Pythagorean猶豫模糊熵及其多屬性群決策方法*

張俊芳, 吳 澎, 周禮剛, 肖 箭, 薛明香

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,合肥 230601)

0 引 言

自Zadeh首次提出模糊集[1]以來(lái),人們對(duì)其進(jìn)行了廣泛而深入的研究,并提出了一些新的模糊集,例如直覺(jué)模糊集[2]、區(qū)間直覺(jué)模糊集[3]、二型模糊集[3]等研究不僅豐富和發(fā)展了模糊集的理論基礎(chǔ),而且極大地推廣了模糊集的應(yīng)用范圍,使之能更多地應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中。在此基礎(chǔ)上,Yager[4-5]提出了Pythagorean模糊集,Torra[6]提出了猶豫模糊集,這兩者均有著各自突出的優(yōu)點(diǎn)和應(yīng)用前景,文獻(xiàn)[7]將兩者結(jié)合給出了一種新的模糊集:Pythagorean猶豫模糊集。將此二者相結(jié)合不僅擴(kuò)充了模糊集的理論基礎(chǔ),而且對(duì)實(shí)際問(wèn)題中決策方案的選取也有非常重要的意義。

熵測(cè)度作為研究模糊集的一種重要工具,Zadeh[8]首次引入之后,Luca和Termini[9]又基于Shannon函數(shù)給出了模糊集中熵的公理化定義。Bruillo[10]提出了直覺(jué)模糊環(huán)境下熵的公理化定義,并給出了計(jì)算公式；隨后,Szmidt和Kacprzyk[11]在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上,將信息熵定義擴(kuò)展到了直覺(jué)模糊環(huán)境當(dāng)中。為解決直覺(jué)指數(shù)不穩(wěn)定的問(wèn)題,王和雷[12]又給出了一種新的直覺(jué)模糊熵的構(gòu)造方法。在直覺(jué)模糊熵方面,文獻(xiàn)[14]和文獻(xiàn)[15]也做出了很多貢獻(xiàn)。使得直覺(jué)模糊熵公理化定義更加完善。

在猶豫模糊環(huán)境中,Xu和Xia[15]為衡量猶豫模糊值與其補(bǔ)集的差異化程度,提出了猶豫模糊熵的公理化定義,并給出其計(jì)算公式；之后,文獻(xiàn)[16]從猶豫模糊集中各元素與0.5的距離不同的角度出發(fā),提出了一種新的公理化定義和計(jì)算公式；文獻(xiàn)[17]基于得分函數(shù)和離差函數(shù),設(shè)計(jì)了一種新的猶豫模糊熵的公理化定義。但是,目前關(guān)于Pythagorean猶豫模糊熵的研究較少。

提出一種基于Pythagorean猶豫模糊熵的多屬性群決策方法。首先提出Pythagorean猶豫模糊熵的公理化定義,然后提出Pythagorean猶豫模糊上的計(jì)算公式,并提出一種基于Pythagorean猶豫模糊熵的多屬性決策方法。最后,將新方法應(yīng)用到精準(zhǔn)扶貧項(xiàng)目決策中,驗(yàn)證其可行性和有效性。

1 基本概念

定義1[1]設(shè)X為論域,則A={|0≤μA(x)≤1,x∈X}稱為X上的一個(gè)模糊集,μA(x)表示X中元素x∈A的隸屬度。

定義2[2]設(shè)X為論域,則

A={,0≤μA(x)+
vA(x)≤1,x∈X}

稱為X上的一個(gè)直覺(jué)模糊集,其中

μA(x):X→[0,1],vA(x):X→[0,1]

分別表示X上元素x∈X的隸屬度和非隸屬度

πA(x)=1-μA(x)-vA(x)

