圖，一條線行不通，可以兩條線，還可以是一個面。正當(dāng)學(xué)生依然無解之際，筆者出示了坐標紙格圖（見圖4），學(xué)生瞬間頓悟，便馬上動筆在自己的作業(yè)紙上畫起來。不一會兒，學(xué)生都能通過畫圖找時間點，找到了問題解決的出路（見圖5），從而得到兩車大約會在14：15相遇。因而，畫圖是一種重要的解決問題的策略，借助圖形的直觀作用有效地降低了數(shù)學(xué)問題的難度。

三、多種策略，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)析圖能力

借助圖形進行數(shù)學(xué)思考、想象，從而進行合情推理使得問題得以解決，這一系列的過程大多需要引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)文字語言，親身經(jīng)歷動手畫圖，從而實現(xiàn)文字語言與圖形語言的相互轉(zhuǎn)換。然而，部分學(xué)生縱然在教師的引導(dǎo)下將數(shù)學(xué)文字語言轉(zhuǎn)換成了圖形語言，但對圖形語言所要表達的數(shù)量關(guān)系仍然無法理解，這就需要我們關(guān)注學(xué)生的多種策略進行析圖能力的培養(yǎng)。如果說識圖是讓學(xué)生掌握辨識圖形外在的數(shù)學(xué)直覺，析圖則是讓學(xué)生理解辨析圖形所要表達的內(nèi)在數(shù)量關(guān)系;如果說畫圖是學(xué)生將數(shù)學(xué)文字語言轉(zhuǎn)換成了圖形語言，析圖則是將圖形語言再次轉(zhuǎn)換成了更為清晰、精煉的數(shù)學(xué)語言。

如筆者在教學(xué)人教版《數(shù)學(xué)》六年級上冊“數(shù)學(xué)思考”這一節(jié)課時，出示“8個點可以連多少條線段”之后讓學(xué)生動手嘗試，由于學(xué)生在三年級時就有“比賽場次”“數(shù)線段”等學(xué)習(xí)經(jīng)驗，所以很快通過畫圖找到解決問題的方法，即7+6+5+4+3+2+1=28條。顯然學(xué)生的思路是直接在一條直線上畫出8個點，然后先數(shù)出每兩點組成一條線段的有7條，繼而是每兩個間隔組成一條線段的有6條，再是每三個間隔組成線段的有5條……這種有序數(shù)線段的方法是之前學(xué)習(xí)經(jīng)驗的正遷移，符合學(xué)生的思維特征。而從教材的編寫看（見圖6），編者并非一下子給出8個點讓學(xué)生來數(shù)，而是先給出2個點確定一條線段;再增加一個點，也就是再跟前面的這兩點連接，所以增加了2條線段，即1+2=3;繼而在3個點的基礎(chǔ)上再增加1個點，而增加的1個點與前面的3個點連接又增加了3條線段，1+2+3=6;……從教材的編寫意圖出來，編者是要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“每增加一個點，增加的線段數(shù)其實就是前面點數(shù)的總和”。顯然教材編者的用意是要讓學(xué)生經(jīng)歷“畫圖”的動態(tài)過程，從而促使學(xué)生掌握n個點兩兩連線的規(guī)律，從而把握其中隱含的結(jié)構(gòu)性數(shù)量關(guān)系。所以，筆者在學(xué)生展示自己的想法之后，便組織學(xué)生對教材所呈現(xiàn)的圖形進行辨析，讀懂教材每個圖形背后所隱含的深意，尋找各個圖形之間的前后聯(lián)系。讓學(xué)生結(jié)合算式析圖，從而感受到圖形的動態(tài)呈現(xiàn)，感悟在兩點確定一條直線的基礎(chǔ)上，每增加一點所增加的線段的條數(shù)則是前面點數(shù)之和，并發(fā)現(xiàn)圖形變化后的規(guī)律。之后，讓學(xué)生對自己畫的圖形與教材呈現(xiàn)的圖形進行對比，從而發(fā)現(xiàn)：雖然數(shù)出的線段總數(shù)是一樣，但其思維的過程是不一樣的，前者是一種固定的模式，沒有進行動態(tài)“畫”的過程;而后者則是動態(tài)地呈現(xiàn)每增加一個點所產(chǎn)生的線段總和相應(yīng)增加，不但展現(xiàn)動態(tài)的“畫”的過程，而且動態(tài)地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)部結(jié)構(gòu)，邊畫邊數(shù)邊發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關(guān)系與規(guī)律。

綜上所述，我們不但要增強學(xué)生的識圖能力，使學(xué)生從直觀的圖形中獲取數(shù)學(xué)信息，而且要提高學(xué)生的畫圖能力，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的抽象過程，致力于數(shù)學(xué)思維可視化，更要提升學(xué)生的析圖能力，掌握文字語言與圖形語言的相互轉(zhuǎn)換，從而使數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)得以落實。

參考文獻

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[責(zé)任編輯：陳國慶]