《16.3 二次根式的加減（2）》教學(xué)設(shè)計

雷娟

【摘要】在2020年初因疫情原因，筆者所在地區(qū)的線下教學(xué)改為線上教學(xué)，筆者積極響應(yīng)區(qū)教育部門的任務(wù)安排，在2020年3月廣東省“粵課堂”越秀區(qū)“空中課堂”全區(qū)公開課——八下數(shù)學(xué)人教版《16.3 二次根式的加減（2）》，教學(xué)設(shè)計具體如下。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) ? 教學(xué)設(shè)計

【中圖分類號】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A【文章編號】1992-7711（2020）28-171-01

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.熟練應(yīng)用二次根式的加減乘除法法則及乘法公式;

2.會進(jìn)行二次根式的混合運算。

【重點難點】

重點：二次根式混合運算的法則，二次根式的運算順序，運算律的使用;

難點：能夠快速準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式混合運算。

【學(xué)習(xí)過程】

一、溫故知新

（一）二次根式的乘法除法加減法知識點回顧

（1）二次根式的乘法法則是：

（2）二次根式的除法法則是：

（3）二次根式的加減法方法是：

（二）整式的計算法則回顧

（4）整式單項式乘多項式法則：

（5）整式多項式除以單項式法則：

（6）整式多項式乘多項式法則：

思考：把字母用二次根式代替，會如何？整式運算中的字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當(dāng)然也可以代表二次根式，所以，整式中的計算法則也適用于二次根式。

【設(shè)計意圖】通過溫故知新，復(fù)習(xí)二次根式的乘法除法加減法知識點和整式的計算法則，為接下來把整式運算法則過渡到二次根式的運算打下基礎(chǔ)，以舊帶新，讓學(xué)生更容易接受新授知識。

二、探究新知

知識點1.二次根式的混合運算

例1.計算：

（1）（ 8 + 3）× 6 ; ? ? （2）（4 ?2 - 3 ?6）÷2 ?2 ;

【設(shè)計意圖】 分析題意可知，把二次根式看成“項”，就可類比整式運算。

（1）根據(jù)多項式乘以單項式的法則，用 ?6乘以括號里的每一項，再把積相加;

（2）根據(jù)多項式除以單項式的法則，用括號里的每一項除以2 2，再把商相加.特別要提醒學(xué)生，結(jié)果要化簡成最簡根式。

練習(xí)1：（1）（ 2 + 3）× 5 ;（2）（80 + 40）÷ 5

例2.計算： （ 2 + 3）（ 2 -5）

【設(shè)計意圖】分析題意可知，在二次根式的運算中，多項式乘法法則仍然適用。根據(jù)多項式乘以多項式的方法計算，用第一個括號里的每一項與第二個括號里的每一項相乘，再把積相加，學(xué)生把這個關(guān)鍵點抓住，這一類題目迎刃而解。

練習(xí)2：計算

1）（ 6 - 3）（ 2 + 3）

2）3（ 8 ?+ ?50）- ?30÷ 45

【設(shè)計意圖】 分析題意可知，類比于有理數(shù)混合運算順序，二次根式混合運算順序是，先乘方開方，后乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的。

歸納小結(jié)：二次根式的混合運算知識點：

1）

2）

3）

知識點2：利用乘法公式計算二次根式

溫故知新：整式的乘法公式：

① ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ②

例3.計算：（1）（ 5 + 3）（ 5 - 3）（2）（ 3 +2）2

【設(shè)計意圖】（1）可使用“平方差公式”（a+b）（a-b）=a2-b2.（2）可使用“完全平方公式”（a+b）2=a2+2ab+b2 .因式分解部分的完全平方公式和平方差公式廣泛運用于二次根式的計算和化簡。

練習(xí)3：計算

（1）（2 2-3）2016×（2 2+3）2016

（2）（2- 3）2015（2+ 3）2017-2×|- ? ?|.

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生巧妙使用公式巧算，大大降低難度和計算量，讓學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的巧算之美——（1）整式運算冪的乘方公式的逆用公式anbn=（ab）n也適用于二次根式計算。（2）整式運算同底數(shù)冪的乘法公式的逆用公式an+m = anam也適用于二次根式計算。

例4 已知x= 3 +1 ?且 y = 3 -1，試求x2+2xy+y2的值.

【設(shè)計意圖】分析題意可知，求代數(shù)式的值，通常要先化簡。一種是化簡已知條件;一種是化簡所求的代數(shù)式，學(xué)生容易聯(lián)想到完全平方公式，問題就迎刃而解。

練習(xí)4： 已知x = ?3 - 2 且 y = ?3 + 2 ?，試求x3y + xy3 ?的值。

【設(shè)計意圖】分析題意可知，可先化簡所求的代數(shù)式，學(xué)生容易聯(lián)想到提公因式法。

三、課堂練習(xí)

四、課堂小結(jié)

1.二次根式的運算順序：

;

2.乘法公式：（1） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，（2） ? ? ? ? ? ? ? ? ;

課后反思：本課的主要內(nèi)容是二次根式的混合運算，首先復(fù)習(xí)了二次根式的加減法則以及乘除法則，有利于學(xué)生順利學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容。

本節(jié)課有兩個關(guān)鍵點，一是把二次根式類比為“項”，利用整式的運算法則（單項式乘多項式，多項式乘多項式，平方差公式，完全平方公式等），遷移類比到二次根式的運算，讓學(xué)生容易上手;二是二次根式的混合運算法則類比于有理數(shù)的混合運算法則，先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號就先算括號里面的.抓住這兩個關(guān)鍵點，以舊帶新，學(xué)生很容易上手。

本節(jié)課有幾個注意點，一是結(jié)果注意要化簡成最簡二次根式，二是引導(dǎo)學(xué)生利用乘法公式巧算——公式anbn=（ab）n， an+m = anam等。

以上是筆者疫情期間線上教學(xué)的新嘗試，希望可以給其他老師一點啟發(fā)和借鑒。

【基金項目：本文為2019年度廣州市教育科學(xué)規(guī)劃課題《大數(shù)據(jù)環(huán)境下個性化作業(yè)高效性研究》（課題編號：201912034）的階段性成果之一?！?/p>