求解帶約束投資組合模型的量子粒子群算法*

何 光, 李高西

(重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400067)

0 引 言

Clerc[1]在分析粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization,PSO)算法時(shí)提出粒子運(yùn)動(dòng)場(chǎng)中存在著吸引點(diǎn)，而粒子在迭代過(guò)程中會(huì)聚集到該點(diǎn)。隨后Sun 等[2]在Clerc的研究基礎(chǔ)上，從量子力學(xué)的角度提出了量子粒子群優(yōu)化(Quantum-behaved Particle Swarm Optimization,QPSO)算法。由于粒子在量子空間中沒(méi)有特定的軌道，具有更高的隨機(jī)性，因而其智能性相比標(biāo)準(zhǔn)的PSO算法要高，收斂性能更好。盡管QPSO 算法在一定程度上提升了算法的性能，但是在實(shí)際計(jì)算時(shí)，粒子的搜索只是在可行解的空間進(jìn)行，使得在算法迭代的后期依舊會(huì)出現(xiàn)群體的多樣性缺失等現(xiàn)象，因此算法仍有很大的改進(jìn)空間。

針對(duì)QPSO算法的不足，先后有學(xué)者提出了各種搜索策略和改進(jìn)方法，以增加粒子的探索能力，避免算法陷入局部最優(yōu)的困境。Mohadeseh等[3]提出了基于廣義局部搜索的QPSO算法，以增強(qiáng)粒子脫離局部最優(yōu)的能力。趙吉和程成[4]在演化搜索的基礎(chǔ)上改善了QPSO算法，提升了算法的收斂速度。章國(guó)勇等[5]在算法中考慮了精英學(xué)習(xí)策略，增強(qiáng)了粒子的全局搜索能力。周頔等[6]提出了協(xié)同QPSO算法，避免了算法的早熟。張?zhí)m[7-8]分別融合了差分進(jìn)化和黑洞搜索的優(yōu)點(diǎn)，提出了改進(jìn)的QPSO算法，拓展了粒子的空間探索范圍。在算法的參數(shù)修正和豐富種群多樣性方面，也有一些學(xué)者提出了不錯(cuò)的改良性結(jié)果[9-14]。在已有研究的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)備從兩個(gè)方面對(duì)QPSO算法進(jìn)行改進(jìn)：第一，在粒子的歷史位置更新公式中，將粒子的歷史最優(yōu)和次優(yōu)位置綜合考慮，以擴(kuò)大粒子的搜索范圍，增加粒子的探索能力；第二，借助遺傳算法的交叉操作，提高種群的多樣性，避免算法進(jìn)入早熟。然后，將改進(jìn)后的QPSO算法應(yīng)用到證券投資組合問(wèn)題中。

1 改進(jìn)的QPSO算法

標(biāo)準(zhǔn)的QPSO算法是在PSO算法的基礎(chǔ)上進(jìn)化而來(lái)，借助了PSO算法的粒子速度公式：

vi(t+1)=wvi(t)+c1r1(pi(t)-xi(t))+

c2r2(pg(t)-xi(t))

(1)

其中，xi(t)和vi(t)分別表示第i個(gè)粒子的位置以及速度，第i個(gè)粒子的個(gè)體極值以及全局極值分別為pi(t)和pg(t)。w表示慣性權(quán)重，c1和c2表示加速因子，r1和r2表示0到1之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。在QPSO算法的更新公式中，沒(méi)有粒子的速度公式，而采用蒙特卡羅法模擬粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，進(jìn)行迭代。在迭代過(guò)程中，每個(gè)粒子會(huì)聚集到一個(gè)局部吸引點(diǎn)Pi(t)，從而式(1)將轉(zhuǎn)化為吸引點(diǎn)的位置公式：

Pi(t+1)=φpi(t)+(1-φ)pg(t)

(2)

其中，φ=c1r1/(c1r1+c2r2)。粒子的位置更新公式如下：

xi(t+1)=Pi(t)±β|mi(t)-xi(t)|ln[ui(t)]-1

(3)

其中，β稱為收縮-擴(kuò)張系數(shù)，用來(lái)調(diào)節(jié)粒子的速度。mi(t)表示粒子歷史最優(yōu)位置的平均值，稱為平均最好位置。ui(t)表示0～1之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)ui(t)大于0.5時(shí)，式(3)中取“+”，否則取“-”。

