“數(shù)學文化”背景下中考數(shù)學應用試題的評價與思考
——以2017-2020 年福建省中考數(shù)學試卷為例

李 霞

（福州教育研究院，福建 福州 350001）

《普通高中數(shù)學課程標準（2017 年版）》（以下簡稱《標準（2017 年版）》）中指出：“數(shù)學是一種文化，即‘數(shù)學文化’，是指數(shù)學的理性精神、思想方法、觀點語言及它們的形成與發(fā)展；其中包括數(shù)學史、數(shù)學美、與數(shù)學相關(guān)的人文活動；特別是數(shù)學在生活中的應用，數(shù)學在科技及社會發(fā)展中的作用及意義.”［1］

國際客戶管理學院（ICMI）研究系列中，Blum、Galbraith 和Niss（2007）所著的《數(shù)學教育中的建模與應用》一書中指出：“數(shù)學應用指將數(shù)學領(lǐng)域外的現(xiàn)象、對象、假設(shè)、關(guān)系等現(xiàn)象，通過數(shù)學的建構(gòu)轉(zhuǎn)化為數(shù)學內(nèi)部的現(xiàn)象、對象、假設(shè)、關(guān)系等問題，而后運用數(shù)學中的系統(tǒng)知識加以解決.”［2］這種“數(shù)學應用”與《標準（2017 年版）》中“數(shù)學文化”中“數(shù)學在生活中的應用”含義一樣.普通高等學校本科專業(yè)類教學質(zhì)量國家標準中：“數(shù)學類專業(yè)人才的培養(yǎng)目標，其中就包含運用數(shù)學知識解決實際問題.”［3］

中國高考評價體系中的數(shù)學學科素養(yǎng)，將《標準（2017 年版）》中的六大核心素養(yǎng)概括和凝練成四個方面，其中兩個方面就是“數(shù)學應用”與“數(shù)學文化”［4］.數(shù)學文化不僅包含數(shù)學知識、思想方法與各種技能的總和，還包括觀念“成分”，也就是數(shù)學“傳統(tǒng)”，其中的“傳統(tǒng)”為數(shù)學界在教育教學的研究與學習上提供了示范與啟迪.［5］任子朝、趙軒的《基于高考評價體系的數(shù)學科考試內(nèi)容改革實施路徑》一文認為：“學科素養(yǎng)是解決問題的綜合品質(zhì).這里的解決問題狹義上就是指數(shù)學應用.特別提到對數(shù)學應用應體現(xiàn)在實踐探究層面”［6］.新高考導向下對數(shù)學試題的“應用性”考查，應該是通過實際生活試題的情境設(shè)計，將抽象的數(shù)學概念與實際相結(jié)合，運用學過的數(shù)學知識、思想和方法有效解決實際問題的方法和能力.［7］

基于“數(shù)學文化”背景下的中考數(shù)學應用試題的命制，可以倡導數(shù)學觀念：“文化學習”與“理性思維”.“文化學習”的過程會更加關(guān)注數(shù)學的本源，如數(shù)學概念、公式、方法的起源，讓數(shù)學本質(zhì)的問題回歸到本源上去尋找；對“理性思維”，我們提倡整體化體驗、領(lǐng)悟數(shù)學.在知識的獲得過程中，以“文”化人，理解數(shù)學精神，拓展數(shù)學思維.特別是通過對數(shù)學文化融入中考數(shù)學應用試題的評價，利用其考查的功能，引領(lǐng)教師關(guān)注數(shù)學文化在數(shù)學應用中的教育教學價值，讓中高考評價體系下的“數(shù)學文化”的學習掌握，及“數(shù)學應用”的實踐探究，能在課堂上“生根落地”［8］.為了窄化“數(shù)學文化”背景下的數(shù)學應用試題的研究，文章僅從試題中數(shù)學與傳統(tǒng)文化、生產(chǎn)、生活應用的測試題考查情況，展開評價與思考.［9］

