電路中電源等效法之“形似”到“神同”
——等效法中的數(shù)學(xué)“換元”思想

廣東 陳施君

(作者單位：廣東省佛山市三水區(qū)三水中學(xué))

愛因斯坦相對(duì)論的基本原理告訴我們，無(wú)論你身在何處，或者你的行動(dòng)速度如何，同一物理定律都會(huì)產(chǎn)生同樣的效果。既然是這樣，在保證效果相同的前提下，我們可以設(shè)法將陌生的、復(fù)雜的、難處理的問題轉(zhuǎn)換成熟悉的、簡(jiǎn)單的、易處理的問題，這種方法稱為“等效法”。等效法在處理多變量問題時(shí)可以減少變量個(gè)數(shù)，使學(xué)生更快捷、更準(zhǔn)確地解決問題。我們可以把這種辦法應(yīng)用到電路分析中，把一部分有源電路等效為電源。等效電源模型是電學(xué)中一類十分重要的物理模型，但在應(yīng)用等效法解決電學(xué)問題時(shí)，學(xué)生往往胡亂套用，問題根源在于他們不理解“等效法”的本質(zhì)含義，所以本文將從數(shù)學(xué)“換元”思想切入，啟發(fā)學(xué)生深刻理解“等效法”，以求做到靈活、準(zhǔn)確運(yùn)用“等效法”處理復(fù)雜電學(xué)問題。

解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題轉(zhuǎn)移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。而物理中等效法的本質(zhì)理解就是數(shù)學(xué)的“換元”思想，要深刻理解等效法的本質(zhì)，必須從數(shù)學(xué)邏輯推導(dǎo)中尋找答案，深入理解從“換元”到“等效”的轉(zhuǎn)換。

一、伏安法測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)與內(nèi)阻誤差分析中的等效換元

1.對(duì)電源來(lái)說(shuō)，電流表外接法，如圖1所示

如圖1乙所示，U=E測(cè)-Ir測(cè)①

圖1

對(duì)比①②兩式，構(gòu)造元，進(jìn)行數(shù)學(xué)換元

U=E測(cè)-Ir測(cè)③

即U=-IΔ

回歸到物理意義理解，根據(jù)并聯(lián)電路特點(diǎn)，其實(shí)就是把電壓表與電源并聯(lián)等效為一個(gè)新電源，實(shí)驗(yàn)所測(cè)出的電動(dòng)勢(shì)等效為電壓表與電源并聯(lián)后的路端電壓，測(cè)出的內(nèi)阻等效為電壓表內(nèi)阻與電源內(nèi)阻并聯(lián)的新電阻，路端電壓小于電動(dòng)勢(shì)，并聯(lián)后電阻小于任一并聯(lián)支路電阻，分析出誤差情況E測(cè)

怎么找出這一等效思想呢？關(guān)鍵是把測(cè)量情況和修正后的真實(shí)情況對(duì)應(yīng)的物理規(guī)律式進(jìn)行數(shù)學(xué)函數(shù)式的相應(yīng)變換，讓變換后的式子結(jié)構(gòu)形式相同，再?gòu)睦锩嬲页鰧?duì)應(yīng)的部分，就可以得出換了的那部分“元”。數(shù)學(xué)函數(shù)式的形式相同，從物理上講，就是規(guī)律相同，這就是等效法的前提，而同一物理定律會(huì)產(chǎn)生同樣的效果，所以數(shù)學(xué)上的“換元”就是等效法的本質(zhì)理解。

2.對(duì)電源來(lái)說(shuō)，電流表內(nèi)接法，如圖2所示

如圖2乙所示，U=E測(cè)-Ir測(cè)①

考慮到電流表分壓作用所引起的誤差，現(xiàn)對(duì)上式進(jìn)行修正

如圖2甲所示，U+IRA=E真-Ir真

圖2

整理得出變式U=E真-I(RA+r真) ②

對(duì)比①②兩式，構(gòu)造元，進(jìn)行數(shù)學(xué)換元

同理，發(fā)現(xiàn)E測(cè)將E真換元，r測(cè)將RA+r真換元，結(jié)果就是E測(cè)=E真，r測(cè)=r真+RA，直接得出誤差分析E測(cè)=E真，r測(cè)>r真。

