拓展教材資源 提高學(xué)科素養(yǎng)
——談平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的拓展應(yīng)用

貴州 楊 勇

平拋運(yùn)動(dòng)是常見的一種理想運(yùn)動(dòng)模型，其運(yùn)動(dòng)較直線運(yùn)動(dòng)復(fù)雜，運(yùn)動(dòng)規(guī)律可分為豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)和水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，是兩種直線運(yùn)動(dòng)的合成；平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法是化曲為直、數(shù)形結(jié)合，充分體現(xiàn)了考綱要求中“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物體問題的能力”。同時(shí)其運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)解決類平拋運(yùn)動(dòng)及相應(yīng)的拋體運(yùn)動(dòng)也具有重要的意義，特別是帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)以及具有類似規(guī)律的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。下面就以平拋運(yùn)動(dòng)為例，從樹立正確的物理觀念，培養(yǎng)學(xué)生推理能力、分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力幾個(gè)方面進(jìn)行闡述，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)物理規(guī)律的理解，使學(xué)生掌握解題的科學(xué)方法。

一、理解平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)，樹立正確的物理觀念

根據(jù)歷年高考的題目類型來看，題型、知識(shí)點(diǎn)都源于教材，但又高于教材。教材知識(shí)是備考的最佳資源，應(yīng)加深對(duì)教材資源的分析，理解教材知識(shí)所體現(xiàn)的物理規(guī)律，把規(guī)律應(yīng)用于實(shí)際問題。比如平拋運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用：首先，要理解研究平拋運(yùn)動(dòng)的方法，能分析水平方向和豎直方向的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；其次，會(huì)從數(shù)學(xué)的角度用函數(shù)來描述其軌跡的特點(diǎn)；再次，掌握平拋運(yùn)動(dòng)的受力特點(diǎn)、軌跡特點(diǎn)、數(shù)學(xué)特點(diǎn)，把這些特點(diǎn)應(yīng)用于相應(yīng)的模型；使學(xué)生形成正確認(rèn)識(shí)物理本質(zhì)的理念，掌握正確的解題方法，培養(yǎng)正確的物理價(jià)值觀念，提升物理學(xué)科素養(yǎng)。

【例1】如圖1所示，在離地面某高度處以速度v0水平拋出小球，不計(jì)空氣阻力，結(jié)合所學(xué)知識(shí)分析小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)分析小球的運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖1

【分析】平拋運(yùn)動(dòng)是曲線運(yùn)動(dòng)，通常處理平拋運(yùn)動(dòng)的方法是化曲為直，根據(jù)運(yùn)動(dòng)與力的關(guān)系及運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性，小球在水平方向上不受力，則在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向上只受到重力，而初始狀態(tài)小球的速度在豎直方向上分量為零，則在豎直方向上小球做自由落體運(yùn)動(dòng)；為了能夠形象描述及顯示其運(yùn)動(dòng)軌跡的數(shù)學(xué)特點(diǎn)，建立如圖2所示的坐標(biāo)系。

圖2

在水平方向由于做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則x=v0t①

由于各分運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，所以聯(lián)立①②式整理得

圖3

二、對(duì)平拋規(guī)律拓展應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力

在學(xué)習(xí)和研究物理問題時(shí)，推理能力是必不可少的。在一些問題中，如果能用已學(xué)知識(shí)和已知條件進(jìn)行推理，發(fā)現(xiàn)問題隱含的物理和數(shù)學(xué)規(guī)律，會(huì)使問題變得簡(jiǎn)單，解題變得高效。

【例2】雙人滑冰運(yùn)動(dòng)員在光滑的水平冰面上做表演，甲運(yùn)動(dòng)員給乙運(yùn)動(dòng)員一個(gè)水平恒力F，乙運(yùn)動(dòng)員在冰面上完成了一段優(yōu)美的弧線MN。vM與vN正好成90°角，則此過程中，乙運(yùn)動(dòng)員受到甲運(yùn)動(dòng)員的恒力可能是圖4中的