為其猶豫度。

記β=(μβ,vβ)為直覺(jué)模糊數(shù),且滿足條件0≤μβ,vβ≤1,0≤μβ+vβ≤1。

定義3[6]設(shè)X為論域,

A={|x∈X}

稱為X上的一個(gè)猶豫模糊集,其中hA(x)表示X上元素x∈A的所有可能隸屬度組成的集合。

記hA={h1,h2,…,hl}為猶豫模糊數(shù),且滿足條件0≤hi≤1,i=1,2,…,l,hi≤hi+1。

定義4[4]設(shè)X為論域,

A={|x∈X}

定義5[7]設(shè)X為論域,則稱三元組

A={|x∈X}

為x屬于A所有可能的猶豫度的集合。

注1 當(dāng)對(duì)任意的x∈X,MA(x)和NA(x)均只有一個(gè)元素時(shí),Pythagorean猶豫模糊集就退化為Pythagorean模糊數(shù)。

注2 稱α=為一個(gè)Pythagorean猶豫模糊數(shù)。記PHFN為所有Pythagorean猶豫模糊數(shù)構(gòu)成的集合。

定義6[18]設(shè)

α==
<{μα1,μα2,…,μα#Mα},{vα1,vα2,…,vα#Nα}>

是一個(gè)Pythagorean猶豫模糊數(shù),則稱

(1)

為α的猶豫度,其中#Mα,#Nα分別表示隸屬度元素個(gè)數(shù)和非隸屬度元素個(gè)數(shù)。

2 Pythagorean猶豫模糊數(shù)的最小公倍數(shù)擴(kuò)充法

由于在Pythagorean猶豫模糊決策環(huán)境下,決策者們對(duì)某些問(wèn)題認(rèn)知的差異,使得他們對(duì)于同一個(gè)方案可能會(huì)給予不同的Pythagorean猶豫模糊決策信息,可能會(huì)出現(xiàn)任意兩個(gè)Pythagorean猶豫模糊數(shù)之間的隸屬度集合和非隸屬度集合長(zhǎng)度不相等的情況?；诖?Liang和Xu[18]采用基于樂(lè)觀—悲觀準(zhǔn)則的擴(kuò)充方法對(duì)Pythagorean猶豫模糊數(shù)之間長(zhǎng)度不等的情況進(jìn)行處理。

但文獻(xiàn)[19]指出了文獻(xiàn)[18]提出的方法的有效性是存在爭(zhēng)議的,因?yàn)閺默F(xiàn)實(shí)角度出發(fā),上述方案既沒(méi)有解釋其決策者決策的主觀性,也沒(méi)有對(duì)方法的有效性和必要性進(jìn)行說(shuō)明。同時(shí),文獻(xiàn)[20]為了規(guī)范化處理猶豫模糊語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集中的不同元素,提出了一種最小公倍數(shù)拓展原則,文獻(xiàn)[21]采用最小公倍數(shù)拓展法對(duì)Pythagorean猶豫模糊集的隸屬度(非隸屬度)進(jìn)行規(guī)范化處理,但文獻(xiàn)[21]關(guān)于最小公倍數(shù)拓展法的說(shuō)法較為粗略淺顯,且沒(méi)有給出詳細(xì)的定義過(guò)程和算法步驟,所以,將文獻(xiàn)[20]的擴(kuò)充思想運(yùn)用到Pythagorean猶豫模糊數(shù)的規(guī)范化處理中。具體如下：

定義7 設(shè)

α=∈PHFN,r,s∈N

則稱集合

為α的r-s擴(kuò)充集,且稱這種對(duì)α的擴(kuò)充方法為r-s擴(kuò)充規(guī)則。其中,隸屬度集合

中的各個(gè)元素分別被重復(fù)擴(kuò)充了r次,非隸屬度集合

中的各個(gè)元素分別被重復(fù)擴(kuò)充了s次。顯然擴(kuò)充后的αr,s仍為Pythagorean猶豫模糊數(shù)。

例1 設(shè)Pythagorean猶豫模糊數(shù)

α1=<{0.1,0.2},{0.7,0.8,0.9}>

則α的2-2擴(kuò)充集為

{0.7,0.7,0.8,0.8,0.9,0.9}>

定義8 設(shè)

