壓縮采樣稀疏陣列結(jié)構(gòu)及其參數(shù)估計(jì)技術(shù)

陳濤， 韓旭天， 禹永植

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

隨著雷達(dá)體制的不斷發(fā)展，電子偵察面臨的電磁環(huán)境越來(lái)越復(fù)雜，傳統(tǒng)的信道化數(shù)字接收機(jī)正面臨著各種問(wèn)題，如采樣數(shù)據(jù)量過(guò)大，跨信道信號(hào)的處理等，增加了后續(xù)信號(hào)處理的難度[1]。壓縮采樣理論的提出為上述問(wèn)題提供了解決方法[2-3]。文獻(xiàn)[4]提出的調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器結(jié)構(gòu)可對(duì)頻域稀疏的多帶信號(hào)進(jìn)行壓縮采樣，并提出了該結(jié)構(gòu)下的信號(hào)重構(gòu)方案。文獻(xiàn)[5]將調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器結(jié)構(gòu)擴(kuò)展到離散數(shù)字域構(gòu)建了基于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的壓縮采樣數(shù)字接收機(jī)，該接收機(jī)可以靈活解決跨信道信號(hào)問(wèn)題，且經(jīng)過(guò)壓縮采樣獲得的數(shù)據(jù)量遠(yuǎn)少于傳統(tǒng)的信道化數(shù)字接收機(jī)。由于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器結(jié)構(gòu)不會(huì)提高各支路的信噪比，因此傳統(tǒng)的載頻恢復(fù)算法，如正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit，OMP)算法，需要的運(yùn)算量過(guò)大，且低信噪比下恢復(fù)效果差。為解決上述問(wèn)題，文獻(xiàn)[6]提出基于陣列結(jié)構(gòu)的調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器結(jié)構(gòu)，并提出了該結(jié)構(gòu)下的載頻和到達(dá)角(direction of arrival, DOA)聯(lián)合恢復(fù)算法，且證明了該結(jié)構(gòu)具有更好的抗噪聲性能。文獻(xiàn)[7]提出一種基于參考陣元的均勻陣列調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器結(jié)構(gòu)，并利于相關(guān)性檢驗(yàn)的方法完成多信號(hào)的載頻和DOA估計(jì)；然而所提出的結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，且提出的算法依舊是以重構(gòu)算法為基礎(chǔ)，需要的運(yùn)算量較大。文獻(xiàn)[8]提出了基于均勻陣列結(jié)構(gòu)的壓縮采樣數(shù)字接收機(jī)，在該結(jié)構(gòu)中利用循環(huán)移位的偽隨機(jī)序列來(lái)構(gòu)造特殊的通道間相位差，并直接利用壓縮采樣數(shù)據(jù)完成了載頻和DOA估計(jì)。所提出的方法低信噪比下估計(jì)性能較差，為了提高精度必須要增加陣元數(shù)，提高了系統(tǒng)的復(fù)雜度。稀疏陣列可以利用較少的陣元獲得較大的陣列孔徑，不僅可以提高測(cè)向性能，還可以降低天線的建造成本[9-12]。文獻(xiàn)[13]中提出了一種基于稀疏陣列的接收機(jī)結(jié)構(gòu)，可以利用壓縮信號(hào)數(shù)據(jù)得到載頻和DOA的估計(jì)。本文根據(jù)稀疏陣列布陣靈活，可以有效減小陣列冗余度的優(yōu)點(diǎn)，提出了壓縮采樣稀疏陣列結(jié)構(gòu)，降低了接收系統(tǒng)復(fù)雜度，并提出利用多重信號(hào)分類算法(multiple signal classification, MUSIC)直接處理壓縮采樣數(shù)據(jù)完成載頻和DOA的聯(lián)合估計(jì)，減少了后續(xù)處理的數(shù)據(jù)量和處理速率，更易于硬件實(shí)現(xiàn)。

1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和原理

1.1 稀疏陣列接收信號(hào)模型

稀疏陣列有2種特殊的形式，即互質(zhì)陣列和嵌套陣列。其中互質(zhì)陣列是由2個(gè)不同間距的均勻陣列穿插組合而成，互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)Fig.1 Diagram of the coprime array

假設(shè)其中一個(gè)含有m個(gè)陣元，陣元間距為nd；另一個(gè)含有n個(gè)陣元，陣元間距為md，m和n為2個(gè)互質(zhì)的數(shù)，且m

