讓核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)課堂悄然生長(zhǎng)
——“冪函數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

廣東省惠州市東江高級(jí)中學(xué) (516000) 李 旭 馮祖琨

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年)》指出了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，并將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)，在課程目標(biāo)、課程內(nèi)容、學(xué)業(yè)質(zhì)量等方面都對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提出了具體要求.這些要求最終要落實(shí)到教學(xué)中去，這就要求教師在確定教學(xué)目標(biāo)，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).而在具體教學(xué)中，利用信息技術(shù)可以創(chuàng)設(shè)豐富的教學(xué)情境，可以幫助學(xué)生自主探究和解決問(wèn)題，可以將一些抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容通過(guò)直觀演示變得直觀可視等.下面以?xún)绾瘮?shù)為例，談?wù)勅绾谓柚鶷I圖形計(jì)算器進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，讓核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)課堂中悄然生長(zhǎng).

1.教學(xué)目標(biāo)

1.1 理解冪函數(shù)的概念，會(huì)研究常見(jiàn)冪函數(shù)的性質(zhì)，并能根據(jù)函數(shù)性質(zhì)作出其大致圖像；

1.2 在冪函數(shù)的性質(zhì)與圖像的探究過(guò)程中，感悟數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、化歸等數(shù)學(xué)思想.在生生互動(dòng)和師生互動(dòng)中，進(jìn)一步增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力；

1.3 在冪函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，使得邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在更髙水平上得到提升.

2.教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))作圖以及性質(zhì)的探究.

教學(xué)難點(diǎn)：歸納冪函數(shù)的性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課是第二章第2.3節(jié)第1課時(shí)的內(nèi)容.冪函數(shù)作為重要的函數(shù)模型，是學(xué)生在高中階段系統(tǒng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的性質(zhì)后，第一次全面研究的某一類(lèi)函數(shù).本節(jié)課在學(xué)生已經(jīng)掌握函數(shù)的一般性質(zhì)和幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的基礎(chǔ)上，引出冪函數(shù)的概念，研究幾個(gè)典型冪函數(shù)的圖像與性質(zhì).一方面可以進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解與認(rèn)識(shí)，另一方面也為今后進(jìn)一步熟悉函數(shù)的性質(zhì)和作用、研究指函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).同時(shí)，結(jié)合新高考的要求，以及數(shù)學(xué)改革的方向，要在教學(xué)的過(guò)程中，體現(xiàn)并融入核心素養(yǎng).因此，本文在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，借助TI圖形計(jì)算器，進(jìn)行合理的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂中悄然生長(zhǎng).

3.教學(xué)過(guò)程

3.1 情境創(chuàng)設(shè)

問(wèn)題1請(qǐng)寫(xiě)出下列函數(shù)的解析式：

①如果某人購(gòu)買(mǎi)了每千克1元的蔬菜w千克，那么他需要付的錢(qián)數(shù)P(元)關(guān)于購(gòu)買(mǎi)的蔬菜量w(千克)的函數(shù)解析式為.

②如果正方形的邊長(zhǎng)為a，那么正方形的面積S關(guān)于a的函數(shù)解析式為.

③如果正方體的邊長(zhǎng)為a，那么正方體的體積V關(guān)于a的函數(shù)解析式為.

④如果正方形的面積為S，那么正方形的邊長(zhǎng)a關(guān)于S的函數(shù)解析式.

⑤如果某人ts內(nèi)騎車(chē)行進(jìn)了1km，那么他騎車(chē)的速度v(km/s)關(guān)于t的函數(shù)解析式為.

設(shè)計(jì)意圖：從舊知到新知，這樣的引入顯得十分自然，學(xué)生感受到冪函數(shù)來(lái)自于生活順利地建立了新、舊知識(shí)之間的聯(lián)系，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性和趣味性.