一、“數(shù)學文化”背景下的應用試題考查分析

（一）考查知識點的分布及得分情況

表1 2017-2020 福建中考數(shù)學應用試題測評情況（以某市約7 萬人數(shù)考生為樣本）

在表1 中可以看到，福建近四年中考數(shù)學卷中應用試題的考查，分別分布在選擇、填空、解答三類題型中，總題數(shù)為5 或6 題，主要是考查用數(shù)學中統(tǒng)計或方程函數(shù)中的知識對數(shù)學領(lǐng)域外的隨機現(xiàn)象、生活、生產(chǎn)對象與關(guān)系等問題進行解決［10］.考察的分值除了2020 年的34 分，其他年份穩(wěn)定在36 分.考試的知識點基本上是基于課標的核心概念.從得分占比看：今年因疫情緣故，數(shù)學應用試題的考查題序前移，難度值上調(diào)，得分占比為74%.但前三年的得分率占比：2017年62%；2018 年58%；2019 年56%；逐年下降，是生源問題？試題問題？還是教師對數(shù)學生產(chǎn)生活應用問題的教學不以為然？從前三年難度系數(shù)上看，學生得分下降的題序主要在于22 和23 題，由2017 年及2018年的0.4-0.5 之間下降到0.2-0.3 之間，而這兩位置試題內(nèi)容的考查都是基于生產(chǎn)生活情境下方程、函數(shù)、統(tǒng)計等模型的構(gòu)建.

（二）考查的情境背景及目標指向

表2 2017-2019 福建中考數(shù)學應用試題中數(shù)學文化背景及目標指向

表2 中我們看到，福建三年中考數(shù)學與生產(chǎn)生活應用試題的數(shù)學文化情境背景，基本來源于《孫子算經(jīng)》《四元玉鑒》《增刪算法統(tǒng)宗》、商業(yè)、教育、國情等.考查的知識取向從陳述性知識到程序型知識，特別是解答題中不僅關(guān)注陳述性知識與程序型知識，并且關(guān)注到認知策略及元認知的考查，考查的目標倡導知能并行.填選題型關(guān)注單一知識點的考查，關(guān)注所學章節(jié)的小節(jié)或小節(jié)所在章節(jié)的水平內(nèi)遷移；解答題的考查關(guān)注生活情境中的數(shù)學運用；關(guān)注多種思想方法，關(guān)注學科關(guān)鍵能力，關(guān)注初高銜接.這四年考查的23道“文化試題”中有14 道題區(qū)分度在0.4 以上，說明對中考的兩考（水平加選拔）有很好的選拔功能.但是我們也看到一些試題的區(qū)分度在0.3 以下，一些試題在評價功能的作用體現(xiàn)不夠，還只是單一知識點的簡單記憶.同時我們看到教師在數(shù)學應用的教學關(guān)注度有待提高：對試題而言，試題難教師不怕，因為有模式和思路可言，而試題“新”教師就“慌”，沒有套路可循.而這“新”其實就是情境不熟悉，“數(shù)學文化”不了解.下面我們以福建省這三年考查的一些應用試題為例加以評價.

二、“數(shù)學文化”背景下的應用試題典例分析

（一）以我國古代名家名著的素材為背景

1.試題呈現(xiàn)

2.試題價值

（1）基于數(shù)學文化歷史的數(shù)學史視角

這四年福建中考基于我國古代名家名著的素材為背景的有《四元玉鑒》《孫子算經(jīng)》與《增刪算法統(tǒng)宗》等.《四元玉鑒》為元代朱世杰的代表作，在《四元玉鑒》中，四元術(shù)是朱世杰的偉大創(chuàng)造，當時就已經(jīng)給出了用方程方法解決實際問題的兩個步驟：設(shè)元與求解，這些對于今天具備初等數(shù)學知識的人來說是一件很顯然的事情，但在天元術(shù)前不是一個簡單的事情.《孫子算經(jīng)》是唐朝初期作為“算學”教科書的著名的《算經(jīng)十書》之一，算術(shù)（法）源自古代，十進位制計數(shù)在我國春秋戰(zhàn)國時期已經(jīng)得到了普遍應用，《孫子算經(jīng)》下卷中就有記載“物不知數(shù)”題即“孫子問題”，這為后來出現(xiàn)的“雞兔同籠”這一經(jīng)典問題，無異于始祖之問.［15］了解了《四元玉鑒》的背景，“雞兔同籠”的出注，就能在一定層面弘揚古老的中國在數(shù)學上的成就與輝煌.《增刪算法統(tǒng)宗》是清代著名數(shù)學家梅瑴成對《算法統(tǒng)宗》的增刪、校改和注釋，珠算被譽為中國古代的第五大發(fā)明，它不但推動了珠算發(fā)展，對研究數(shù)學史和珠算史的發(fā)展不失為寶貴的學術(shù)文獻.［16］

