類(lèi)比思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

寇宗娣

【內(nèi)容摘要】為了找到“火星上是否有生命”的正確答案，有科學(xué)家將地球與火星進(jìn)行類(lèi)比，發(fā)現(xiàn)火星的某些特征與地球很相似，如二者都是繞太陽(yáng)而轉(zhuǎn)；二者都存在大氣層；二者都會(huì)遭遇季節(jié)的更迭，此外，大多數(shù)時(shí)間下的火星溫度都適宜讓地球上的某些已知生物進(jìn)行生存……由此，科學(xué)家猜想：火星上也可能有生命存在?？茖W(xué)家做出上述猜想的推理過(guò)程就是類(lèi)比推理。這種由兩類(lèi)對(duì)象具有某些相似或相同的屬性事實(shí)出發(fā)，引入另一類(lèi)同樣具備這些特征的對(duì)象的推理就叫作類(lèi)似推理，或簡(jiǎn)稱(chēng)為類(lèi)比。類(lèi)比推理的過(guò)程則可理解為：由特殊到特殊，由此及彼的過(guò)程。

【關(guān)鍵詞】類(lèi)比思想 高中數(shù)學(xué) 教學(xué)應(yīng)用

類(lèi)比作為一種重要的思維方法和推理方法，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中占有舉足輕重的地位，數(shù)學(xué)家波利亞（GeorgePolya）認(rèn)為，類(lèi)比對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要指導(dǎo)意義，求解立體幾何問(wèn)題同樣有賴(lài)于平面幾何中的類(lèi)比問(wèn)題。筆者認(rèn)為在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們必須認(rèn)真審視和對(duì)待它。

在這里，筆者為大家展示一個(gè)基于“類(lèi)比平面幾何結(jié)論，探索立體幾何性質(zhì)”的假設(shè)。

如圖所示：對(duì)平面直角三角形的勾股定理作類(lèi)比，從而得出空間四面體性質(zhì)的假設(shè)。

這道題的類(lèi)比對(duì)象為？其分別具備怎樣的特征？直角三角形內(nèi)邊長(zhǎng)的關(guān)系為？在空間四面體內(nèi)做類(lèi)比可從哪一角度入手？

學(xué)生1：由于直角三角形兩條邊垂直（相互），因此，這里可選擇三個(gè)面兩兩垂直的四面體，以此為直角三角形的類(lèi)比對(duì)象。

學(xué)生2：在直角三角形中，有AC2+BC2=AB2；直角三角形中的C點(diǎn)對(duì)應(yīng)四面體中的D點(diǎn)。

在四面體中有：PD2+ED2+FD2=PE2+EF2+PF2

學(xué)生3：他的結(jié)論不正確，根據(jù)邊長(zhǎng)之間的關(guān)系可以知道結(jié)論是錯(cuò)誤的。

學(xué)生4：猜想在四面體中有以下結(jié)論：S2=S21+S22+S23

教師：很好！這個(gè)結(jié)論正確嗎？可找一個(gè)特例先驗(yàn)證一下.

學(xué)生5：我選取DP=DE=DP=1，驗(yàn)證結(jié)論成立.

教師：這就增大了結(jié)論成立的可能性.但驗(yàn)證代替不了證明，類(lèi)比結(jié)果的正確的還須嚴(yán)格證明。

師生共同分析：與直角三角形ABC相對(duì)應(yīng)的是四面體P-DEF，與直角三角形ABC的直角邊長(zhǎng)相對(duì)應(yīng)的，是四面體的面DEF，面FPD，面DPE的面積S1，S2，S3與直角三角形ABC的斜邊長(zhǎng)相對(duì)應(yīng)的是四面體的面PEF的面積S。我們用長(zhǎng)度度量線段，當(dāng)然用面積度量面的大小。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中類(lèi)比思想也應(yīng)用在很多模塊中，比如等差數(shù)列與等比數(shù)列的學(xué)習(xí)、三類(lèi)圓錐曲線的學(xué)習(xí)、圓與球體之間的性質(zhì)對(duì)比，基本初等函數(shù)中的三類(lèi)基本函數(shù)的學(xué)習(xí)，平面向量與空間向量之間的公式類(lèi)比，處處滲透著類(lèi)比的思想。

等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列中的基本知識(shí)，它們之間有許多相似的地方，我們?cè)谥v授等比數(shù)列的性質(zhì)時(shí)，大多數(shù)老師都用的是類(lèi)比法。讓學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)等差數(shù)列的方法，類(lèi)比得到等比數(shù)列的性質(zhì)，更能促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握。例如：通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的函數(shù)性，等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)的性質(zhì)應(yīng)用。

總之，對(duì)于每一位數(shù)學(xué)老師來(lái)說(shuō)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)是一項(xiàng)長(zhǎng)期而艱巨的任務(wù)，類(lèi)比教學(xué)，類(lèi)比學(xué)習(xí)都是很好地讓學(xué)生通過(guò)探索，掌握其規(guī)律的方法，從而達(dá)到舉一反三的目的。所以我們必須要具備研究經(jīng)驗(yàn)的積累，通過(guò)合情推理完成課堂教學(xué)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].人民教育出版社，2018.

[2]張乃達(dá).數(shù)學(xué)思維教育學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社，1990.

（作者單位：甘肅省白銀市第一中學(xué)）