教學(xué)考試雜志社“優(yōu)師計(jì)劃”階段性成果展示
——高考重難點(diǎn)相關(guān)試題選登

1.已知某函數(shù)的圖象如圖所示,則該函數(shù)的解析式可能是

( )

C.y=2x-|x|+2 D.y=(x2-1)cosx

【答案】B

( )

A.200π-5 B.200π+5

C.210π-5 D.210π+2

【答案】C

( )

A.m>0 B.m≤1

C.m>1 D.m≤0

【答案】A

( )

A.(0,ln2]

B.(-∞,-ln2]∪[ln2,+∞)

C.(-∞,ln2]

D.[-ln2,ln2]

【答案】D

( )

A.(-∞,1) B.(-∞,1]

C.(0,+∞) D.[1,+∞)

【答案】B

( )

A.(-1,0) B.(0,1)

C.(-∞,-1) D.[1,+∞)

【答案】C

7.函數(shù)f(x)=x3-5x2+3x+9與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

( )

A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】C

( )

【答案】D

9.曲線f(x)=x3-2x，在點(diǎn)A處的切線平行于直線y=x+1,則A點(diǎn)坐標(biāo)為________.

【答案】(1，-1)或(-1,1)

12.當(dāng)直線y=kx+b同時(shí)與曲線y=ex和y=ln(x+2)相切時(shí),b=________.

13.(本小題滿分12分)

已知f(x)=mlnx-2x(m>0).

(Ⅰ)若?x>0,都有f(x)≤0,求m的取值范圍;

(Ⅱ)若m=1,曲線y=f(x)上的點(diǎn)(x0,y0)(x0>0)處的切線l與y=x2相切,求滿足條件的x0的個(gè)數(shù).

【解題分析】(Ⅰ)由f(x)=mlnx-2x，

再由m>0可得0

即m的取值范圍為(0,2e].

(Ⅱ)當(dāng)m=1時(shí),y=lnx-2x,

令g(x)=4x2lnx-4x+1,

則g′(x)=8xlnx+4x-4,

令h(x)=8xlnx+4x-4,

則h′(x)=8lnx+12,

則h(x)=x(8lnx+4)-4

∴當(dāng)0

當(dāng)x>1時(shí),h(x)>0,即g′(x)>0，

即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,

∴當(dāng)x=1時(shí),g(x)取得極小值g(1)=-3<0.

又g(0)=1>0,且g(e)=4e2-4e+1>0.

∴g(x)=0在(0,1)和(1,+∞)上各有1個(gè)零點(diǎn).

14.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=(x2+a)ex-a(x+1).

(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f(x)在(1,f(1))處的切線方程；

(Ⅱ)若a≥-2，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0.

【解題分析】(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex,f′(1)=3e,f(1)=e.

∴函數(shù)f(x)在(1,f(1))處的切線方程為

y-e=3e(x-1)，即3ex-y-2e=0.

(Ⅱ)證明:f′(x)=(x2+2x+a)ex-a,

令g(x)=f′(x)，

則g′(x)=(x2+4x+a+2)ex.

∵a≥-2,

∴當(dāng)x≥0時(shí)，(x2+4x+a+2)ex≥(x2+4x)ex≥0，

即g′(x)≥0,

∴g(x)在[0,+∞)上是增函數(shù)，

故g(x)≥g(0)=0，即f′(x)≥0,

∴f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),

∴f(x)≥f(0)=0，

故若a≥-2，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0.

15.(本小題滿分12分)

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

【解題分析】(Ⅰ)由題意可知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，

①當(dāng)a+1≤0,即a≤-1時(shí),f′(x)≤0,

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞),沒有極值；

②當(dāng)a+1>0,即a>-1時(shí),

由f′(x)=0，解得x=a+1,

當(dāng)00,

當(dāng)x>a+1時(shí),f′(x)<0，

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,a+1),單調(diào)遞減區(qū)間為(a+1,+∞)，函數(shù)f(x)有極大值,沒有極小值，

F(x)=-bxlnx+x2+b+1在[1,e]上有零點(diǎn)，

即方程-bxlnx+x2+b+1=0在[1,e]上有實(shí)根,

①當(dāng)b+1≤1,即b≤0,x∈[1,e]時(shí),h′(x)≥0,h(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,

②當(dāng)1

x∈[1,b+1]時(shí),h′(x)≤0,h(x)單調(diào)遞減,

x∈[b+1,e]時(shí),h′(x)≥0,h(x)單調(diào)遞增,

所以h(x)min=h(b+1)=2+b-bln(b+1),

由1

所以h(b+1)>2,

則h(x)=0在[1,e]上沒有實(shí)根.

③當(dāng)b+1≥e,即b≥e-1,x∈[1,e]時(shí),h′(x)≤0,h(x)在[1,e]上單調(diào)遞減,

16.(本小題滿分12分)

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

【解題分析】(1)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，

當(dāng)a≥0，x∈(0,2)時(shí),f′(x)<0;

當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，f′(x)>0，

此時(shí)，f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增.

當(dāng)a<0時(shí)，令f′(x)=0,解得x1=-a,x2=2.

①當(dāng)-a<2，x∈(0,-a)∪(2，+∞)時(shí)，

f′(x)>0;當(dāng)x∈(-a,2)時(shí)，f′(x)<0,

此時(shí)f(x)在(0,-a)和(2,+∞)上單調(diào)遞增，

在(-a,2)上單調(diào)遞減;

②當(dāng)-a>2時(shí)，x∈(0,2)∪(-a,+∞)時(shí)，f′(x)>0;

x∈(2,-a)時(shí)，f′(x)<0,

此時(shí)f(x)在(0,2)和(-a,+∞)上單調(diào)遞增，

在(2,-a)上單調(diào)遞減;

此時(shí)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

令h′(t)=0，則t=e,當(dāng)t∈(0,e)時(shí),h′(t)>0;

如圖可知:

①當(dāng)b≤0時(shí)，h(t)有唯一一個(gè)零點(diǎn)，

即g(x)有唯一一個(gè)零點(diǎn);

即g(x)有兩個(gè)零點(diǎn);

即g(x)有唯一一個(gè)零點(diǎn);

即g(x)此時(shí)無零點(diǎn).