追根溯源 遇新不驚
——高考新題型剖析

山東 張邦杰

今年全國高考模擬試卷第17題首次出現(xiàn)開放型試題，形式新穎，很好地考查了學(xué)生對知識掌握的熟練程度和分析問題的能力.所謂開放型試題是指條件不確定或者答案不唯一，具有多種不同的解法、情景新穎，有別于傳統(tǒng)的試題.一般試卷中出現(xiàn)的傳統(tǒng)試題都是已知條件比較充分，研究的結(jié)論也是確定的問題，而開放型的題目條件可能不確定，其結(jié)論也可能具有不確定性.開放型題目的背景新穎、立意深刻，能起到“舉一反三”的效果，這是對傳統(tǒng)的“題海戰(zhàn)術(shù)”的極大挑戰(zhàn).《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》在內(nèi)容標準部分強調(diào)數(shù)學(xué)探究的教育價值，并且貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，而開放型試題不僅考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平，同時也對高中課程教學(xué)由關(guān)注教到關(guān)注學(xué)的轉(zhuǎn)變起到一定的推動作用.結(jié)果顯示學(xué)生在遇到這一類問題時，解答效果并不理想，失分現(xiàn)象嚴重，為加強對高考開放型試題的分析研究，幫助學(xué)生答疑解惑，現(xiàn)對典型的開放型試題進行分類剖析.

題型剖析：(2020·全國統(tǒng)一考試模擬卷·17)在①b1+b3=a2,②a4=b4,③S5=-25這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的k存在，求k的值;若k不存在，說明理由.

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,{bn}是等比數(shù)列，________，b1=a5,b2=3,b5=-81,是否存在k,使得Sk>Sk+1且Sk+1

注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【解題策略】本題中條件不完整，給出三個條件添加選擇項，構(gòu)建出完整題目后再解決問題，因此需要對題干要進行整體詳細分析，找出條件和結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系是解題關(guān)鍵，最后再決定選哪個條件是自己比較容易把握和入手的.根據(jù)條件中{bn}是等比數(shù)列，由b2,b5易確定{bn}，從而確定a5，那么三個條件無論選擇哪一個都可確定{an}.再分析使Sk>Sk+1,Sk+1

【詳細解析】在等比數(shù)列{bn}中，b2=3,b5=-81,因為b5=b2·q3，所以其公比q=-3,

所以bn=b2(-3)n-2=3×(-3)n-2,從而a5=b1=-1.

若存在k,使得Sk>Sk+1,即Sk>Sk+ak+1,從而ak+1<0;

同理，若使得Sk+10.

(方法一)若選①：由b1+b3=a2,得a2=-1-9=-10,所以an=3n-16,當k=4時，滿足a5<0,且a6>0成立;

若選②：由a4=b4=27,且a5=-1,所以等差數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，故不存在ak+1<0且ak+2>0;

若選②或選③(仿上可解決，過程略).

【解題反思】從本題的解析中可以看出這種開放型試題的解答是多樣性的，更能考查出學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平，但對知識本質(zhì)的考查我們并不陌生，只要熟練得掌握所考查知識，理解透徹，給出完美的解答并不困難.因為往年高考試題中并沒有這種形式的開放型試題，下面就在剖析2019年全國卷試題的基礎(chǔ)上，探究新題型的應(yīng)答.

問題研究一:(2019·全國卷Ⅰ文·18)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.已知S9=-a5.

(Ⅰ)若a3=4，求{an}的通項公式；

(Ⅱ)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍.

【解題策略】(Ⅰ)條件中給出了a3=4，S9=-a5．直接設(shè)出等差數(shù)列的首項和公差，易建立關(guān)于a1和d的方程組，求得a1和d的值，從而求出{an}的通項公式；

(Ⅱ)由S9=-a5得a5=0，又a1>0，可知d<0，將Sn≥an，轉(zhuǎn)化為a1和d的形式，得到關(guān)于n的不等式，從而求得結(jié)果.

所以等差數(shù)列{an}的通項公式為an=-2n+10.

(Ⅱ)由條件S9=-a5，得9a5=-a5，即a5=0，

因為a1>0，所以d<0，并且有a5=a1+4d=0，所以有a1=-4d.

