“問題鏈”引導(dǎo)下的單元復(fù)習(xí)課的實踐
——以“解三角形”單元復(fù)習(xí)為例

江蘇 陳偉斌 張啟兆

單元復(fù)習(xí)課是一種重要的課型，通常安排在一個單元的最后，有構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)、回顧主要問題、綜合運(yùn)用知識、提高探究能力等作用.筆者在“問題鏈”引導(dǎo)下，立足問題驅(qū)動，以“解三角形”單元復(fù)習(xí)為例，對單元復(fù)習(xí)課進(jìn)行了實踐探索，獲得一些感悟，請各位同行不吝指教.

1 設(shè)計理解性問題，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)

知識回顧是單元復(fù)習(xí)課的起點(diǎn)，學(xué)生在新授課中，已大致經(jīng)歷了知識的形成過程，但留在腦海里往往是零散的、碎片狀的知識，為了提高學(xué)生對本單元的認(rèn)知，在單元復(fù)習(xí)課上，可通過設(shè)置一些理解性問題來喚起學(xué)生對知識的回憶，并借助此過程將碎片知識梳理成網(wǎng).

在“解三角形”單元復(fù)習(xí)這節(jié)課中，筆者設(shè)置了如下問題，以下是教學(xué)片斷.

活動方式學(xué)生筆算后，教師追問：什么叫解三角形？你用了哪些數(shù)學(xué)知識？還有其他方法嗎？你能編制一道題嗎？

設(shè)計意圖明確什么是解三角形；在不斷編題中牢牢掌握解三角形的方法，做到知三(至少有一條邊)求三，在此過程中復(fù)習(xí)正弦定理、余弦定理，理解求AC的優(yōu)化方法，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

2 設(shè)計問題串，建立知識間的聯(lián)系

知識之間是存在聯(lián)系的，在進(jìn)行復(fù)習(xí)時，利用問題串，引導(dǎo)學(xué)生對知識進(jìn)行梳理，建立起知識間聯(lián)系的結(jié)構(gòu)，不僅有利于學(xué)生對知識間關(guān)系的理解，也有利于學(xué)生產(chǎn)生新的認(rèn)識與理解，不僅提升了認(rèn)識水平，而且提高了學(xué)習(xí)知識的能力.

在“解三角形”單元復(fù)習(xí)這節(jié)課中，筆者引導(dǎo)學(xué)生編寫了如下問題串，以下是教學(xué)片斷.

問題 2如圖，問題1的條件不變，在△ABC中添加線段CD，使BD=1，求CD的長.

活動方式學(xué)生獨(dú)立思考后展示，

教師追問：還有其他方法嗎？

解完△ABC后，學(xué)生可以在△ACD中求CD， 也可以在△BCD中求解.

設(shè)計意圖形成解三角形的策略 1：先集中條件解某一個三角形，進(jìn)而延伸到其他三角形.

教師追問：三角形中的主要線段有哪些？你能用三角形中的主要線段改編本題嗎？

問題 3如圖，變問題2中的線段CD為三角形的中線，求CD的長.

活動方式學(xué)生獨(dú)立思考、展示、研討、優(yōu)化.

教師追問:還有其他較為簡便的方法嗎？

方案2：倍長中線CD；

設(shè)計意圖總結(jié)出解三角形的策略 2：同時著眼于兩個三角形，抓住聯(lián)系，形成等量關(guān)系，解方程，培養(yǎng)邏輯推理等核心素養(yǎng).

問題 4如圖，變問題2中的線段CD為角平分線，求CD的長.

活動方式學(xué)生獨(dú)立思考、展示、研討、優(yōu)化.

教師追問:還有其他較為簡便的方法嗎？

小組研討，形成方案：S△ACD+S△BCD=S△ABC，解方程得CD.

設(shè)計意圖通過面積相等，同時關(guān)注三個三角形，形成等量關(guān)系，培養(yǎng)整體性分析問題的能力,培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

問題 5如圖，變問題2中的線段CD為AB邊上的高，D為垂足，求CD的長.

活動方式學(xué)生獨(dú)立思考、展示、研討、優(yōu)化.