α=,β=

是兩個(gè)Pythagorean猶豫模數(shù),lcm(#Mα,#Mβ)為#Mα和#Mβ的最小公倍數(shù),lcm(#Nα,#Nβ)為#Nα和#Nβ的最小公倍數(shù),其中#Mα,#Nα分別表示α的隸屬度元素個(gè)數(shù)和非隸屬度元素個(gè)數(shù),#Mβ,#Nβ分別表示β的隸屬度元素個(gè)數(shù)和非隸屬度元素個(gè)數(shù)。令

(2)

(3)

根據(jù)定義7和定義8,任意Pythagorean猶豫模糊數(shù)均可以通過(guò)擴(kuò)充方法,變成新的Pythagorean猶豫模糊數(shù),擴(kuò)充方法被稱作最小公倍數(shù)擴(kuò)充法。

若采用定義8對(duì)Pythagorean猶豫模糊數(shù)的隸屬度和非隸屬度進(jìn)行擴(kuò)充,則可得到基于最小公倍數(shù)擴(kuò)充法的Pythagorean猶豫模糊數(shù)規(guī)范化方法,基于擴(kuò)充Pythagorean猶豫模糊數(shù)的規(guī)范化算法如下：

輸入:任意兩個(gè)Pythagorean猶豫模糊數(shù)α=,β=。

步驟1 計(jì)算Pythagorean猶豫模糊數(shù)α和β的元素個(gè)數(shù),即:#Mα,#Mβ,#Nα,#Nβ。

步驟2 計(jì)算#Mα和#Mβ的最小公倍數(shù)lcm(#Mα,#Mβ),#Nα和#Nβ的最小公倍數(shù)lcm(#Nα,#Nβ)。

步驟6 結(jié)束。

例2 設(shè)有兩個(gè)Pythagorean猶豫模糊數(shù)

α=<{0.1,0.2},{0.7,0.8,0.9}>
β=<{0.7,0.8,0.9},{0.1,0.2}>

根據(jù)算法1,則有

#Mα=2,#Mβ=3,#Nα=3,#Nβ=2;
lcm(#Mα,#Mβ)=6,lcm(#Nα,#Nβ)=6;

{0.7,0.7,0.8,0.8,0.9,0.9}>；

{0.1,0.1,0.1,0.2,0.2,0.2}>。

定義9[18]設(shè)

α=<{μ1,…,μ#Mα},{v1,…,v#Nα}>,
β=<{μ1,…,μ#Mβ},{v1,…,v#Nβ}>

是兩個(gè)Pythagorean猶豫模糊數(shù),則α和β之間的歐氏距離定義為

其中,lcm(#Mα,#Mβ)=τ,lcm(#Nα,#Nβ)=φ,πα和πβ由式(1)給出。

3 Pythagorean猶豫模糊熵

Pythagorean猶豫模糊熵可以有效度量模糊信息的模糊程度,能夠?qū)⒛：潭容^高的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化更有利于決策者精確評(píng)價(jià)的信息。對(duì)于兩個(gè)Pythagorean猶豫模糊數(shù)：

α=<{μ1,μ2,…,μ#Mα},{v1,v2,…,v#Nα}>∈PHFN
β=<{μ1,μ2,…,μ#Mβ},{v1,v2,…,v#Nβ}>∈PHFN

定義10 設(shè)A={α1,α2,…,αn}是一個(gè)Pythagorean猶豫模糊集,其中

αi==<{μαi1,μαi2,…,μαiτ},

{vαi1,vαi2,…,vαiφ}>

是一個(gè)Pythagorean猶豫模糊數(shù),則A的熵可定義為

(3)

定理1 設(shè)

α==

<{μα1,μα2,…,μα#Mα},

{vα1,vα2,…,vα#Nα}>

β==

<{μβ1,μβ2,…,μβ#Mβ},

{vβ1,vβ2,…,vβ#Nβ}>

是兩個(gè)Pythagorean猶豫模糊數(shù),E:α,β→[0,1]為Pythagorean猶豫模糊熵,則E滿足以下性質(zhì):