因此得到互質(zhì)陣列下的導(dǎo)向矢量表示為：

(1)

嵌套陣列種類較多，本文只介紹二級(jí)嵌套陣列。二級(jí)嵌套陣列與互質(zhì)陣列類似，都是由2個(gè)子陣組合而成，其結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 嵌套陣列結(jié)構(gòu)Fig.2 Diagram of the nested array

假設(shè)一級(jí)子陣含有L1個(gè)陣元，陣元間距為d1；二級(jí)子陣含有L2個(gè)陣元，陣元間距為d2=(L1+1)d1，則一級(jí)子陣的陣元位置可以表示為D1={l1d1,l1=0,1,…,L1-1}，二級(jí)子陣的陣元位置為D2={l2L1d1,l2=1,2,…,L2}，對(duì)應(yīng)虛擬陣元位置為：DNA={nd1,n=-L,-L+1,…,L-1,L,L=L2(L1+1)-1}。

二級(jí)嵌套陣列的導(dǎo)向矢量表示為：

(2)

由式(1)、(2)可知，互質(zhì)陣列和嵌套陣列陣元擺放位置不同，由于相同陣元數(shù)下，嵌套陣列的虛擬陣元為無(wú)孔滿陣，因此其性能優(yōu)于互質(zhì)陣列。

假設(shè)稀疏陣列陣元位置設(shè)置為D=[d1,d2,…,dM]d，其中di∈Z,i=1,2,…,M，陣元最小間距d為波長(zhǎng)λ的一半。在電子偵察環(huán)境中，在絕大多數(shù)情況下電子偵察接收機(jī)處理的信號(hào)情況為單個(gè)到達(dá)的信號(hào)，因此考慮只有1個(gè)信號(hào)入射到M個(gè)陣元的稀疏陣列上，假設(shè)入射信號(hào)s[n]為復(fù)數(shù)離散信號(hào)，入射角度為θ，因此信號(hào)接收模型可以表示為：

x[n]=As[n]+η[n],n=1,2,…

(3)

式中：陣列流形為A=[a(θ)]，導(dǎo)向矢量為a(θ)，為方便后續(xù)公式推導(dǎo)，將導(dǎo)向矢量表示為a(θ)=[α1(θ),α2(θ),…,αM(θ)]T；s[n]為遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)；η[n]=[η1[n],η2[n],…,ηM[n]]T為均值是0、方差是σ2的獨(dú)立同分布的高斯白噪聲。

1.2 提出的接收機(jī)原理

基于稀疏陣列的壓縮采樣數(shù)字接收機(jī)結(jié)構(gòu)如圖3所示。在原型壓縮采樣數(shù)字接收機(jī)結(jié)構(gòu)前添置稀疏陣列天線，使每個(gè)天線對(duì)應(yīng)接收機(jī)的一路通道。根據(jù)調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器原理，接收信號(hào)首先經(jīng)過(guò)周期性偽隨機(jī)序列混頻，再經(jīng)過(guò)低通濾波器濾波和降采樣操作最終得到壓縮采樣數(shù)據(jù)。

圖3 基于稀疏陣列的壓縮采樣數(shù)字接收機(jī)結(jié)構(gòu)Fig.3 Diagram of the compressed sampling digital receiver based on sparse array

(4)

根據(jù)式(3)，第m路接收信號(hào)可以表示為：

xm[n]=αms[n]+ηm[n]

(5)

(6)

式中Xm(ej2πTNYQ(f-lfp))是接收信號(hào)xm[n]的離散傅里葉變換。之后混頻信號(hào)經(jīng)過(guò)截止頻率為fp/2的理想濾波器h[n]進(jìn)行濾波并以速率fs=fp進(jìn)行采樣，可以得到最終的壓縮采樣數(shù)據(jù)，可以表示為：

(7)

根據(jù)式(7)，第m路輸出的離散傅里葉形式為：

(8)