因為d<0，所以n2-9n≤2n-10，即n2-11n+10≤0，

解得1≤n≤10，所以n的取值范圍是1≤n≤10(n∈N*).

【解題反思】本題考查的是等差數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的求和公式，在解題的過程中，需要認真分析題意，重視對數(shù)列基本量的分析并能正確求解不等式，熟練掌握基礎(chǔ)知識是正確解題的關(guān)鍵.下面將該題改編成一道開放型試題，從而體會新題型與傳統(tǒng)題型考查的異同點.

題型探析：在①S9=-a5,②S7=S2,③當n=4或n=5時，Sn均取最大值,這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的n存在，請求出n的值；若不存在，請說明理由.

記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a1>0，若________，是否存在n使得Sn≥an？

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【解題策略】本題給出的三個供選擇的條件都涉及了等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，那么an與Sn之間的聯(lián)系及性質(zhì)將是本題考查的關(guān)鍵知識點.

②由S7=S2，知S7-S2=a3+a4+a5+a6+a7=5a5=0，所以a5=0；

③由n=4或n=5時，Sn均取最大值，且a1>0，易知等差數(shù)列{an}單調(diào)遞減，S4=S5，所以a5=0.

【詳細解析】請參考本題解題策略及2019年全國卷Ⅰ文科第18題第(Ⅱ)問的解答過程，此處略.

【解題反思】由此題的設(shè)計可見，雖然題目的呈現(xiàn)方式有所變化，但與原高考題所考查的知識方面差別不大，所以對知識的學(xué)習(xí)要關(guān)注知識的本質(zhì)及知識間的內(nèi)在聯(lián)系，重視對問題的探究，不搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，就能做到以不變應(yīng)萬變，追根溯源，遇新不驚，得到完美的解答.全國高考模擬試卷中的開放題在第一道解答題位置上，此處往往考查數(shù)列或三角函數(shù)及三角恒等換、解三角形等知識，下面針對三角函數(shù)這個板塊探究一下本題型.

問題研究二:(2019·全國卷Ⅰ理·17)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(Ⅰ)求A；

即sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,

由正弦定理可得b2+c2-a2=bc,

(Ⅱ)本文不探討此問題，解析略.

【解題反思】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題，同時涉及兩角和差正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理對邊角關(guān)系式進行化簡，得到余弦定理的形式或角之間的關(guān)系.下面對這道高考題改編成一道開放型試題，從而思考與原高考題考查知識及能力方面的異同點.

若問題中的C存在，請求出C的值;若不存在，請說明理由.

注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【解題策略】本題給出的三個供選擇的條件都可以通過正弦定理或余弦定理進行轉(zhuǎn)化，從而求出A的值，然后再對問題進行解決.

【詳細解析】(Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c,

即sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,

由正弦定理可得b2+c2-a2=bc,

∴2 sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA, ∴2 sinB· cosA=sin(A+C)= sinB，

下面的解答過程請參考選擇①的解答過程，不再重述.

【解題反思】本題所提供的三個添加條件無論選擇哪一個，所考查的知識與技能都與2019年全國卷Ⅰ理科17題相似，解題的關(guān)鍵都是對正弦正理和兩角和與差公式的熟練應(yīng)用，但在考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面，新題型有較好的區(qū)分度.如果將本題中“是否存在C使得f(C)存在最大值？”改為“是否存在C使得f(C)存在最小值？”也是利用類似方法求解，在此不再贅述.

從以上兩個知識板塊的分析來看，新高考題型雖然在問題呈現(xiàn)方式上與往年高考題有所不同，更具有開放性和多樣性，但只要我們在研究高考試題時能多思考和總結(jié)所考查知識的本質(zhì)內(nèi)涵及重視知識間的內(nèi)在聯(lián)系，對問題分析透徹，我們就能做到從容應(yīng)答.這種題目形式的出現(xiàn)也體現(xiàn)了新高考趨勢和《高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》的要求，希望在平常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，能拋開“題海戰(zhàn)術(shù)”，重視數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升，就可以以不變應(yīng)萬變，做到遇新不驚！