通過這些名家名著的素材挖掘與學習，不但能提升學生對數(shù)學的興趣與愛好，還能激發(fā)學生對古老東方數(shù)學探究的欲望.這種命題后的教學指向無疑讓教師在教學中，要關(guān)注中國數(shù)學文化歷史，對導向“立德樹人”的教學提供很好的載體與方向.

（2）基于問題解決過程中的思維思考

這四年解答題的第一道試題都是考查列方程組或列方程求解.在教學中我們應該要引導學生關(guān)注列二元一次方程組與列一元一次方程的本質(zhì)區(qū)別：列一元一次方程只用找出一個等量關(guān)系［17］；而列二元一次方程組，則需要找出兩個等量關(guān)系，再根據(jù)每個關(guān)系分別列出兩個方程，而后得到方程組［18］.找等量關(guān)系之前要先找出數(shù)量關(guān)系，應該讓學生明白，應用題的題面中每一句話基本上對應著一個數(shù)量關(guān)系，2 個未知量之間的關(guān)系都由數(shù)量關(guān)系決定的，并且一個已知一個未知才能構(gòu)成一次問題，否則是二次問題.最后利用部分量之和等于總量找到等量關(guān)系，就能得到兩個方程組.這種思維的過程就是數(shù)學文化中理性思維的表現(xiàn)，數(shù)學知識方法是數(shù)學文化的載體.

在問題的解決中，滲透對二元一次方程組與一元一次方程等陳述性知識的判斷，求解過程中蘊含著用字母表示數(shù)的代數(shù)思想及化歸方法；特別是對程序性認識中“消元”思想的元認知：明白消元其實只是一個現(xiàn)象，而轉(zhuǎn)化卻是解決方程組問題的本質(zhì).將字母等同已知量計算.將復雜代數(shù)式轉(zhuǎn)化為簡單代數(shù)式等.這些都是數(shù)學文化理性精神中代數(shù)思維與數(shù)學簡潔美的表現(xiàn).

（二）以生產(chǎn)與生活中的情境素材為背景

1.試題呈現(xiàn)

《2019 年福建省中考數(shù)學卷》第23 題：某種機器使用期為三年，買方在購進機器時，可以給各臺機器分別一次性額外購買若干次維修服務，每次維修服務費為2000 元.每臺機器在使用期間，如果維修次數(shù)未超過購機時購買的維修服務次數(shù)，每次實際維修時還需向維修人員支付工時費500 元；如果維修次數(shù)超過購機時購買的維修服務次數(shù)，超出部分每次維修時需支付維修服務費5000 元，但無需支付工時費某公司計劃購置1 臺該種機器，為決策在購買機器時應同時一次性額外購買幾次維修服務，搜集并整理了100 臺這種機器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，整理得下表；

（1）以這100 臺機器為樣本，估計“1 臺機器在三年使用期內(nèi)維修次數(shù)不大于10”的概率；

（2）試以這100 機器維修費用的平均數(shù)作為決策依據(jù)，說明購買1 臺該機器的同時應一次性額外購10次還是11 次維修服務？［13］

2.試題分析

本題滿分10 分，7 萬考生的均分大概2.6 分左右，難度系數(shù)0.26.存在的問題關(guān)鍵：（1）題意不理解：對購買機器時應同時“一次性額外購買幾次維修服務”得到的表格用處不明白，不會讀取數(shù)據(jù)，更找不到數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián).另外對以“這100 機器維修費用的平均數(shù)”作為決策依據(jù)不會推斷.（2）對數(shù)據(jù)的處理方式缺少目標與判斷：學生需算出：購10 與11 次時的費用：

y1=（24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10）＝27300；

y2=（26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10）＝27500，本題體現(xiàn)了核心觀下運算求解能力的考查：理解運算對象（一次性額外購10 次還是11 次服務），明確運算對象的特征（加權(quán)平均數(shù)計算）；探索運算思路（權(quán)重尋找），設(shè)計運算程式（如何用加法法則原理簡便計算）等.這是五位數(shù)之間的加減運算，若沒有分析運算中對象的屬性，找到簡便運算的途徑，在有限的時間里實難完成題目的求解.

