例說一類復合函數(shù)零點個數(shù)的解題策略

廣東 葉土生

1.問題的提出

縱觀近幾年全國各省市的各類模擬考試題及高考試題中，函數(shù)零點是考查的重點.這類問題常常作為能力題出現(xiàn)，其中有一類復合函數(shù)的零點個數(shù)問題是近些年的考查熱點和難點.這類問題不僅可以涉及函數(shù)的各類性質(zhì)，同時也可以將函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類與整合以及化歸與轉(zhuǎn)化等高中常見的數(shù)學思想方法蘊含其中進行綜合考查.所以復合函數(shù)的零點問題具有綜合性強和難度大等特點，對考生的思維能力、運算能力和轉(zhuǎn)化能力等都提出了很高的要求.對于這類問題，學生普遍感覺難以把握，并且有些教師在講解這類問題時，也是就題論題，沒有給學生解釋清楚其中的原理和主要的解題策略.本文試圖通過具體的例題將這類零點問題進行深層次的剖析，從中歸納出解題要領和策略.首先我們先從一道模擬試題探尋這類問題的解題思路和技巧.

2.典型例題解析

例1.如圖，偶函數(shù)f(x)的圖象如字母M的形狀，奇函數(shù)g(x)的圖象如字母N的形狀，若方程f[g(x)]=0，g[f(x)]=0的實根個數(shù)分別為m，n，則m+n=

( )

A.18 B.16

C.14 D.12

解:由圖象知，f(x)=0有3個實根xi(i=1,2,3)，其中x1∈(-2,-1)，x2=0，x3∈(1,2).g(x)=0有3個實根yi(i=1,2,3)，其中y1∈(-1,0)，y2=0，y3∈(0,1).由f[g(x)]=0，得g(x)=xi(i=1,2,3).由圖象可知方程g(x)=xi(i=1,2,3)都有3個實根，因而m=9；由g[f(x)]=0，得f(x)=yi(i=1,2,3)，由圖象可得f(x)=yi(i=1,2,3)的實根個數(shù)分別為2,3,4，即n=9，所以m+n=9+9=18，故選A.

剛才我們分別從代數(shù)和圖象兩個角度分析了f[g(x)]=0解的個數(shù)的解題策略，即可以先進行換元將問題轉(zhuǎn)化為求解一個二元方程組，并結合f(x)和g(x)的函數(shù)圖象觀察得到結果.我們可以把這一策略進行推廣，對于這一類問題都可以從以上兩個角度進行研究.

例2.若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有極值點x1,x2，且f(x1)=x1

( )

A.3 B.4

C.5 D.6

下面再看一例含參的較為綜合的問題，如果把以上方法領悟透了，問題也是能迎刃而解的.

( )

A.(-1,0) B.(0,1)

分析:本題提供的參考答案是將函數(shù)h(x)直接進行求導，然后分析函數(shù)的單調(diào)性，極值點，結合極限的思想進行分類討論，非常復雜，學生很難領悟.如果用類似于前面的方法將問題分而治之，問題的解決思路就顯得非常簡單清晰.

f(x)的性質(zhì)較為明顯，是偶函數(shù)，且當x≥0時，f(x)=2x-x2，從而很容易畫出函數(shù)圖象，如圖所示.

當k>0時，f(t)=k有四個不同的解；當k=0時，f(t)=k有三個不同的解；當k<0，f(t)=k有兩個不同的解.

而當k≤0時，可以看出h(x)最多只有三個零點，如圖所示，不合題意；

當k>0時，觀察圖象，h(x)可能有4個、5個或6個零點，共三種情況.

例4.已知函數(shù)f(x)=x2+px+q，且f[f(x)]=0僅有一實根.求證:p≥0,q≥0.

分析:本題的參考答案提供的是先用零點式表示出f[f(x)]，然后針對判別式Δ進行分類討論，運算較為煩瑣，學生也不易想到其中技巧.以下提供一種類似以上的方法技巧，能很巧妙地解決本題.

3.體會與反思