立足教材 深度研究 對決高考 備戰(zhàn)自招
——源于一道教材習(xí)題的思考與拓展

四川 唐有強(qiáng)

縱觀近幾年高考數(shù)學(xué)試題，都遵循“立足基礎(chǔ)，考查能力”的原則，立足教材，生成教材變題.在教育部提出的“一核四層四翼”的高考評價(jià)體系涵蓋下，我們總能找到教材例題、習(xí)題的改編，高考試題源于教材而高于教材，有些高考試題的結(jié)論和方法來源于教材,我們應(yīng)深挖教材例題和習(xí)題的潛能，重視部分例題和習(xí)題蘊(yùn)含的豐富知識點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法、解題技巧；深入分析、拓展升華，挖掘其內(nèi)在的潛能，探求到更一般的結(jié)論，做到知識點(diǎn)和思想方法源于教材，但卻又高于教材，不僅能優(yōu)化學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，還能提升學(xué)生研究問題的能力，教材對培養(yǎng)優(yōu)秀的學(xué)子是不可多得的第一手資料.如何達(dá)到知識拓展、能力培養(yǎng)雙豐收，下面筆者以教材中的一道習(xí)題為例，結(jié)合相應(yīng)的高考、競賽、自招試題，說明立足教材，重視課本例題、習(xí)題的重要性，并歸納引導(dǎo)出一些相關(guān)的性質(zhì)和試題，供讀者參考.

一、教材習(xí)題呈現(xiàn)與分析解答

【分析】試題的結(jié)構(gòu)簡單明了，知識方面主要考查余弦定理解三角形、誘導(dǎo)公式；思想方法主要考查化歸與轉(zhuǎn)化，綜合考查學(xué)生的邏輯思維、轉(zhuǎn)化、推理論證與運(yùn)算求解等方面的能力，該習(xí)題的思維與運(yùn)算過程較好地體現(xiàn)了能力立意的思想，對三角形中的特殊線(中線)的長度進(jìn)行計(jì)算，體現(xiàn)了習(xí)題以點(diǎn)帶面的性質(zhì)，讓老師、學(xué)生有拓展思考的空間.

因?yàn)閏os∠ADB+cos∠ADC=0,

二、一題多變，挖掘教材習(xí)題的拓展價(jià)值

【思考一】當(dāng)點(diǎn)D為邊BC上任意一點(diǎn)時(shí)，又有什么結(jié)論呢？

【變式1】已知在△ABC中，當(dāng)點(diǎn)D為邊BC上任意一點(diǎn)時(shí),則AD=________.

消去cosB得AB2·DC+AC2·BD=BD·DC·BC+AD2·BC，

(AB2·DC+AC2·BD=BD·DC·BC+AD2·BC是著名的斯特瓦爾特定理)

【思考二】當(dāng)點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，且滿足BD=λBC時(shí),又有什么結(jié)論呢？

【變式2】已知△ABC的三邊分別為a,b,c，當(dāng)點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，且滿足BD=λBC時(shí)，則AD=________.

解：因?yàn)锽D=λBC，則BD=λa,DC=(1-λ)a，

代入變式1的結(jié)論：

【思考三】若AD為∠BAC的內(nèi)角平分線，又有什么結(jié)論呢？

【變式3】已知在△ABC中，若AD為∠BAC的內(nèi)角平分線，則AD=________.

把②代入①得AD=

【思考四】若AD為∠BAC的外角平分線，又有什么結(jié)論呢？

【變式4】已知在△ABC中，若AD為∠BAC的外角平分線，則AD=________.

解：如圖,由斯特瓦爾特定理得

【思考五】當(dāng)AD分∠BAC為α與β，又有什么結(jié)論呢？

【變式5】已知在△ABC中，當(dāng)AD分∠BAC為α與β,則AD=________.

解：如圖，在△ABC中，設(shè)AD=l，∠BAD=α，∠CAD=β，

三、呈現(xiàn)教材習(xí)題的拓展價(jià)值在高考自招競賽中的應(yīng)用

1.(2015·全國卷Ⅱ理·17)△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍.

由斯特瓦爾特定理得

2.(2018·江蘇卷·13)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為________.

當(dāng)且僅當(dāng)c=2a=3時(shí)取等號，則4a+c的最小值為9.

當(dāng)且僅當(dāng)c=2a=3時(shí)取等號，則4a+c的最小值為9.

3.(2018·復(fù)旦大學(xué)自主招生試題)在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，AB=c,AC=b,AD=h,BD=x,CD=y，則

x2+y2+2h2=b2+c2是AD為中線的什么條件？

【解析】由斯特瓦爾特定理得x2+y2+2h2=b2+c2，此時(shí)x不一定等于y，而當(dāng)AD為中線，即x=y時(shí),肯定有x2+y2+2h2=b2+c2，中線只是D為BC邊上一點(diǎn)的一種特例，故x2+y2+2h2=b2+c2是AD為中線的必要不充分條件.

4.(2017·北京大學(xué)自主招生試題)已知三角形的三條中線長度分別為9,12,15，則該三角形的面積為

( )

A.69 B.72

C.75 D.前三個(gè)答案都不對

【解析】法1：設(shè)三角形的三邊分別為a,b,c，由斯特瓦爾特定理得

法2：如圖，△ABC的三條中線AD=9,BE=12,CF=15,G為重心，延長GD至P,使得GD=DP,則S△BGC=S△BGP.

從而BP2=BG2+GP2，所以∠BGP=90°,S△BGP=24,所以S△ABC=3S△BGP=72.

【證明】取邊BC的中點(diǎn)為D,設(shè)△ABC的BC邊上的高為h，則h≤AD,

6.(IMO-10試題)若△ABC的三邊為連續(xù)整數(shù)，且最大角∠B是最小角∠A的兩倍，求三角形的三邊長.

【解析】法1：作∠ABC的平分線BD(如圖)，則BD=AD,設(shè)AB=x,AD=y，

則AC=x+1,BC=x-1,CD=x+1-y，由斯特瓦爾特定理有y2=x(x-1)-y(x+1-y),

總之，現(xiàn)行教材是中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心集體智慧的結(jié)晶，是數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法的重要載體，又是老師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”的主要材料，承載著新課程改革的理念，滲透著創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)，同時(shí)也引領(lǐng)著高考改革的發(fā)展方向，教材中的例題、習(xí)題是經(jīng)過編者精心打磨與設(shè)計(jì)的，具有典型性和引領(lǐng)性，大都蘊(yùn)含著深刻的背景、豐富的數(shù)學(xué)思想，我們應(yīng)深入挖掘與研究教材中的例題、習(xí)題，巧妙加工、變換、延展，老師充分利用教材中呈現(xiàn)的試題，高觀點(diǎn)引導(dǎo)調(diào)度學(xué)生，學(xué)生利用這些習(xí)題進(jìn)行自主探究或合作探究，不僅可以拓展學(xué)生的知識，同時(shí)還可以培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力，很好地為高考、自招競賽服務(wù).