問(wèn)題2如果將上述函數(shù)解析式左側(cè)的因變量改成y，右側(cè)的自變量改成x，請(qǐng)仔細(xì)觀察得到的函數(shù)解析式，它們具有什么共同特征？是指數(shù)函數(shù)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：從特殊到一般，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，同時(shí)，統(tǒng)一自變量與因變量之后，讓學(xué)生更能直觀地感知冪函數(shù)解析式的共同特征，達(dá)到鍛煉學(xué)生的觀察能力與概括能力的目的.體現(xiàn)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)建模.

3.2 概念引入

師：經(jīng)過(guò)以上的分析，我們把形如y=xα(α為常數(shù))的函數(shù)叫作冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).

問(wèn)題3你能說(shuō)出冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))與指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)有什么區(qū)別嗎？

生3：這兩個(gè)函數(shù)的自變量的位置與常數(shù)的位置是顛倒過(guò)來(lái)的.

設(shè)計(jì)意圖：針對(duì)學(xué)生容易將冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)混淆的情況，組織學(xué)生對(duì)兩類(lèi)函數(shù)的解析式進(jìn)行對(duì)比，從而達(dá)到強(qiáng)化記憶的目的.

3.3 新知探究

問(wèn)題4研究函數(shù)一般從哪些方面著手？類(lèi)比之前研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的方法你準(zhǔn)備怎樣研究?jī)绾瘮?shù)？

生4：研究函數(shù)一般從其定義域、值域、奇偶性與單調(diào)性等方面著手，考慮借助冪函數(shù)的圖像研究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì).

生：用TI圖形計(jì)算器作圖

圖1

問(wèn)題5根據(jù)上述圖像的特征，填寫(xiě)下面的表格(生5回答，教師板書(shū))：

y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1定義域RRR[0,+∞){x|x≠0}值域R[0,+∞)R[0,+∞){y|y≠0}奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調(diào)性R上增(-∞,0)減(0,+∞)增R上增(0,+∞)增(-∞,0)減(0,+∞)減

師：從上表可以看出，冪函數(shù)隨著冪指數(shù)的取值不同，它們的圖像和性質(zhì)存在著較大的差異，下面就請(qǐng)同學(xué)們通過(guò)觀察上述函數(shù)的圖像來(lái)探尋冪函數(shù)的一些共性，我們來(lái)看以下5個(gè)問(wèn)題：定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、公共點(diǎn).

問(wèn)題6冪函數(shù)圖像過(guò)定點(diǎn)及象限的情況？

圖2

生6：通過(guò)TI圖形計(jì)算器，改變?chǔ)恋娜≈?如圖2)發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))過(guò)定點(diǎn)(1，1)，不一定過(guò)點(diǎn)(0，0)；冪函數(shù)圖像過(guò)第一象限，不過(guò)第四象限.

師：能利用冪函數(shù)的解析式解釋其中的原因嗎？

生7：因1α=1，因此冪函數(shù)過(guò)定點(diǎn)(1，1)；當(dāng)x>0時(shí)，xα>0，因此冪函數(shù)圖像過(guò)第一象限.

問(wèn)題7冪函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上的單調(diào)性如何？

生8：借助圖形計(jì)算器作出5個(gè)具有代表性的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像，通過(guò)圖3觀察α>0時(shí)，冪函數(shù)y=xα在(0，+∞)上是增函數(shù)；α<0時(shí)，冪函數(shù)y=xα在(0，+∞)上是減函數(shù).

師：α=0呢？另，通過(guò)冪函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上的單調(diào)性，你能判斷冪函數(shù)在區(qū)間(-∞，0)上的單調(diào)性嗎？

生9：當(dāng)α=0時(shí)，冪函數(shù)變?yōu)閥=x0=1(x≠0)，此時(shí)無(wú)單調(diào)性.當(dāng)α≠0時(shí)，判斷冪函數(shù)在區(qū)間(-∞，0)上的單調(diào)性借助函數(shù)的奇偶性判斷即可.