教師追問:還有其他較為簡便的方法嗎？

設(shè)計意圖通過兩種不同的方式計算△ABC的面積，利用方程思想，形成等量關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生用不同視角看問題，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

3 設(shè)計綜合性問題，強(qiáng)化知識應(yīng)用

因為是在整個單元知識學(xué)習(xí)之后上復(fù)習(xí)課，為綜合運(yùn)用本單元知識、解決問題提供了可能，所以在單元復(fù)習(xí)課上，設(shè)置一些綜合性的問題，將多個知識融合在一起，可以提高學(xué)生分析問題與解決問題的能力.

“解三角形”單元復(fù)習(xí)這節(jié)課中，筆者設(shè)置的綜合性問題是一道正弦定理與余弦定理的綜合題和一道實際應(yīng)用問題，以下是教學(xué)片斷.

( )

A.6 B.5 C.4 D.3

活動方式學(xué)生獨(dú)立思考、展示、研討、優(yōu)化.

設(shè)計意圖形成解三角形的策略 3：遇到邊、角混合條件時，通常運(yùn)用正弦定理或余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最好轉(zhuǎn)化為只有邊或只有角的問題，并注意式子的結(jié)構(gòu)形式與正弦定理，余弦定理的關(guān)系.培養(yǎng)化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

問題 7如圖，某湖泊濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個觀景臺P，已知射線AB，AC為濕地兩邊夾角為120°的公路(長度均超過2千米)，在兩條公路AB，AC上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)M，N，從觀景臺P到M，N建造兩條觀光線路PM，PN，測得AM=2千米，AN=2千米.

(Ⅰ)求線段MN的長度；

(Ⅱ)若∠MPN=60°，求兩條觀光線路PM與PN之和的最大值.

活動方式學(xué)生獨(dú)立思考、展示、研討、優(yōu)化.

設(shè)計意圖綜合運(yùn)用正弦定理與余弦定理來解決實際應(yīng)用問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

在此問題的解決過程中，要充分發(fā)揮追問的功能，本節(jié)課上筆者作了如下追問：

①第(2)小題的目標(biāo)是什么？你以前遇到過求最大值的問題嗎？有哪幾種策略？

②要想把PM與PN分別用函數(shù)表示出來，就需要引入一個自變量，選擇什么為自變量呢？不妨觀察一下圖形，看看PM與PN在哪里？引導(dǎo)學(xué)生設(shè)∠PMN=α或∠PNM=α.

4 設(shè)計課堂小結(jié)問題，提升整體認(rèn)知

問題8引導(dǎo)學(xué)生從基礎(chǔ)知識、基本方法、基本經(jīng)驗、基本應(yīng)用四個方面談?wù)摫竟?jié)課的感悟與收獲.

活動方式學(xué)生獨(dú)立思考、交流.

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生對認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的一些解法進(jìn)行反思與提煉，掌握正確的學(xué)科思想方法，發(fā)展積極的情感態(tài)度與價值觀，積累基本經(jīng)驗.

(1)基礎(chǔ)知識：正弦定理、余弦定理、面積公式，反映了三角形邊、角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.

(2)基本方法：解三角形問題，實質(zhì)是列方程，求未知數(shù)；有多個三角形時，注意路徑選擇，可以突破一個三角形，延伸到其他三角形，也可以著眼題中特殊條件，從整體上尋求結(jié)構(gòu)聯(lián)系，建立等量關(guān)系.

(3)基本經(jīng)驗： 已知三角形的中線、角平分線、高線時，如何解三角形、如何優(yōu)化運(yùn)算等經(jīng)驗.

(4)基本應(yīng)用：從金字塔的建造到尼羅河兩岸的土地丈量，從大禹治水到都江堰的修建，從天文觀測到精密儀器的制作等，人們都離不開對幾何圖形的測量、設(shè)計與計算，而解三角形是研究幾何問題的最基本方法，在實際生活中有廣泛的應(yīng)用.

5 教學(xué)思考

通過實踐，筆者認(rèn)為“問題鏈”引導(dǎo)下的單元復(fù)習(xí)課有易于提高學(xué)生認(rèn)知、易于把握單元結(jié)構(gòu)、易于提高解題能力、易于發(fā)揮主體作用等，值得提倡.

5．1 數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)是單元復(fù)習(xí)課的一個好形式

鄭毓信先生曾指出，從“深度學(xué)習(xí)”到“深度教學(xué)”的具體工作中應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)問題引領(lǐng)的重要性，這也是教師如何做到“深度教學(xué)”最重要的一種方法途徑，讓思維在問題鏈中由淺入深，可以這么說，數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)是促進(jìn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的一個抓手.

