促進(jìn)法則內(nèi)化 明晰生發(fā)原理
——以“有理數(shù)加減法（1）”教學(xué)現(xiàn)實(shí)為例

■潘建明

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，法則教學(xué)是重點(diǎn)內(nèi)容。然而，在當(dāng)下的數(shù)學(xué)法則教學(xué)中，常見的問題有：不明算理，機(jī)械地套用公式，運(yùn)算缺乏合理性，對(duì)運(yùn)算內(nèi)涵缺乏科學(xué)的認(rèn)識(shí)。我們團(tuán)隊(duì)（常州市自覺數(shù)學(xué)教育高端成長(zhǎng)工作室）在法則教學(xué)的研究中達(dá)成如下共識(shí)：（1）要以法則教學(xué)為載體，在讓學(xué)生掌握法則的同時(shí)，達(dá)到對(duì)“法理”的思考，從操作層面上升到思維層面，使數(shù)學(xué)思維品質(zhì)得到發(fā)展；（2）在法則教學(xué)過程中，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，要整理好教學(xué)線索，例題選擇要精，具有層次性和可變性，盡量能一題多變，一題多解，以便舉一反三，觸類旁通。練習(xí)切忌機(jī)械訓(xùn)練和重復(fù)演練，最好以題組的形式，多角度、多形式、全方位進(jìn)行訓(xùn)練，以深化對(duì)法則的理解，形成解題技能；（3）法則的教學(xué)過程通常是給例子——找規(guī)律——?dú)w納法則——適用辨析——運(yùn)用法則——推廣法則，要讓學(xué)生親歷法則的形成過程，將帶有生硬“規(guī)定性”的法則變成學(xué)生的自然生成，沒有“過程性思辨”就沒有思維品質(zhì)的提升；（4）教學(xué)中要讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉例，并對(duì)例子進(jìn)行分類、歸納、綜合、概括，然后用概括性的語(yǔ)言表達(dá)出來，體現(xiàn)從未知生長(zhǎng)出新知，運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)探索新知的過程，充分淡化生硬的“規(guī)定性”的痕跡；（5）掌握法則是教學(xué)的難點(diǎn)，教學(xué)中要認(rèn)真思考如何讓學(xué)生真正理解法則，要在關(guān)鍵處發(fā)力；（6）通過對(duì)法則適用性的思辨，可以讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和感悟數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)思維品質(zhì)。下面，筆者以蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)上冊(cè)“§2.5有理數(shù)加減法（1）”的教學(xué)現(xiàn)實(shí)為例，談?wù)劮▌t教學(xué)，供大家參考。

一、經(jīng)驗(yàn)喚醒

有理數(shù)的加法是在小學(xué)算術(shù)加法運(yùn)算上的拓展，是初中數(shù)學(xué)運(yùn)算最重要、最基礎(chǔ)的內(nèi)容之一。本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)理解并掌握了有理數(shù)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一種認(rèn)識(shí)過程，要遵循一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，學(xué)生能否接受并形成在有理數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行各種運(yùn)算的思維方式（先定性再定量），關(guān)鍵在于這一節(jié)的學(xué)習(xí)。

師：在小學(xué)，我們已經(jīng)學(xué)過了加、減、乘、除四則運(yùn)算法則，不過參加運(yùn)算的數(shù)都限于正數(shù)之間?，F(xiàn)在我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)，當(dāng)然也要研究有理數(shù)的加、減、乘、除等運(yùn)算。那么，有理數(shù)的這些運(yùn)算的運(yùn)算法則相對(duì)小學(xué)會(huì)發(fā)生什么樣的變化呢？今天我們從最簡(jiǎn)單的運(yùn)算——加法開始。有理數(shù)加法運(yùn)算法則會(huì)和小學(xué)的加法運(yùn)算法則一樣嗎？帶著這樣的思考，我們先進(jìn)行相關(guān)知識(shí)的回顧。有理數(shù)是怎么分類的？

生1：有兩種分類。

分類一：

分類二：

師：在“分類二”中，我們將正有理數(shù)簡(jiǎn)單稱為正數(shù)，負(fù)有理數(shù)簡(jiǎn)單稱為負(fù)數(shù)，當(dāng)然有理數(shù)中還包括0，則兩個(gè)有理數(shù)相加分別有幾種類型？

生2：正數(shù)+正數(shù)、正數(shù)+負(fù)數(shù)、正數(shù)+0、0+0、負(fù)數(shù)+0、負(fù)數(shù)+負(fù)數(shù)。

師：我們把符號(hào)相同的兩個(gè)數(shù)相加叫作同號(hào)兩數(shù)相加，把符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)相加叫作異號(hào)兩數(shù)相加。上面的五種類型又可以重新分為幾類？

生3：同號(hào)兩數(shù)相加、異號(hào)兩數(shù)相加、一個(gè)數(shù)與0相加。

［啟示］數(shù)學(xué)是自然的、清楚的、合情合理的，要讓學(xué)生理解新知，首先要關(guān)注新知的引入。新知的引入通常有兩類：一類是從解決實(shí)際問題出發(fā)的引入；一類是從數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程引入。這里的引入屬于后一種。

