一道圓錐曲線模擬題的命制與思考

廣東 潘敬貞

解析幾何是高中數(shù)學的核心內(nèi)容,也是高考命題的重點內(nèi)容.圓錐曲線解答題常以中檔題或壓軸題的形式出現(xiàn)，該題重點考查運用代數(shù)方法研究幾何問題，涉及的內(nèi)容主要包括平面幾何的性質(zhì)、直線方程、韋達定理、點到直線的距離公式、分類討論等解析幾何的核心內(nèi)容.該題的解答綜合考查學生的推理論證能力、運算求解能力、分析與解決問題能力、考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查學生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng).圓錐曲線解答題也是高考模擬考試必考的題目之一.本文就2018年汕頭市第二次模擬考試的圓錐曲線解答題的命制及思考與同行交流.

一、試題與解答賞析

(1)求橢圓C的方程；

當直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為y=kx+n，

代入橢圓方程化簡得(1+2k2)x2+4knx+2n2-2=0，

不妨設(shè)M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2)(θ1>θ2)，

【評析】第二問的“解法一”是本題的一般解法，但運算量較大.“解法二”其關(guān)鍵是聯(lián)立直線與曲線方程并求交點坐標，巧妙地回避了分類討論，運算量有所減小.“解法三”是在極坐標系下進行求解，將代數(shù)變形問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)恒等變形問題，運算量較小，過程簡潔，思路清晰.

二、命題思考

1.對第一問命制的思考

求一個指定的圓錐曲線方程或者求動點的軌跡方程，哪個更有利于解析幾何的考查，筆者思考了很久.從表面上看，求軌跡方程沒有指定曲線作定向的提示，問題的開放性較大，似乎更能考查求曲線方程，對考生的能力要求也似乎更高.其實不然，因為求指定曲線的方程和求軌跡方程都是考查用代數(shù)方法解決幾何問題——用曲線方程刻畫曲線特征.同時，兩種考查方式都在利用等量關(guān)系列方程并求出曲線方程，在本質(zhì)上是一致的.但是求指定曲線方程還可以考查考生從指定曲線中尋找更多的等量關(guān)系，兼顧對所指定曲線的特征和性質(zhì)的考查.因此筆者認為，求指定曲線的方程比求軌跡方程更能全面地考查圓錐曲線.當然，平時考試或訓練的命題，兩種考查方式都可以考慮.本次命題還要考慮有利于學生的解答，因此決定試題入口要寬，問題由淺入深，層層遞進，以提高試題的區(qū)分度，最后筆者確定，求一個指定的圓錐曲線方程并選擇常見的方法——待定系數(shù)法作為本道題第一問的考查方式.這與全國卷的命制思路基本吻合.

2.對第二問命制的思考

圓錐曲線解答題的第二問，一般是已知一條動直線或兩條動直線與第一問所求的指定曲線方程的位置關(guān)系，根據(jù)直線和曲線的性質(zhì)特征設(shè)置有關(guān)問題(主要考慮與題目所涉及的圓錐曲線的幾何意義、性質(zhì)特征、方程等)，曲線與已知直線所存在的幾何關(guān)系，以及直線方程等有關(guān)的問題.該問的解答主要用代數(shù)方法解決幾何問題，涉及的內(nèi)容主要包括平面幾何的性質(zhì)，直線方程，韋達定理，點到直線的距離公式，分類討論等解析幾何的核心內(nèi)容.本小題的解答主要考查學生的推理論證、運算求解、分析與解決問題等能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查學生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng).

三、答題情況與教學思考

1.答題情況分析

從閱卷情況來看，學生的運算求解能力普遍不高，有一部分學生有思路，但因為運算問題而選擇中途放棄.長期以來圓錐曲線解答題在高考中都以中檔題或壓軸題的形式出現(xiàn)，該題的命制通常是以直線與圓錐曲線相交為背景，通過推理變形后提出有意義的問題.通過對問題的解答考查學生數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，考查代數(shù)變形、恒等變形等能力和化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法.該題的求解對學生的能力要求比較高，考查學生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力，因此圓錐曲線解答題的求解成為眾多學生望而卻步的考題，眾多非重點中學數(shù)學老師欲講而不敢“逾越半步雷池”，造成“學會放棄也是一種美”的聲音頗為流行.不少學生面對圓錐曲線解答題的解答有一定的恐懼心理，甚至直接放棄解答.本次模擬考試閱卷發(fā)現(xiàn)有大批量的學生由于各種原因，圓錐曲線解答題位置空白.

2.教學思考

面對當前眾多學生的運算求解、推理論證能力普遍不高和面對圓錐曲線解答題有恐懼心理的現(xiàn)狀，需要全體教師共同想辦法改變這種現(xiàn)狀，從而促進學生健康成長.筆者根據(jù)多年備考經(jīng)驗，提出幾點思考，僅供大家參考.

(1)加強圓錐曲線基礎(chǔ)知識的教學.“重構(gòu)”概念知識，使學生了解圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義的形成過程，加強基本量求解和曲線方程求解的訓練，掌握曲線的性質(zhì)特征.逐漸幫助學生梳理知識、構(gòu)建知識體系，使知識網(wǎng)絡(luò)化、系統(tǒng)化.日常教學例題和訓練題的選取要突出基礎(chǔ)性，試題的解答更要講通性通法、易于歸納總結(jié)出解題套路，增強學生學習信心，逐漸消除學生的恐懼心理，有序地提升學生解題能力.

(2)教學設(shè)計要科學.教學內(nèi)容和教學方式方法的選取一定要符合學生的認知和最近發(fā)展區(qū)，要循序漸進，螺旋上升，逐步提升能力.數(shù)學能力綜合、復雜，提升數(shù)學能力并非一日之功，要循序漸進.建議從以下幾方面選取素材開展教學：第一是加強列關(guān)于基本量(a,b或c)的方程或其他等量關(guān)系式并求解基本量；第二是將已知條件、圖形中的幾何關(guān)系、向量運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系式；第三是根據(jù)已知條件求出特定直線方程和指定曲線方程，用代數(shù)方法判斷直線與曲線的位置關(guān)系，若直線與曲線相交則要求交點坐標或弦長，結(jié)合曲線上的特殊點求三角形或四邊形的面積；第四是根據(jù)已知條件求動直線的方程和動點的軌跡方程，判斷直線與曲線的位置關(guān)系，結(jié)合平面向量等其他知識轉(zhuǎn)化列方程并解決相關(guān)問題；第五是根據(jù)已知兩條動直線和某個幾何量的等式關(guān)系，通過推理得到某兩個量的等式關(guān)系，列有關(guān)弦長或其他幾何量關(guān)于某變量的方程或函數(shù)解析式，并解決相關(guān)問題.

(3)重視運算求解能力的培養(yǎng)，注重數(shù)學思想方法的教學.從閱卷情況來看，有相當一部分學生有思路，但因為運算問題而選擇中途放棄，也有不少學生因為缺乏分類討論思想導致解答不完整而被扣分，有相當多的學生由于欠缺方程思想、缺乏考慮特殊情形意識而丟掉得分機會等.因此，教師在平時教學時要多選擇恰當?shù)乃夭淖寣W生多嘗試列有關(guān)方程、解有關(guān)方程、求交點坐標、求弦長、求三角形或四邊形的面積等培養(yǎng)學生的運算求解能力和方程思想的意識.多結(jié)合平面幾何知識以及平面向量轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系式、數(shù)形結(jié)合分析問題、分類討論解決問題等，幫助學生理解化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學思想方法.鼓勵學生完整解答圓錐曲線解答題，幫助學生樹立解題信心，提高解題能力.