3.試題價值

（1）基于人類生活、社會發(fā)展中的意義

隨著社會的進步，購買服務成了當今社會不可或缺的一項事物，提倡專業(yè)事情由專業(yè)人員做來提高工作效率.如何最優(yōu)解決購買問題，這一“情境活動”過程就經(jīng)歷著學習行為.所謂的“情境活動”是指在情境中進行問題解決或任務完成的活動.本題以工業(yè)生產(chǎn)中的購買服務為問題導向，呈現(xiàn)現(xiàn)實生活中實際存在的問題，引導學生獨立思考和判斷，并通過數(shù)學的建構(gòu)轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計知識提出解決問題的方案.這種問題解決的過程經(jīng)歷著數(shù)學文化中“理性思維”的表現(xiàn)：如模型的構(gòu)建、方法的探究、結(jié)果的論證等過程.也是學生應對生活實踐或陌生問題情境的關(guān)鍵能力表現(xiàn).

（2）基于統(tǒng)計在學段教學的價值與導向

表3 2011 年到2018 年期間與統(tǒng)計特征量考查相關(guān)的高考題

從表格中可以看到：這八年試題中與平均數(shù)、方差相關(guān)的各有5 次，我們知道高中統(tǒng)計學的是推斷統(tǒng)計，突出的是統(tǒng)計學的隨機性和假定性，而初中階段主要學習描述性統(tǒng)計.［19］描述性統(tǒng)計可以用平均數(shù)或方差這些特征量來描述.但方差在運算中涉及較復雜的根式運算，初中學業(yè)考試不是太適合.另外，平均數(shù)的學習貫穿著小學、初中和高中階段，它的加權(quán)平均數(shù)的考查也是義務教育課標的要求.因此它是統(tǒng)計學的學科基礎(chǔ)，也是中考考查的熱點，福建省四年統(tǒng)計考查的內(nèi)容也都是基于平均數(shù)特征量下對問題的推斷.

初中階段數(shù)據(jù)包含的含義和特征量的代表性追求的是初中階段統(tǒng)計知識的屬性特征，初中階段要落實好五個特征數(shù)（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標準差、方差、眾數(shù)）在不同情況下的刻畫.明白哪些是刻畫樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢，哪些是刻畫樣本數(shù)據(jù)的波動大??；中位數(shù)抗極端數(shù)據(jù)強，平均數(shù)與眾數(shù)、中位數(shù)代表了更多的數(shù)據(jù)信息.數(shù)據(jù)分析觀念是需要學生在親身經(jīng)歷統(tǒng)計全過程的數(shù)據(jù)處理中培養(yǎng)對數(shù)據(jù)的領(lǐng)悟，而后根據(jù)數(shù)據(jù)進行推斷，并在用統(tǒng)計意識處理過程中感悟統(tǒng)計思維與思想方法.這四年統(tǒng)計應用試題都在引領(lǐng)教師對于統(tǒng)計的學習要關(guān)注實際，特別是基于陌生環(huán)境下對數(shù)據(jù)的收集、整理、描述與分析，并選用適當?shù)奶卣髁窟M行統(tǒng)計推斷，這種數(shù)學推斷能力的養(yǎng)成要基于學生對統(tǒng)計章節(jié)學習后的“文化”沉淀，是數(shù)學素養(yǎng)養(yǎng)成的一種結(jié)果，也是對“數(shù)學文化”與“數(shù)學應用”交融的一種理解.