回歸到物理意義理解，根據(jù)串聯(lián)電路特點(diǎn)，其實(shí)就是把電壓表與電源串聯(lián)等效為一個(gè)新電源，實(shí)驗(yàn)所測(cè)出的電動(dòng)勢(shì)等效為電流表與電源串聯(lián)后的路端電壓，測(cè)出的內(nèi)阻等效為電流表內(nèi)阻與電源內(nèi)阻串聯(lián)的新電阻，路端電壓等于電動(dòng)勢(shì)，串聯(lián)后電阻大于任一串聯(lián)部分電阻，所以誤差情況為E測(cè)=E真，r測(cè)>r真。

二、等效電源之非線性元件接入電路問題中的“換元”思想

非線性元件的特點(diǎn)是對(duì)應(yīng)不同的電壓，有不同的電流值，當(dāng)把它接入電路中，如何求出最后非線性元件在電路中的電阻值呢？

【例1】由某種材料制成的電器元件，其伏安特性曲線如圖3所示?，F(xiàn)將該元件接在電動(dòng)勢(shì)為8 V，內(nèi)阻為4 Ω的電源兩端，通過(guò)該元件的電流為________A，該元件消耗的電功率為________W。

圖3

【解析】對(duì)元件有U=IR①

對(duì)電源有U=E-Ir②

對(duì)于①式，結(jié)合該元件的伏安特性曲線，從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)有三個(gè)變量，其中U和I與②式中的U和I是相同的變量，也就是說(shuō)此方程組中，有三個(gè)變量是未知的，以高中生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備來(lái)說(shuō)，不能通過(guò)該方程組來(lái)解出結(jié)果，只能換個(gè)方法，利用圖像中的兩式對(duì)應(yīng)的圖線交點(diǎn)找出它們的共同解。

具體做法是：將該元件接在電動(dòng)勢(shì)為8 V，內(nèi)阻為4 Ω的電源兩端，根據(jù)閉合電路歐姆定律得U=E-Ir，帶入數(shù)據(jù)得U=8-4I，作出電源的外特性曲線，則兩圖線交點(diǎn)即為該元件接在電源上的工作狀態(tài)，由圖4可知，I=1 A，U=4 V，此時(shí)該元件消耗的電功率為P=UI=4 V×1 A=4 W。

圖4

例1給出了我們解決此類問題的常用辦法，那當(dāng)我們遇到例2時(shí)，又如何理解等效法處理的本質(zhì)呢？

【例2】某元件的伏安特性曲線如圖5所示，若將兩個(gè)這樣的元件串聯(lián)后與電動(dòng)勢(shì)E=3.0 V、內(nèi)阻r=2 Ω的電源連接，下列說(shuō)法正確的是

圖5

( )

A.此時(shí)該元件的電阻約為0.8 Ω

B.此時(shí)該元件的電阻約為1.3 Ω

C.此時(shí)該元件的功率約為1.8 W

D.此時(shí)該元件的功率約為0.55 W

例2的物理情景與例1基本一樣，區(qū)別是例2是兩個(gè)元件和電源串聯(lián)在一起，是兩個(gè)，而例1是一個(gè)，那如何進(jìn)行例1到例2的等效呢？

【解析一】如圖6所示

圖6

對(duì)兩個(gè)元件2U=I·2R①

即U=IR②

對(duì)電源2U=E-Ir③

構(gòu)造元，進(jìn)行數(shù)學(xué)換元

例2與例1的數(shù)學(xué)函數(shù)式結(jié)構(gòu)形式上是一致的，可以把例1的方法沿用到這里，也是從兩個(gè)方程對(duì)應(yīng)的圖線交點(diǎn)找到答案。

①式等效為原來(lái)題目中圖線，只需要在原圖上畫出④式對(duì)應(yīng)的圖線，它們的交點(diǎn)就是此時(shí)元件的電流、電壓值，此交點(diǎn)為(0.65 A，0.85 V)，從而根據(jù)③式得出該元件此時(shí)的電阻約為1.3 Ω，功率約為0.55 W，即BD選項(xiàng)正確。