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圖4

A.F1B.F2C.F3D.F4

【審題意】由于運(yùn)動(dòng)員只受到一個(gè)水平的恒力，則加速度不變。同時(shí)由題意可知，乙運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)軌跡上M、N兩點(diǎn)切線的延長(zhǎng)線是相互垂直的。通過例1對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)的分析和認(rèn)識(shí)可知，平拋運(yùn)動(dòng)拋出時(shí)速度與合力垂直，真實(shí)情景只是拋物線的部分，但是把其軌跡從數(shù)學(xué)角度補(bǔ)充完整，可得到一條完整的拋物線，在其對(duì)稱軸的兩邊軌跡上必然存在兩個(gè)點(diǎn)其切線延長(zhǎng)線是相互垂直的。所以結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，軌跡MN必然是拋物線的一部分。把弧線MN情景化，聯(lián)系實(shí)際，聯(lián)系平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，即可找到本題的解題辦法。

【解析】聯(lián)系平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，乙運(yùn)動(dòng)員在恒力的作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡為一條拋物線，由于vM與vN的延長(zhǎng)線相互垂直，則其速度延長(zhǎng)線的交點(diǎn)必在軌跡的對(duì)稱軸上，所以軌跡MN的對(duì)稱軸如圖5中的y直線，則乙運(yùn)動(dòng)員受到的合力的方向與對(duì)稱軸平行，所以運(yùn)動(dòng)員乙受到的甲運(yùn)動(dòng)員的恒力可能為F3，因此選項(xiàng)C正確。

圖5

【點(diǎn)評(píng)】本題以滑冰運(yùn)動(dòng)為載體，要求學(xué)生對(duì)所給的軌跡特點(diǎn)和受力情況進(jìn)行合理推理，建立力與運(yùn)動(dòng)的聯(lián)系，把運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)軌跡和受力情況與平拋運(yùn)動(dòng)進(jìn)行類比，提升學(xué)生的推理能力。要類比拋體運(yùn)動(dòng)，值得注意的是①力必須與物體運(yùn)動(dòng)軌跡所在的平面平行；②物體的合外力必須為恒力；③如果是多個(gè)力，要把力進(jìn)行合成才可以類比。通過本題的分析可以發(fā)現(xiàn)，在實(shí)際的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生把所遇到的問題歸類、總結(jié)、聯(lián)想、形成發(fā)散思維，從而達(dá)到“做一題會(huì)一類”的效果，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和推理能力。

三、拋體軌跡圖象模型的拓展應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的分析綜合能力

物理模型是物理學(xué)科進(jìn)行科學(xué)研究的重要體現(xiàn)，是把實(shí)際生活中的物體情境在一定條件下抽象出來，用數(shù)學(xué)等相關(guān)知識(shí)表達(dá)，形成一定的概念和規(guī)律，再把規(guī)律應(yīng)用于實(shí)際問題，建立物理與生活的聯(lián)系。實(shí)際的物體運(yùn)動(dòng)往往很復(fù)雜，但是抓住物體運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)和規(guī)律，通過其本質(zhì)規(guī)律建立相應(yīng)的模型，再應(yīng)用所學(xué)知識(shí)即可解決問題。比如已知物體的運(yùn)動(dòng)軌跡特點(diǎn)，通過運(yùn)動(dòng)軌跡特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，結(jié)合物理?xiàng)l件進(jìn)行分析，培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析能力。

【例3】(2016年全國(guó)卷Ⅰ)如圖6所示，一帶負(fù)電荷的油滴在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其軌跡在豎直面(紙面)內(nèi)，且相對(duì)于過軌跡最低點(diǎn)P的豎直線對(duì)稱。忽略空氣阻力。由此可知

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圖6

A.Q點(diǎn)的電勢(shì)比P點(diǎn)高

B.油滴在Q點(diǎn)的動(dòng)能比它在P點(diǎn)的大

C.油滴在Q點(diǎn)的電勢(shì)能比它在P點(diǎn)的大

D.油滴在Q點(diǎn)的加速度大小比它在P點(diǎn)的小

圖7

【審題意】由于是帶電油滴，重力不可忽略，受到豎直向下的重力，而油滴的軌跡往上彎曲，根據(jù)曲線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知，合力指向運(yùn)動(dòng)軌跡的凹面，所以帶電油滴受到的電場(chǎng)力豎直向上，而運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于P點(diǎn)所在的豎直線對(duì)稱，因此在P點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖7所示，則軌跡的對(duì)稱軸即為y軸，類比平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知，這樣完美的對(duì)稱軌跡，其合力方向必然與對(duì)稱軸重合，所以帶電油滴的合外力豎直向上，而負(fù)電荷受電場(chǎng)力的方向與電場(chǎng)線方向相反，所以電場(chǎng)線方向豎直向下。