二、自覺體悟

在教學(xué)中，我們要讓學(xué)生通過自主探究獲得積極的感性體驗(yàn)，特別要關(guān)注學(xué)生的“過程性積淀”，要掌握時(shí)間火候，關(guān)注學(xué)路優(yōu)先，讓學(xué)生自己進(jìn)行法則的總結(jié)和提煉，不能將法則“強(qiáng)加”給學(xué)生，只有這樣，學(xué)生對(duì)有理數(shù)加法的法則才會(huì)理解深刻、掌握到位。

師：現(xiàn)在我們將鉛筆的筆尖在數(shù)軸上進(jìn)行左右方向的運(yùn)動(dòng)，規(guī)定向右為正。如：以原點(diǎn)為筆尖運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)，向左運(yùn)動(dòng)5 個(gè)單位記作-5。請(qǐng)同學(xué)們拿出課前準(zhǔn)備好的數(shù)軸，先獨(dú)立探究，再小組交流，對(duì)有問題的同學(xué)給予幫助。先請(qǐng)完成探究活動(dòng)一。（學(xué)生探究、交流，教師巡學(xué)指導(dǎo)。）

問題①：先向右運(yùn)動(dòng)5個(gè)單位，再向右運(yùn)動(dòng)3個(gè)單位，能否用算式表示？總結(jié)果是什么？

問題②：先向左運(yùn)動(dòng)5個(gè)單位，再向左運(yùn)動(dòng)3個(gè)單位，能否用算式表示？總結(jié)果是什么？

學(xué)生總結(jié)歸納（教師板書）：（+5）+（+3）=8，（-5）+（-3）=-8。

師：再請(qǐng)完成探究活動(dòng)二。（學(xué)生探究、交流，教師巡學(xué)指導(dǎo)。）

問題③：先向左運(yùn)動(dòng)3 個(gè)單位，再向右運(yùn)動(dòng)5個(gè)單位，能否用算式表示？總結(jié)果是什么？

問題④：先向右運(yùn)動(dòng)3 個(gè)單位，再向左運(yùn)動(dòng)5個(gè)單位，能否用算式表示？總結(jié)果是什么？

問題⑤：先向左運(yùn)動(dòng)5 個(gè)單位，再向右運(yùn)動(dòng)5個(gè)單位，能否用算式表示？總結(jié)果是什么？

學(xué)生總結(jié)歸納（教師板書）：（-3）+5=2；3+（-5）=-2；（-5）+5=0。

師：最后請(qǐng)完成探究活動(dòng)三。（學(xué)生探究、交流，教師巡學(xué)指導(dǎo)。）

問題⑥：如果筆尖第1 秒向右（或左）運(yùn)動(dòng)5個(gè)單位，第2 秒原地不動(dòng)，兩秒后筆尖從起點(diǎn)向右（或左）運(yùn)動(dòng)了5 個(gè)單位，能否用算式表示？總結(jié)果是什么？

學(xué)生總結(jié)歸納（板書）：5+0=5或（-5）+0=-5。

［啟示］教學(xué)明線是學(xué)生進(jìn)行探究活動(dòng)，增強(qiáng)感性體悟。若探究活動(dòng)放在一起進(jìn)行，學(xué)生會(huì)很亂，也不易理出頭緒。分階段進(jìn)行會(huì)讓學(xué)生很清晰地看到問題的實(shí)質(zhì)，使其獲得的感性體驗(yàn)不斷地得到強(qiáng)化。教學(xué)暗線是分類探究，與前面學(xué)生歸納的“同號(hào)兩數(shù)相加、異號(hào)兩數(shù)相加、一個(gè)數(shù)與0 相加”相吻合，利于學(xué)生歸納法則時(shí)進(jìn)行分類思考。

三、探究導(dǎo)學(xué)

為了讓學(xué)生進(jìn)一步感知法則，我們可以通過足球比賽的凈勝球數(shù)讓學(xué)生在不同的背景下進(jìn)行感知，然后進(jìn)行法則的歸納與提煉。其設(shè)計(jì)有：其一是強(qiáng)化認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，其二是進(jìn)行認(rèn)知的遷移；讓學(xué)生將黑板上所有算式關(guān)于兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類，是對(duì)分類思想的再?gòu)?qiáng)化；在此基礎(chǔ)上，（三個(gè)分類型中）讓學(xué)生觀察、分析、歸納和提煉有理數(shù)加法的法則，就能較好地“順應(yīng)”學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