其中f∈Fs，F(xiàn)s?[0,fp]。

與文獻(xiàn)[5]中的原型壓縮采樣數(shù)字接收機(jī)輸出相對(duì)比發(fā)現(xiàn)，所提出的基于稀疏陣列的壓縮采樣數(shù)字接收機(jī)保留了原型接收機(jī)的優(yōu)點(diǎn)，即可以解決跨信道問(wèn)題和減少采樣數(shù)據(jù)量。由于設(shè)計(jì)的每個(gè)子帶的帶寬大于信號(hào)的帶寬，因此信號(hào)的真實(shí)載頻只存在于某一未知子帶l′(0≤l′≤Mp-1)中，即信號(hào)能量集中于子帶l′，忽略其他子帶，第m路輸出為：

(9)

從式(9)可以看出，信號(hào)經(jīng)過(guò)混頻后丟失了真實(shí)的載頻，且接收機(jī)第m路和第m-1路通道間存在未知的相位差P′m(l′)am(θ)/P′m-1(l′)am-1(θ)，利用傳統(tǒng)方法直接對(duì)接收機(jī)輸出進(jìn)行處理將無(wú)法得到信號(hào)真實(shí)頻率和真實(shí)DOA。

2 載頻和到達(dá)角聯(lián)合估計(jì)算法

本節(jié)介紹如何利用MUSIC算法實(shí)現(xiàn)載頻和DOA聯(lián)合估計(jì)。根據(jù)式(9)可以得到整個(gè)系統(tǒng)的輸出：

(10)

對(duì)比式(3)，式(10)可視為是壓縮采樣數(shù)據(jù)的陣列接收模型，定義壓縮采樣數(shù)據(jù)的陣列流形為Acs=P·A=[acs(θ,l′)]。通過(guò)式(10)可以得到壓縮采樣數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為：

(11)

式中：E{·}表示求期望操作；Rs=E{ssH}。由于實(shí)際采樣的快拍數(shù)有限，因此式(11)可以表示為：

(12)

式中K表示壓縮采樣數(shù)據(jù)的快拍數(shù)。

對(duì)Ry進(jìn)行特征值分解可以得到空間譜估計(jì)為：

(13)

式中UN表示由最小特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量張成的陣列壓縮采樣噪聲子空間。

壓縮采樣數(shù)據(jù)丟失了真實(shí)頻率，對(duì)壓縮采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行快速傅里葉(fast Fourier transformation，F(xiàn)FT)運(yùn)算[14]，求得信號(hào)的基帶頻率fb，再根據(jù)混頻特性可知信號(hào)真實(shí)頻率fc和基帶頻率的關(guān)系：

fc=fpl′+fb

(14)

對(duì)式(13)所得空間譜，分別對(duì)子帶索引l′和角度θ進(jìn)行遍歷，可得到載頻和DOA聯(lián)合估計(jì)：

(15)

由于各通道輸出的基帶頻率相同，可利用所有通道的輸出，即利用所有通道的壓縮采樣數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行基帶頻率估計(jì)，以此獲得更高的頻率估計(jì)精度。

3 載頻和到達(dá)角聯(lián)合估計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)

假設(shè)單個(gè)信號(hào)入射到陣元數(shù)M為10的嵌套陣列上，2個(gè)子陣個(gè)數(shù)分別為L(zhǎng)1=5,L2=5，陣元位置D=[1,2,3,4,5,6,12,18,24,30]d,陣元最小間距d為λ/2。奈奎斯特采樣率fNYQ為1.2 GHz；混頻序列采用值為±1的伯努利序列，每個(gè)周期元素個(gè)數(shù)Mp為100，則每個(gè)子帶帶寬fp=fs/Mp為12 MHz；理想濾波器截至頻率為fp/2，降采樣速率fs=fp=12 MHz。

仿真實(shí)驗(yàn)1：入射信號(hào)頻率fc=800 MHz，入射角θ為5°，信噪比為20 dB，經(jīng)過(guò)壓縮后信號(hào)快拍數(shù)C為200；陣列結(jié)構(gòu)選擇嵌套陣列，陣元個(gè)數(shù)M為10，2個(gè)子陣個(gè)數(shù)分別為L(zhǎng)1為5,L2為5，陣元位置D為[1,2,3,4,5,6,12,18,24,30]d,陣元最小間距d為λ/2。圖4所示為壓縮采樣數(shù)據(jù)的MUSIC譜。