師：通過(guò)5個(gè)具有代表性的冪函數(shù)，我們猜想了冪函數(shù)的單調(diào)性與α之間的關(guān)系，能否借助圖形計(jì)算器進(jìn)行驗(yàn)證呢？

生10：通過(guò)TI圖形計(jì)算器，分別在α>0與α<0范圍內(nèi)改變?chǔ)恋娜≈档玫揭话阈砸?guī)律(如圖4).

圖4

問(wèn)題8：當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)y=xα在(0，+∞)上的圖像的高低與指數(shù)的變化有何關(guān)系？

圖5

問(wèn)題9冪函數(shù)y=xα(x∈(0,+∞))，α>1與α<1的圖像有何不同？

圖6

生12：操作TI圖形計(jì)算器，并由圖6可知，當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)y=xα的圖像向下凸出；當(dāng)0<α<1時(shí)，冪函數(shù)y=xα的圖像向上凸出.

問(wèn)題10y=xα(α<0)在(0，+∞)遞減，圖像特征又如何呢？

生13：觀察圖7可知：當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)y=xα在第一象限的圖像向上與y軸無(wú)限接近，向右與x軸無(wú)限接近.

圖7

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}串建構(gòu)教學(xué)更容易讓學(xué)生參與其中，更容易理解.課堂教學(xué)中，“自然的過(guò)程”來(lái)源于數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程和學(xué)生認(rèn)知過(guò)程的融合，具體表現(xiàn)為對(duì)數(shù)學(xué)概念、原理的不斷歸納和概括的過(guò)程”，而實(shí)現(xiàn)這種“自然的過(guò)程”的關(guān)鍵，是提出恰到好處的問(wèn)題和設(shè)計(jì)精細(xì)的過(guò)程.

4.課堂例題

例1 已知y=(m2+2m-2)xm2-1+2n-3是冪函數(shù)，求m，n的值．

例2 比較下列各題中兩個(gè)值的大小：

例3 已知m∈(0,1)，令a=logm2，b=m2，c=2m，那么a,b,c之間的大小關(guān)系為( ).

A．b

C．a(chǎn)

思考：數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程是數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程，也是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程.學(xué)生“動(dòng)起來(lái)”是產(chǎn)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的關(guān)鍵，而學(xué)生活動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力就來(lái)源于問(wèn)題.教師采用了問(wèn)題串的形式展開(kāi)教學(xué)，更有利于知識(shí)的理解和記憶，也能增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的參與性和趣味性.同時(shí)，借助TI圖形計(jì)算器，數(shù)形結(jié)合，更有利于知識(shí)的理解；冪函數(shù)性質(zhì)的獲得難以一步到位，教學(xué)活動(dòng)借助問(wèn)題串層層推進(jìn)，一步步揭開(kāi)冪函數(shù)的神秘面紗.根據(jù)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的螺旋上升安排教學(xué)內(nèi)容——從觀察整個(gè)圖象找冪函數(shù)性質(zhì)，縮小到第一象限找規(guī)律，層層遞進(jìn)，給學(xué)生提供反復(fù)認(rèn)識(shí)的機(jī)會(huì)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.知識(shí)的產(chǎn)生、方法的由來(lái)從學(xué)生頭腦里自然而然的流淌出來(lái).這樣的設(shè)計(jì)能夠使學(xué)生產(chǎn)生“其言皆若出于吾口，其意皆若出于吾心”的感覺(jué)，最終達(dá)到教學(xué)內(nèi)容自然生成的目的.學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并非孤立的，而是相互依存、相互促進(jìn)的.數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)，可以有效帶動(dòng)數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)的綜合提升.核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，是一個(gè)循序漸進(jìn)的“慢工程”，任重而道遠(yuǎn).關(guān)注學(xué)生知識(shí)理解與遷移程度是一個(gè)切實(shí)可行的抓手，以此來(lái)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，能夠讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)這一抽象概念在數(shù)學(xué)課堂落地生根.