在更新粒子個(gè)體最優(yōu)位置時(shí)，除了考慮它的歷史最好位置外，還將粒子的歷史次優(yōu)位置也包括進(jìn)去，這樣能夠增強(qiáng)粒子的搜索范圍，避免陷入局部最優(yōu)。另外，借鑒遺傳算法的交叉操作，對(duì)粒子的歷史最優(yōu)和次優(yōu)位置進(jìn)行交叉處理，用新的位置作為粒子當(dāng)前的最優(yōu)位置，用于迭代后期增強(qiáng)種群的多樣性，提高算法的收斂精度。

由于算法中選用了交叉操作，將改進(jìn)的算法記為CR-QPSO。CR-QPSO算法中，粒子的歷史最優(yōu)位置和次優(yōu)位置分別為p1i(t)和p2i(t)，經(jīng)過(guò)交叉操作后得到的新位置仍記為pi(t)。收縮-擴(kuò)張系數(shù)選擇文獻(xiàn)[13]的線性遞減方法，如下：

其中，β1,β2為β的最小值和最大值，T為最大迭代次數(shù)。CR-QPSO算法的流程如下：

Step 1設(shè)定搜索維數(shù)D、種群規(guī)模N和最大迭代次數(shù)T，初始化種群中粒子的位置；

Step 2計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度，以適應(yīng)度最優(yōu)的粒子位置作為種群的全局最優(yōu)位置pg(t)；

Step 3根據(jù)式(2)計(jì)算局部吸引點(diǎn)Pi(t)；

Step 4根據(jù)式(3)更新當(dāng)前粒子的位置；

Step 5通過(guò)粒子適應(yīng)度的比較，確定當(dāng)前粒子的歷史最優(yōu)位置p1i(t)和次優(yōu)位置p2i(t)，運(yùn)用交叉操作，得到粒子的個(gè)體最優(yōu)位置pi(t)；

Step 6當(dāng)粒子適應(yīng)度優(yōu)于種群最優(yōu)點(diǎn)的適應(yīng)度時(shí)，則用當(dāng)前粒子的位置更新pg(t)；

Step 7t=t+1，若滿足迭代終止條件，輸出最優(yōu)解，否則，轉(zhuǎn)入Step 2。

2 性能測(cè)試

在性能測(cè)試中，將CR-QPSO算法與標(biāo)準(zhǔn)的QPOS算法、DE-QPSO算法[7]和BH-QPSO算法[8]進(jìn)行比較。基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的計(jì)算結(jié)果來(lái)源于文獻(xiàn)[8]，其中f1為高維單模函數(shù)，f2-f5為高維多模函數(shù)，f6為低維多模函數(shù)。

在所有的QPSO算法中，加速因子分別取1.5和2，粒子總數(shù)為10個(gè)，搜索空間為20維，最大迭代次數(shù)為1 000次。在DE-QPSO算法中變異概率為0.5，交叉參數(shù)為0.9；在BH-QPSO算法中，黑洞理論閾值為0.8，黑洞半徑為0.8；每個(gè)實(shí)例取50次結(jié)果的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

在表1中，展示了4種算法在不同測(cè)試函數(shù)下的計(jì)算結(jié)果。在Sphere函數(shù)和Griewank函數(shù)的測(cè)試中，BH-QPSO算法和DE-QPSO算法取得了較好的尋優(yōu)結(jié)果，相比而言CR-QPSO算法在最優(yōu)解均值和解的穩(wěn)定性方面則具有更好的表現(xiàn)，能夠有效地跳出局部最優(yōu)，探索到函數(shù)的全局最優(yōu)點(diǎn)。對(duì)于Rosenbrock函數(shù)而言，BH-QPSO算法在函數(shù)均值方面取得了最佳的表現(xiàn)，然而穩(wěn)定性不夠理想；QPSO算法和DE-QPSO算法在求解過(guò)程中明顯偏離了有效的尋優(yōu)路徑，尋優(yōu)結(jié)果較差；CR-QPSO算法的綜合效果較好，最優(yōu)解的均值不如BH-QPSO算法，但是解的穩(wěn)定性方面有更好的表現(xiàn)。就Rastrigin函數(shù)而言，4種算法都無(wú)一例外地陷入了局部最優(yōu)的困境。其中BH-QPSO算法和DE-QPSO算法的改進(jìn)效果不如原始的QPSO算法，尋優(yōu)能力較弱；相比之下CR-QPSO算法具有較好的探索能力，經(jīng)過(guò)變異操作之后的粒子能夠比較有效地接近函數(shù)的全局最優(yōu)點(diǎn)。在其余兩個(gè)函數(shù)的測(cè)試中，CR-QPSO算法相比其他3種算法表現(xiàn)更突出，無(wú)論在函數(shù)的最優(yōu)值還是魯棒性上都取得了最理想的結(jié)果。