5．2 單元復(fù)習(xí)課要關(guān)注學(xué)生素養(yǎng)的提升

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中指出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體現(xiàn)在能用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，能用數(shù)學(xué)的思維思考世界，并能用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，單元復(fù)習(xí)課應(yīng)進(jìn)一步關(guān)注基于視覺觀念與方法觀念的問題鏈教學(xué)研究，通過視角關(guān)聯(lián)、方法關(guān)聯(lián)實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的廣遷移．本節(jié)課通過問題設(shè)計引導(dǎo)學(xué)生思考三角形邊、角之間的邏輯關(guān)系，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、問題解決的策略，幫助學(xué)生將知識結(jié)構(gòu)化，逐步形成良好的思維能力.

5．3 有效的“問題鏈”要遵循“三條基本原則”

核心素養(yǎng)是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中逐漸形成的必備品質(zhì)和關(guān)鍵能力，是知識、能力、思維、方法、情感和價值觀的有機(jī)統(tǒng)一，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和發(fā)展不是一蹴而就的，培養(yǎng)和發(fā)展核心素養(yǎng)，一定要關(guān)注教學(xué)過程，使教學(xué)過程成為培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有效載體．因此，單元復(fù)習(xí)課不能上成知識羅列課，或解題教學(xué)課，或?qū)ｎ}復(fù)習(xí)課，而要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)在“問題鏈”引導(dǎo)下，精心設(shè)計問題串，浙江師范大學(xué)的唐恒鈞先生認(rèn)為，有效的“問題鏈”要遵循三條基本原則：一是指向數(shù)學(xué)并提供高水平的數(shù)學(xué)內(nèi)容；二是問題之間關(guān)系要展現(xiàn)思考的合理脈絡(luò)；三是問題之間要提供思考跨度．這樣才能實現(xiàn)單元復(fù)習(xí)課的深度教學(xué).此外，“問題鏈”教學(xué)對學(xué)生的要求是：有效先學(xué)、獨(dú)立思考、適當(dāng)合作、主動交流、大膽質(zhì)疑、認(rèn)真傾聽、善于歸納；對教師的要求是：內(nèi)容科學(xué)、善于引導(dǎo)、充分激勵、語言精練，媒體適當(dāng).在“前置練習(xí)”中設(shè)置有關(guān)核心概念、重要性質(zhì)的基礎(chǔ)題，通過前置練習(xí)梳理出相關(guān)的概念與性質(zhì)，進(jìn)而拓展出與之相關(guān)的外延知識．變式教學(xué)的內(nèi)容不宜提前印在導(dǎo)學(xué)案上，而應(yīng)在課堂上生成，利用多媒體即時呈現(xiàn)，這樣才能充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，激勵學(xué)生的探索精神，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，增強(qiáng)課堂生成的靈動性.

5．4 及時反思與提煉是培育核心素養(yǎng)的有效途徑

要及時引導(dǎo)學(xué)生對認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的一些解法進(jìn)行反思與提煉，掌握正確的學(xué)科思想方法，發(fā)展積極的情感態(tài)度與價值觀．教學(xué)中既要引導(dǎo)學(xué)生對認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的一些解法進(jìn)行反思與提煉，讓學(xué)生認(rèn)識到知識與方法之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建立起對一類問題的整體認(rèn)知，進(jìn)而生成處理一類問題的基本方法、基本經(jīng)驗，這樣才能讓學(xué)生做到舉一反三，觸類旁通；還要重視算理算法，優(yōu)化解題方法，培養(yǎng)運(yùn)算能力.教學(xué)中需對學(xué)生的解題方法進(jìn)行梳理、改造，讓學(xué)生明白每一種方法的優(yōu)點(diǎn)(適用面)和缺點(diǎn)(不適用面).在學(xué)生已經(jīng)解答的基礎(chǔ)上，可以通過展示學(xué)生的解答，點(diǎn)撥方法、糾正錯誤、規(guī)范格式，如本節(jié)課的典型例題的講評，盡量讓學(xué)生闡述思路、聯(lián)想拓展、自制試題、小結(jié)歸納，鼓勵學(xué)生多元參與，提升思維能力，培育核心素養(yǎng).