(1)E(α)=0,當(dāng)且僅當(dāng)

α=<{1,1,…,1},{0,0,…,0}>

或

α=<{0,0,…,0},{1,1,…,1}>

(3)E(α)=E(αc),這里αc=;

(4) 當(dāng)E(α′)≤E(β′)時(shí),有兩種情況:

這里

α′=<{μα′1,μα′2,…,μα′τ},{vα′1,vα′2,…,vα′φ}>
β′=<{μβ′1,μβ′2,…,μβ′τ},{vβ′1,vβ′2,…,vβ′φ}>

是α,β經(jīng)最小公倍數(shù)擴(kuò)充方法規(guī)范化處理后的Pythagorean猶豫模糊數(shù)。

證明

(1)～(3)顯然成立,下證(4)。

(4)(?)顯然成立；

故,E(α′)≤E(β′)。

故E(α′)≤E(β′)。證畢。

4 基于Pythagorean環(huán)境下的多屬性 群決策方法

(4)

根據(jù)熵理論知,如果各方案針對(duì)同一屬性下的熵值越小,說(shuō)明該屬性的穩(wěn)定性越高,則應(yīng)該被賦予一個(gè)較大的權(quán)重,即Ej越小,其權(quán)重wj就越大。

若屬性權(quán)重wj完全未知,可由式(4)計(jì)算屬性cj的權(quán)重:

(5)

若屬性權(quán)重wj部分已知,令H表示未知權(quán)重滿足的條件集合,則可構(gòu)建模型求解屬性權(quán)重:

(6)

TOPSIS法是解決多屬性問(wèn)題的常用方法之一,其宗旨是找出最佳方案和最差方案,即為正理想點(diǎn)和負(fù)理想點(diǎn)。方法主要是通過(guò)計(jì)算離正理想點(diǎn)和負(fù)理想點(diǎn)的距離,之后再通過(guò)計(jì)算貼近度,對(duì)方案進(jìn)行排序和擇優(yōu)。

在Pythagorean猶豫模糊環(huán)境下,正理想點(diǎn)為

負(fù)理想點(diǎn)為

則方案xi與正理想點(diǎn)的加權(quán)距離為

(7)

方案xi與負(fù)理想點(diǎn)的加權(quán)距離為

(8)

其中wj為屬性cj的權(quán)重。

方案xi的貼近度可表示為

(9)

故基于Pythagorean猶豫模糊熵的多屬性群決策步驟如下:

步驟1 矩陣的規(guī)范化處理。設(shè)

為決策矩陣,其中：

運(yùn)用算法1將t個(gè)決策者給出的決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理,規(guī)范化后的決策矩陣為

步驟3 屬性權(quán)重的確定。當(dāng)屬性權(quán)重完全未知時(shí),運(yùn)用式(5)計(jì)算屬性權(quán)重;當(dāng)屬性權(quán)重部分已知時(shí),運(yùn)用式(6)中的模型計(jì)算屬性權(quán)重。

步驟4 對(duì)距離進(jìn)行加權(quán)集結(jié)。利用加權(quán)平均算子和式(7)—式(8)計(jì)算各方案與正負(fù)理想點(diǎn)的加權(quán)平均距離。

步驟5 計(jì)算貼近度。利用式(9)計(jì)算各方案的貼近度,并對(duì)其降序排列。

步驟6 排序擇優(yōu)。對(duì)方案進(jìn)行排序,并選出最優(yōu)方案。

5 案例分析

減貧和脫貧是世界各國(guó)共同面臨的難題,也是全球共同關(guān)注和研究的重大課題。針對(duì)我國(guó)的具體國(guó)情,習(xí)總書記提出了“脫貧貴在精準(zhǔn)、重在精準(zhǔn)、成敗之舉在于精準(zhǔn)”的精準(zhǔn)扶貧戰(zhàn)略。十八屆四中全會(huì)提出引入第三方評(píng)估機(jī)制,這是深化我國(guó)政府績(jī)效改革。提高政府效能和完善政府治理體系的重要舉措。第三方評(píng)估機(jī)制主要由三股力量來(lái)承擔(dān),一是高校的專家學(xué)者,二是商業(yè)運(yùn)作的專業(yè)的管理咨詢機(jī)構(gòu);三是鄉(xiāng)鎮(zhèn)級(jí)村干部代表[22]。