再細(xì)細(xì)觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)推理過(guò)程中，由①②式變到③④式，其實(shí)就是兩個(gè)元件與電源串聯(lián)，等效為一個(gè)元件與電源的一半串聯(lián)成為兩個(gè)獨(dú)立電路，問題就可以等效到求一個(gè)元件與電動(dòng)勢(shì)為1.5 V，內(nèi)阻為1 Ω的電源串聯(lián)時(shí)對(duì)應(yīng)的元件電阻，功率求解問題。

【解析二】構(gòu)造元，進(jìn)行數(shù)學(xué)換元

當(dāng)然，也可以做出以上等效，物理意義就是把兩個(gè)元件等效為一個(gè)2R的元件，再與電源串聯(lián)，但在用圖像法求解問題時(shí)需在原題U-I圖線上逐個(gè)將同一個(gè)電流對(duì)應(yīng)的電壓放大兩倍來(lái)描點(diǎn)，得出2R元件的新圖線，再畫④對(duì)應(yīng)的圖線，找出它們的交點(diǎn)。但這樣做不好，因?yàn)樵姆蔡匦郧€是彎曲的，逐個(gè)描點(diǎn)作法麻煩而且不夠準(zhǔn)確，得出結(jié)果也一樣有誤差，而且，結(jié)合題目原圖坐標(biāo)如圖5所示也發(fā)現(xiàn)，找不到3.0 V的點(diǎn)，所以這種做法不可取。這也說(shuō)明，在選擇如何等效的方法上，仍需要比較哪種方法能更簡(jiǎn)捷準(zhǔn)確地解決問題。

三、等效電源之最大功率中的“換元”思想

電源的最大輸出功率

圖7

當(dāng)RP=r時(shí)，P出有最大值，即電源此時(shí)輸出功率最大。

作出電源輸出功率隨外電阻阻值變化的圖像，就可以直觀地體會(huì)到其中的變化特點(diǎn)。

P出與RP的關(guān)系如圖8所示。

圖8

【例3】如圖9所示，電源內(nèi)阻為r，定值電阻R0=r，可變電阻R的最大阻值為2r。求：

圖9

(1)R上消耗的最大功率PR

(2)R0上消耗的最大功率PR0

【解析】構(gòu)造元，進(jìn)行數(shù)學(xué)換元

(1)R上消耗的功率

可是解決第二問，就不能像第一問那樣進(jìn)行換元等效了，因?yàn)镽0上消耗的最大功率

雖然表面結(jié)構(gòu)形式與③類似，但R0卻是個(gè)定值，變量只有R，且處在分母上，而③式上的變量RP既在分子上，亦處于分母中，因此兩式本質(zhì)上是不一樣的，不能用等效電源法，④式子中當(dāng)R減小時(shí)，PR0增大，當(dāng)R等于零時(shí)，PR0最大。而③式子中分子、分母有同樣的變量RP，當(dāng)RP減小或增大時(shí)，很難立即確定P出的變化情況，只能通過(guò)進(jìn)一步變換函數(shù)式得出極值。

第二問的解決過(guò)程給我們一個(gè)啟示即想等效換元，必須兩函數(shù)式的形式要完全一致，變量一致，運(yùn)算法則一致。

圖10

【解析】構(gòu)造元，進(jìn)行數(shù)學(xué)換元

設(shè)R=R1+R4+r

再把R3抽出來(lái)，上式可變?yōu)?/p>

代入數(shù)據(jù)得出r′=1.5 Ω

此時(shí)畫出對(duì)應(yīng)的等效電路圖，如圖11所示

圖11

沿用例3中③式結(jié)論，當(dāng)滑動(dòng)變阻器阻值等于1.5 Ω時(shí)，滑動(dòng)變阻器的消耗功率最大，也就是在滑動(dòng)變阻器R3的滑片K由最下端向最上端滑動(dòng)過(guò)程中，滑動(dòng)變阻器的消耗功率先變大后變小。