圖4 壓縮采樣數(shù)據(jù)MUSIC譜Fig.4 The MUSIC spectrum of compressed sampled data

從圖中可以得知，譜峰位置處的橫縱坐標(biāo)即為載頻和DOA的估計(jì)值，因此通過(guò)搜索譜峰的方法獲得載頻和DOA估計(jì)。該圖也證明了所提出的載頻和DOA聯(lián)合估計(jì)算法的正確性。

利用均方根誤差(root mean squared error，RMSE)計(jì)算算法抗噪聲性能。均方根誤差為：

(16)

式中：N為蒙特卡洛獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的次數(shù)；α′n為算法求得的估計(jì)值；α為實(shí)際值。

仿真實(shí)驗(yàn)2：由前面的分析可知，實(shí)際頻率估計(jì)的性能受2個(gè)因素的影響，即FFT算法求得的基帶頻率和MUSIC譜峰搜索求得的子帶索引。因此，本實(shí)驗(yàn)分別對(duì)壓縮采樣數(shù)據(jù)的基帶頻率估計(jì)和MUSIC譜峰搜索得到子帶索引估計(jì)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

假設(shè)入射信號(hào)為載頻隨機(jī)、角度隨機(jī)的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，載頻范圍為fc∈(700 MHz,1 000 MHz)，精度為1 MHz，入射角度范圍θ∈(-30°,30°)，精度為0.1°；分別在不同壓縮采樣快拍數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

圖5為在嵌套陣列條件下的基帶頻率估計(jì)的RMSE值HRMSE隨信噪比變化曲線。圖6為在嵌套陣列條件下的子帶估計(jì)的RMSE值LRMSE隨信噪比變化曲線。嵌套陣列的設(shè)置為L(zhǎng)1=5,L2=5,陣元位置為D=[1,2,3,4,5,6,12,18,24,30]d，信噪比變化范圍-5～20 dB，變化步長(zhǎng)為5 dB，每個(gè)信噪比條件下蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù)N=1 000。基帶頻率估計(jì)的RMSE值隨信噪比變化而降低，由于實(shí)驗(yàn)時(shí)FFT點(diǎn)數(shù)為壓縮信號(hào)的快拍數(shù)，因此快拍數(shù)越大，F(xiàn)FT精度越高。由圖6結(jié)果可知，子帶估計(jì)的RMSE隨信噪比提升而降低，且當(dāng)快拍數(shù)增加時(shí)，子帶估計(jì)精度更高。因此在低信噪比下，子帶估計(jì)RMSE值較大，即對(duì)信號(hào)原始載頻估計(jì)值造成較大誤差。當(dāng)信噪比大于10 dB，且快拍數(shù)大于50時(shí)，子帶索引的RMSE值達(dá)到0，此時(shí)對(duì)信號(hào)的原始載頻估計(jì)值主要取決于基帶頻率的估計(jì)值。

圖5 基帶頻率估計(jì)RMSE隨信噪比變化曲線Fig.5 RMSEs of the baseband frequency versus varying SNR

圖6 子帶估計(jì)RMSE隨信噪比變化曲線Fig.6 RMSEs of the sub-band estimation versus varying SNR

仿真實(shí)驗(yàn)3：在實(shí)驗(yàn)條件與實(shí)驗(yàn)2相同的條件下，圖7為嵌套陣列條件下的DOA估計(jì)的RMSE值DRMSE隨信噪比變化曲線。從圖中可以看出DOA估計(jì)的RMSE值隨信噪比提高而減小，且快拍數(shù)較多時(shí)，DOA估計(jì)值更為精確。

4 結(jié)論

1)本文提出的壓縮采樣稀疏陣列結(jié)構(gòu)，為壓縮采樣數(shù)字接收機(jī)的應(yīng)用提供了思路。仿真實(shí)驗(yàn)證明了所提出結(jié)構(gòu)和算法的正確性。

2)從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，在陣元數(shù)為10的情況下，系統(tǒng)在信噪比大于10 dB時(shí)的參數(shù)估計(jì)誤差最小，但此信噪比對(duì)實(shí)際應(yīng)用來(lái)說(shuō)仍然較高。

增加快拍數(shù)可以有效提高估計(jì)精度，但卻會(huì)增加算法的運(yùn)算量，從而增加硬件實(shí)現(xiàn)難度。因此未來(lái)將進(jìn)一步研究降低系統(tǒng)復(fù)雜度、提升算法信噪比的新結(jié)構(gòu)和新算法。