三、基于“數(shù)學文化”背景下的數(shù)學應用教學思考

（一）發(fā)揮《九章算術(shù)》等在一些章節(jié)教學的功能作用

數(shù)學命題只是體現(xiàn)數(shù)學文化的一個途徑而已，初中學業(yè)考試一般有水平加選拔功能：一是測量學生的學習水平與能力，二是引領(lǐng)后續(xù)的學科教學.試題立意是為了體現(xiàn)學業(yè)考試命題的指導思想及實現(xiàn)考查目標所確定的命題意向，立德樹人是中高考的根本任務，我們要牢記為國育人的初心，堅持為國育才的立場.強化愛國情懷，弘揚優(yōu)秀傳統(tǒng)文化.教師在教學中應充分領(lǐng)會傳統(tǒng)數(shù)學文化在數(shù)學一些學段層面的表現(xiàn)，如古中國第一部自成體系的數(shù)學專著《九章算術(shù)》，系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦漢時期數(shù)學取得的成就，特別是它的算法體系目前依然推動著計算機的發(fā)展與應用.《九章算術(shù)》分為九卷246 個數(shù)學問題，特別是卷第七盈不足、卷第八方程及卷第九勾股內(nèi)容與初中學生的知識系統(tǒng)相契合.卷第七盈不足講的是雙假設(shè)算法，主要是將問題轉(zhuǎn)化為兩個未知數(shù)的方程組求解；卷第八方程更多的是三元或多元方程組的求解（線性方程組的系數(shù)排列而成的長方陣問題），以及負數(shù)概念的產(chǎn)生及與零之間的加減運算；而卷第九勾股講的是以測量問題為中心的直角三角形三邊之間的關(guān)系.［20］明白了《九章算術(shù)》一些章節(jié)講授的內(nèi)容，在有理數(shù)、方程、勾股章節(jié)的教學中就可以滲透.

（二）關(guān)注《概率與統(tǒng)計》中模型問題教學的策略

核心觀下的中考改革歷程從考知識、雙基到考能力，從考做題到考做事、做人；對學生的要求從知識點的掌握到知識的內(nèi)化和理解，再到基于知識在真實情境中的靈活與創(chuàng)造性運用，最后到應對解決陌生復雜開放真實問題.解決陌生復雜開放真實問題一般要有建立模型處理問題的意識與能力.而初中階段的統(tǒng)計模型學生最不容易掌握，教學中要努力發(fā)展學生在統(tǒng)計中通過數(shù)據(jù)探究規(guī)律的歸納思想，能用統(tǒng)計模型解決問題的意識.因此在《概率與統(tǒng)計》模塊教學中，要關(guān)注對概念的理解，對內(nèi)容作用的把控.

概率的教學：一方面從事件發(fā)生的可能性去判斷把握概率；另一方面從事件的頻率來估計事件的概率.數(shù)學是解決實際問題的工具，而概率是大數(shù)據(jù)背景下很重要的解決問題的模型工具.概率的這種作用決定了它的數(shù)學應用地位.

統(tǒng)計的教學：應重視發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析觀念，重視運用統(tǒng)計方法提取題目信息，體會方法價值，切忌將統(tǒng)計課堂教學處理成為單純的繪圖技能與數(shù)字計算.［21］很多學生會對具體的數(shù)據(jù)求出其平均值，但遇到具體的數(shù)據(jù)需要用平均數(shù)分析時，卻想不到運用平均數(shù).因此平均數(shù)教學的關(guān)鍵是加強學生的數(shù)據(jù)分析意識，在遇到數(shù)據(jù)“不超離”的樣本時，會想到用平均數(shù)，會用平均數(shù)（特別是加權(quán)平均數(shù)）刻畫數(shù)據(jù)并對問題做出決策.

學習就是學生個體在與情境的持續(xù)互動中，不斷解決問題和創(chuàng)生意義的過程.通過“數(shù)學文化”背景下的中考數(shù)學應用問題的測評，引領(lǐng)數(shù)學文化與課堂教學有機結(jié)合，使數(shù)學文化的傳承性、實踐實用性能展示出來，讓學生在“數(shù)學文化”及“數(shù)學應用”中不斷交互，在數(shù)學學習的過程中對數(shù)學知識、方法、精神等有更好的理解，從而滋生愛國、愛數(shù)學的情感，實現(xiàn)“立德樹人”的基本要義.