現(xiàn)考慮一個(gè)關(guān)于精準(zhǔn)扶貧的多屬性群決策問(wèn)題。某村有4戶人家申請(qǐng)扶貧基金補(bǔ)貼,但目前只有一個(gè)名額,即選擇上述4戶村民x1,x2,x3,x4中的一個(gè),現(xiàn)由第三方評(píng)估的3位代表作為決策者d1,d2,d3從下列3個(gè)準(zhǔn)則出發(fā)對(duì)這4戶村民進(jìn)行評(píng)價(jià):c1:每年家庭的人均收入;c2:家中的勞動(dòng)力數(shù)量;c3:家庭的恩格爾系數(shù)。設(shè)決策者的權(quán)重向量為:L={0.3,0.5,0.2},第k個(gè)決策者給出的Pythagorean猶豫模糊矩陣為R(k)(k=1,2,3)如下:

步驟1 利用算法1,對(duì)矩陣R(k)(k=1,2,3)做規(guī)范化處理:

步驟3 利用式(5)計(jì)算屬性權(quán)重得到:

w1=0.148 2,w2=0.406 5,w3=0.445 2

步驟4 計(jì)算方案xi與正負(fù)理想點(diǎn)的距離:

正負(fù)理想點(diǎn)分別為

(<{1,1,1,1,1,1},{0,0,0,0,0,0}>,<{1,

1,1,1},{0,0,0,0}>,<{1,1,1,1},{0,0,

0,0}>)

(<{0,0,0,0,0,0},{1,1,1,1,1,1}>,<{0,

0,0,0},{1,1,1,1}>,<{0,0,0,0},{1,1,

1,1}>)

則方案xi與正負(fù)理想點(diǎn)的加權(quán)距離為

步驟5 計(jì)算方案xi貼近度Pi得到:

P1=0.571 4,P2=0.576 1,
P3=0.556 8,P4=0.554 3。

步驟6 排序和擇優(yōu)。

貼近度排序?yàn)?P2>P1>P3>P4,故方案的排序x2>x1>x3>x4,即第二戶農(nóng)戶符合扶貧基金補(bǔ)貼政策。

6 結(jié) 論

針對(duì)模糊信息下的決策問(wèn)題,提出了一種基于Pythagorean猶豫模糊熵的多屬性群決策方法。首先,在之前的研究基礎(chǔ)上,構(gòu)造基于Pythagorean猶豫模糊環(huán)境下熵的公理化定義及計(jì)算公式,其次,為解決任意多個(gè)Pythagorean猶豫模糊數(shù)之間隸屬度集合和非隸屬度集合長(zhǎng)度不相等的問(wèn)題,利用最小公倍數(shù)擴(kuò)充法對(duì)Pythagorean猶豫模糊集進(jìn)行規(guī)范化處理,并在之前的基礎(chǔ)上,完善了最小公倍數(shù)擴(kuò)充規(guī)則的定義及算法；之后,以Pythagorean猶豫模糊熵作為決策信息差異程度的度量,給出屬性權(quán)重完全未知或部分已知情況下權(quán)重的確定方法；最后,以扶貧項(xiàng)目為背景,實(shí)例論證了提出的Pythagorean猶豫模糊熵的多屬性群決策方法是可行且有效的。未來(lái),Pythagorean猶豫模糊熵可被運(yùn)用到模糊模式識(shí)別、醫(yī)療診斷、不確定性決策問(wèn)題中。