表1 4種算法的測(cè)試結(jié)果Table 1 Test results of four algorithms

總之，通過(guò)測(cè)試函數(shù)的檢驗(yàn)結(jié)果，CR-QPSO算法在其中5個(gè)函數(shù)的測(cè)試中均表現(xiàn)出最佳的尋優(yōu)能力，取得的最優(yōu)解擁有更好的魯棒性。

3 應(yīng)用實(shí)例

經(jīng)典的Markowitz均值-方差模型為一類多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，其有效前沿即多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的Pareto最優(yōu)解。這里將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，并用改進(jìn)的量子粒子群算法進(jìn)行求解。在證券交易中，投資者和管理機(jī)構(gòu)往往基于各種考慮會(huì)對(duì)證券的交易數(shù)量作出限制，于是這里討論一類投資占比有上限的投資組合問(wèn)題。具體模型如下：

(1)

其中，R為資產(chǎn)的收益矩陣，X為投資組合的權(quán)重向量，∑表示各種資產(chǎn)間的協(xié)方差矩陣，ei表示資產(chǎn)的預(yù)期收益率，設(shè)定所有股票的投資比不能超過(guò)總資金的50%。

數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，從深圳證券交易所選取了A股市場(chǎng)中的20只股票，收集了這些股票從2017年9月18日到2018年9月20日共計(jì)250個(gè)交易日的收盤價(jià)格。每只股票以日收益率的歷史平均值作為其預(yù)期收益率。在改進(jìn)的量子粒子群優(yōu)化算法CR-QPSO中，加速因子分別取1.5和2，粒子總數(shù)為40個(gè)，搜索空間為20維，最大迭代次數(shù)為1 500次，求解結(jié)果取50次實(shí)驗(yàn)的平均值。

表2給出了在不同預(yù)期收益率下的模型。式(1)的最優(yōu)解，通過(guò)給定的ei(在最小與最大預(yù)期收益率之間均勻選取，由小到大逐漸增加)可以計(jì)算出相應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)最小的組合。從表2中數(shù)據(jù)可知，隨著預(yù)期收益率的增大，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)也在逐步變大。當(dāng)收益率從0.081 2增加到0.193 9時(shí)，第1、第11、第17和第19這4只股票的投資占比逐漸減小；同時(shí)第4和第9這兩只股票的比例分別從2.01%和5.66%增加到3.98%和19.87%。

表2 不同預(yù)期收益率下的最優(yōu)投資組合Table 2 Optimal portfolios under different expected rate of return

進(jìn)一步，為了說(shuō)明改進(jìn)算法求解模型(1)的有效性，接下來(lái)將CR-QPSO與PSO、QPSO和GA等算法從最差值、最好值、均值和方差等4個(gè)方面進(jìn)行比較。在對(duì)比實(shí)驗(yàn)中，選取預(yù)期收益率為0.193 9，具體結(jié)果見表3。

表3 不同算法的優(yōu)化結(jié)果比較Table 3 Comparison of optimization results of different algorithms

由表3可知:改進(jìn)算法在4個(gè)指標(biāo)下均取得了比其余3種算法更好的結(jié)果，表明CR-QPSO算法具有更強(qiáng)的尋優(yōu)能力，獲得的最優(yōu)解更精確、更穩(wěn)定。

4 結(jié)束語(yǔ)

為了提高量子粒子群算法(QPSO)的粒子探索能力和算法的計(jì)算精度，在原始的QPSO算法的基礎(chǔ)上，對(duì)粒子的位置公式進(jìn)行了改良處理。在改進(jìn)算法中，一方面考慮了粒子的歷史最優(yōu)和次優(yōu)位置的共同影響，用以拓展粒子的搜索范圍；另一方面，采用了遺傳算法中的交叉操作，用以增加粒子的多樣性。通過(guò)與幾種已有算法的對(duì)比，改進(jìn)的量子粒子群算法(CR-QPSO)表現(xiàn)出更好的收斂性和魯棒性。隨后，將CR-QPSO算法應(yīng)用于尋找Markowitz均值-方差模型的資產(chǎn)最優(yōu)組合。借助證券市場(chǎng)中股票的歷史數(shù)據(jù)，對(duì)一類具有投資數(shù)量限制的投資組合模型進(jìn)行了求解，計(jì)算結(jié)果表明改進(jìn)算法具有更好的性能。