【解析】根據(jù)以上分析，Q點(diǎn)的電勢(shì)比P點(diǎn)的高，故選項(xiàng)A正確；如果帶電油滴從P到Q，合外力做正功，所以動(dòng)能增加，如果從Q到P運(yùn)動(dòng)，合外力做負(fù)功，動(dòng)能減少，所以油滴在Q點(diǎn)的動(dòng)能比A點(diǎn)的大，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于P、Q兩點(diǎn)電勢(shì)能的大小，可以從兩個(gè)角度分析①電場(chǎng)力做功：若帶電油滴從Q向P運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力做負(fù)功，所以電勢(shì)能增加，因此P點(diǎn)的電勢(shì)能比Q點(diǎn)的大；②電勢(shì)能Ep=φq，由于φP<φQ，由于油滴帶負(fù)電，所以Ep>EQ，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)油滴的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，外力不變，則加速度不變，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

【點(diǎn)評(píng)】本題是2016年的一道高考題，考查學(xué)生的分析綜合能力；如果單從軌跡來看，只能確定其受力指向軌跡凹面，要準(zhǔn)確判斷題目的內(nèi)涵①要理解軌跡關(guān)于過P的豎直線對(duì)稱的含義；②具有這樣完美對(duì)稱的軌跡必然是拋物線；③知道其軌跡為拋物線后，把油滴的運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡特點(diǎn)和受力結(jié)合起來分析，從而得到油滴所受到的合力方向。但由于是電場(chǎng)與重力場(chǎng)的疊加，又涉及功能關(guān)系，所以要求考生具備良好的思維習(xí)慣和綜合分析能力。這里也可以引導(dǎo)學(xué)生從重力場(chǎng)的角度分析，把電場(chǎng)力與重力的合力等效為一個(gè)力(等效重力)，對(duì)分析本題的加速度、動(dòng)能會(huì)比較方便。

四、拋體軌跡方程的拓展應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力

由于平拋運(yùn)動(dòng)或者斜拋運(yùn)動(dòng)其運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線或者拋物線的一部分，其運(yùn)動(dòng)函數(shù)關(guān)系為二次函數(shù)，如果將其函數(shù)關(guān)系應(yīng)用于具有類似軌跡的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中，不僅能使問題變得簡(jiǎn)單，還能讓學(xué)生掌握科學(xué)的解題方法。

【例4】如圖8所示，在豎直平面內(nèi)的xOy坐標(biāo)系中分布著與水平方向成37°角的勻強(qiáng)電場(chǎng)，將一帶正電的小球以某一速度v0從原點(diǎn)豎直向上拋出，不計(jì)空氣阻力，它的運(yùn)動(dòng)軌跡滿足y2=x，已知重力加速度為g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。則小球的初速度v0為

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圖8

圖9

【審題意】根據(jù)題意，帶電小球受到電場(chǎng)力和重力的作用，其受力示意圖如圖9所示，根據(jù)小球的運(yùn)動(dòng)軌跡方程y2=x，可知小球運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線，開口指向x軸的正方向，拋物線的對(duì)稱軸為x軸，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律與受力情況和平拋運(yùn)動(dòng)的模型類似，通過類比可以得到合外力沿著x軸的正方向。

【解析】通過以上的分析可知，小球的運(yùn)動(dòng)可以分為y軸上的勻速直線運(yùn)動(dòng)和x軸上初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，將小球的受力進(jìn)行正交分解如圖10所示

圖10

y軸方向mg=Fsin37°

x軸方向Fcos37°=ma

【點(diǎn)評(píng)】這道題考查對(duì)類平拋運(yùn)動(dòng)的理解，但是要求較高①必須掌握和理解平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，能夠準(zhǔn)確判斷方程y2=x是一條拋物線，且開口指向x軸的正方向；②會(huì)把平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律類比于此題，從而得到小球的合力方向沿x軸的正方向；③通過類平拋運(yùn)動(dòng)應(yīng)用于此題，寫出兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式并化簡(jiǎn)，算出初速度v0。雖然本題在能力上要求較高，但是如果能把平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡方程貫穿于具有此規(guī)律的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中，對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題將會(huì)達(dá)到事半功倍的效果，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力會(huì)起到良好的作用。