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    十年全國卷壓軸題中的函數(shù)與方程思想研究綜述

    2020-11-15 10:09:06陜西劉再平
    關(guān)鍵詞:壓軸零點導(dǎo)數(shù)

    陜西 劉再平

    一、函數(shù)與方程思想的內(nèi)涵、原則與思維模式

    1、函數(shù)與方程思想的內(nèi)涵

    函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中運動變化規(guī)律的一類重要模型,是高中數(shù)學(xué)的核心模塊,貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終. 函數(shù)思想是基于對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識,用聯(lián)系與變化的觀點提出數(shù)學(xué)對象、抽象數(shù)量特征并建立函數(shù)關(guān)系,用函數(shù)的知識來觀察、分析和解決問題的一種思維方式.方程思想是基于對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識,根據(jù)問題所表征的意思設(shè)一些未知量,然后根據(jù)題設(shè)中各個量之間的聯(lián)系,建立變量之間的等量關(guān)系,即列出方程或方程組去分析和轉(zhuǎn)化問題,使得問題獲得解決的一種思維方式.

    函數(shù)與方程聯(lián)系緊密,可以互相轉(zhuǎn)化. 若一個函數(shù)有解析式,那么這個解析式就可以看成一個方程,反過來一個二元方程中,兩個非空數(shù)集變量間存在著某種映射關(guān)系,則這個方程就可以看成一個函數(shù).如:解方程f(x)=0可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=f(x)的零點;方程f(x)=a有解可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)a屬于函數(shù)y=f(x)的值域;方程f(x)=g(x)的解可以轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的交點問題或轉(zhuǎn)化為新函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點個數(shù)問題.

    2、函數(shù)與方程思想的原則

    在運用函數(shù)與方程思想時,需要遵循以下原則:

    (1) 轉(zhuǎn)化等價性原則. 函數(shù)與方程問題互相轉(zhuǎn)化的前提是要保證轉(zhuǎn)化的等價性,如:在涉及三角換元的轉(zhuǎn)化過程中要注意三角函數(shù)的有界性,從而避免擴(kuò)大了函數(shù)的定義域.

    (2) 簡單性原則. 數(shù)學(xué)解題中,頻繁的復(fù)雜推理和運算會讓人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣受到消耗,所以要善于對比和辨析,在可接受的范圍內(nèi)追求其解法的簡單性. 如:2012年全國卷文科函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題可以通過變參分離,轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程問題,再通過隱含零點的代換解決,顯然這樣解決比較煩瑣,直接運用不等式與函數(shù)的最值解決更為簡潔.

    3、運用函數(shù)與方程思想解題的思維程序

    評注:(1)函數(shù)與方程是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主線,函數(shù)與方程思想也是中學(xué)階段運用最頻繁的數(shù)學(xué)思想,在解決相關(guān)問題時要有運用函數(shù)與方程轉(zhuǎn)化的意識;

    (2)函數(shù)與方程的引入方法有很多,特別是函數(shù)的引入手段非常豐富,如: 整體引入、局部引入、參變分離引入、分離函數(shù)引入、作差引入等;

    (3)在解決引入的函數(shù)與方程問題時,通常會用到函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、函數(shù)最值或函數(shù)的圖象等.

    二、近十年全國卷壓軸題中的函數(shù)與方程思想統(tǒng)計與分析

    近十年全國卷共42套試卷,即有42道壓軸題,其中35道是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題,約占總量的83.3%,這也表明函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題承擔(dān)了大部分全國卷壓軸題的角色,所以下面主要研究近十年全國卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中的函數(shù)與方程思想,具體如下統(tǒng)計:

    從上表可以獲得以下結(jié)論:

    首先,近十年全國卷35道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題有32道是對函數(shù)與方程思想的考查,約占91.4%,說明函數(shù)與方程思想在全國卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中考查得十分頻繁,不容忽視.

    其次,從上述表格不難發(fā)現(xiàn),函數(shù)與方程思想在2010年-2018年的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中考查較多,然而在2019年高考壓軸題中出現(xiàn)較少,這是因為2019年全國卷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的六套數(shù)學(xué)試卷的壓軸題有五道變?yōu)榱藞A錐曲線試題,然而這并不能斷定2020年高考全國卷不會以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容命制壓軸題,更不能說明高考會降低對函數(shù)與方程思想的考查.

    最后,近十年文理科全國卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題對函數(shù)與方程思想的考查頻率一樣高,這說明函數(shù)與方程思想要引起文理科師生的共同重視,具體來說,要重視構(gòu)造函數(shù)和通過參變分離將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點問題的能力.

    三、十年壓軸題中的函數(shù)與方程的引入方法

    如何引入函數(shù)和方程呢?引入函數(shù)和方程的具體方法有哪些呢?下面將以近十年函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題為例進(jìn)行闡述,鑒于篇幅,下文只分析函數(shù)與方程的引入思路,不給出詳細(xì)的解答過程.

    1、通過函數(shù)零點與方程的轉(zhuǎn)化引入

    由于函數(shù)的零點就是函數(shù)解析式等于零的方程的根,也是函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo),可以通過分離函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點問題,所以通過零點與方程的轉(zhuǎn)化是常見的引入方式.

    例1(2018·全國卷Ⅱ理·21)已知函數(shù)f(x)=

    ex-ax2.