師：大家都喜歡足球，實(shí)際上足球比賽中贏球數(shù)與輸球數(shù)是相反意義的量。我們可以規(guī)定贏球?yàn)椤罢?，輸球?yàn)椤柏?fù)”，比如，贏3 球記為+3，輸2 球記為-2。在足球比賽中規(guī)定：進(jìn)球數(shù)記為正數(shù)，失球數(shù)記為負(fù)數(shù)，它們的和叫作凈勝球。那么學(xué)校足球隊(duì)在一場(chǎng)比賽中的凈勝球可能有以下各種不同的情形：（1）上半場(chǎng)贏了3球，下半場(chǎng)贏了2 球，全場(chǎng)共贏了5 球，也就是（+3）+（+2）=+5；（2）上半場(chǎng)輸了2 球，下半場(chǎng)輸了1 球，全場(chǎng)共輸了3 球，也就是（-2）+（-1）=-3。你們還能說出其他情形嗎？（教師將所列出的算式進(jìn)行板書。）

生4：上半場(chǎng)贏了3 球，下半場(chǎng)輸了2 球，全場(chǎng)贏了1球，也就是（+3）+（-2）=+1。

生5：上半場(chǎng)輸了3 球，下半場(chǎng)贏了2 球，全場(chǎng)輸了1球，也就是（-3）+（+2）=-1。

生6：上半場(chǎng)贏了3 球，下半場(chǎng)不輸不贏，全場(chǎng)仍贏3球，也就是（+3）+0=+3。

生7：上半場(chǎng)輸了2球，下半場(chǎng)兩隊(duì)都沒有進(jìn)球，全場(chǎng)仍輸2球，也就是（-2）+0=-2。

生8：上半場(chǎng)打平，下半場(chǎng)也打平，全場(chǎng)仍是平局，也就是0+0=0。

師：請(qǐng)同學(xué)們將黑板上所有算式按關(guān)于兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類。

生9：分三類，分別是同號(hào)兩數(shù)相加、異號(hào)兩數(shù)相加、一個(gè)數(shù)與0相加。

師：看看這些算式，你們認(rèn)為有理數(shù)的加法法則和小學(xué)里學(xué)的加法法則一樣嗎？

生10：不一樣。

師：請(qǐng)同學(xué)們分三類來歸納出有理數(shù)加法法則，先自己說給自己聽（獨(dú)學(xué)），再說給同桌聽（對(duì)學(xué)），最后小組交流（群學(xué)）。（學(xué)生表述、交流，教師巡學(xué)指導(dǎo)。）

教師在學(xué)生全班展示的過程中，板書有理數(shù)加法法則。（略）

師：哪一類法則最難歸納？

生11：異號(hào)兩數(shù)相加，它也要分兩種情況——絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加和絕對(duì)值相等的異號(hào)兩數(shù)相加。

［啟示］由學(xué)生喜歡的足球入手，以凈勝球數(shù)讓學(xué)生列出其他算式，從多個(gè)算式中讓學(xué)生進(jìn)行分類，并進(jìn)行啟發(fā)，加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)“分三類”的分類思想的認(rèn)知。分三類分步進(jìn)行歸納減輕了學(xué)生歸納的“工作量”，也降低了歸納和理解的難度，使不同層次的學(xué)生都能跟上“節(jié)奏”；最后一句“哪一類法則最難歸納？”加深了學(xué)生對(duì)異號(hào)相加法則要“分類”的記憶。

為了讓學(xué)生理解法則和學(xué)會(huì)書面表達(dá)，舉例如下。

例1 計(jì)算：①（-3）+（-9）；②（-4.7）+3.9；③0+（+11）。

例2 某公司三年的盈虧情況如下表所示，規(guī)定盈利為“+”（單位：萬(wàn)元）。

第三年+42第一年-24第二年+15.6

（1）該公司前兩年盈利了多少萬(wàn)元？該公司三年共盈利多少萬(wàn)元？

（2）請(qǐng)自己創(chuàng)編計(jì)算練習(xí)題。

（3）試著利用這些算式編制應(yīng)用題：①（-2）+（+2）；②（+12）-（-8）；③（-8）+（+6）。

［啟示］針對(duì)解題過程的規(guī)范格式，教師一開始就要強(qiáng)調(diào)到位，只有不斷地強(qiáng)化和約束，才能讓學(xué)生慢慢養(yǎng)成良好的習(xí)慣；對(duì)于“現(xiàn)在大家有沒有發(fā)現(xiàn)做兩個(gè)有理數(shù)的加法運(yùn)算和小學(xué)里做兩個(gè)數(shù)的加法運(yùn)算有什么不同嗎？”的追問，是想讓學(xué)生自己歸納出來以強(qiáng)化“代數(shù)算法思維”——先定性再定量；例2 的補(bǔ)充是為了拓寬學(xué)生的視野，從求兩個(gè)有理數(shù)的和到求3個(gè)有理數(shù)的和，形成推廣能力。

國(guó)際著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔尓指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生個(gè)人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來。教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行再創(chuàng)造，而不是把現(xiàn)成的結(jié)論灌輸給學(xué)生。”本節(jié)課讓有理數(shù)加法法則“化雪無(wú)痕”地落到學(xué)生的心里，使學(xué)生“自然地吸收”，也就是說在教學(xué)中，我們要通過學(xué)生的思維活動(dòng)，把前人的思維結(jié)果化為他們的思維結(jié)果，重視學(xué)生的“自覺建構(gòu)”。