    (Ⅰ)若a=1,證明:當(dāng)x≥0時,f(x)≥1;

    (Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)只有一個零點,求a.

    運用思路:(Ⅰ)證明略.

    (Ⅱ)由題函數(shù)f(x)在(0,+∞)只有一個零點,即方程f(x)=0在(0,+∞)只有一個根,通過代數(shù)變形后則方程1-ax2e-x=0在(0,+∞)只有一個根,所以引入函數(shù)g(x)=1-ax2e-x,問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)在(0,+∞)上與x軸只有一個交點.

    2、通過隱含零點與方程的轉(zhuǎn)化引入

    函數(shù)的隱含零點與方程的轉(zhuǎn)化是全國卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中的重點、熱點與難點,主要是要運用零點存在性定理準(zhǔn)確的找到隱含的零點,再將其轉(zhuǎn)化為方程問題,從而實現(xiàn)有效的代數(shù)變換,如:2019年全國卷Ⅱ文科壓軸題、2017年全國卷Ⅱ理科壓軸題、2016年全國卷Ⅱ理科壓軸題等.

    例2(2015·全國卷Ⅰ文·21)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

    (Ⅰ)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點的個數(shù);

    運用思路:(Ⅰ)當(dāng)a≤0時,f′(x)沒有零點;當(dāng)a>0時,f′(x)存在唯一零點;

    3、通過函數(shù)極值與方程的轉(zhuǎn)化引入

    函數(shù)極值問題也是全國卷高考常見的壓軸題,由于函數(shù)極值點處的導(dǎo)數(shù)值必然為零,所以函數(shù)極值問題常常轉(zhuǎn)化為方程根的問題,運用函數(shù)與方程思想解決.

    (Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

    (Ⅱ)由題f(x)存在兩個極值點x1,x2,因為極值點處的導(dǎo)數(shù)值為零,所以函數(shù)極值問題可以轉(zhuǎn)化:方程f′(x)=0存在兩個根x1,x2,通過代數(shù)變形知方程x2-ax+1=0存在兩個根x1,x2,再結(jié)合一元二次方程的韋達(dá)定理等知識解決問題.

    4、通過不等式與函數(shù)的轉(zhuǎn)化引入

    函數(shù)與不等式綜合問題是近十年全國卷中出現(xiàn)頻率最高的壓軸題類型,函數(shù)與不等式壓軸題通??梢越Y(jié)合函數(shù)思想,將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.

    例4(2016·全國卷Ⅲ文·21)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-x+1.

    (Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

    (Ⅲ)設(shè)c>1,證明當(dāng)x∈(0,1)時,1+(c-1)x>cx.

    運用思路:(Ⅰ)當(dāng)01時,f(x)單調(diào)遞減;

    (Ⅲ)由題要證1+(c-1)x>cx,即證cx-1-(c-1)x<0,引入函數(shù)m(x)=cx-(c-1)x-1,x∈(0,1),即轉(zhuǎn)為證明函數(shù)m(x)<0.

    5、通過絕對值與函數(shù)最值的轉(zhuǎn)化引入

    例5(2015·全國卷Ⅱ理·21)設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx.

    (Ⅰ)證明:f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;

    (Ⅱ)若對于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范圍.

    運用思路:(Ⅰ)證明略;

    (Ⅱ)由題對于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,可以將絕對值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題:對于任意x∈[-1,1],都有f(x)max-f(x)min≤e-1.

    四、教學(xué)建議

    在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的教學(xué)中,函數(shù)與方程思想是師生不得不重視的數(shù)學(xué)思想方法,當(dāng)然同一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題解決方法不同,其函數(shù)與方程的引入視角也有區(qū)別,這需要師生的辨析與優(yōu)化.那么,在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的教學(xué)中如何滲透函數(shù)與方程思想呢?筆者建議如下:

    (1)充分挖掘教材上的函數(shù)與方程思想. 如教材在探究函數(shù)的零點時,將函數(shù)y=f(x)的零點定義為方程f(x)=0的根,反過來方程f(x)=0的根也可以視為函數(shù)y=f(x)的零點等,這些教材核心內(nèi)容都是培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)與方程思想的好素材.

    (2)教師要上好數(shù)學(xué)概念課以及章末復(fù)習(xí)課,因為數(shù)學(xué)概念的生成往往滲透著數(shù)學(xué)思想,章末復(fù)習(xí)課不僅僅是組織學(xué)生做大量的習(xí)題,而是要突出章末復(fù)習(xí)課的兩個核心功能:一是構(gòu)建本章節(jié)知識的思維聯(lián)系,二是滲透數(shù)學(xué)思想方法.

    (3)有目的有意識的滲透、介紹和突出與函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題有關(guān)的函數(shù)與方程思想,展示函數(shù)與方程思想在指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題方面的魅力,再通過講練結(jié)合、合作探究與歸納領(lǐng)悟等多種方式促進(jìn)學(xué)生感悟函數(shù)與方程思想,提高學(xué)生靈活運用函數(shù)與方程思想解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的能力.

    (4)有計劃、有步驟循序漸進(jìn)的滲透函數(shù)與方程思想. 由于數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)具有隱晦性、活動性、主觀性和差異性,所以數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)一般都不是一蹴而就、一氣呵成的,它需要教師長期的滲透,學(xué)生慢慢的感悟和運用,這將是一個靜等花開的過程.

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