方案設(shè)計型問題綜述

李琳

近年來方案設(shè)計型問題一直是各地中考命題的熱點，考查的知識一般是一次方程（組）、一元一次不等式、一次函數(shù)等，偶而涉及二次函數(shù).考查的數(shù)學(xué)思想主要是轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等.

一、運用不定方程（組）設(shè)計方案

例1（2019.綏化）小明去商店購買A、B兩種玩具，共用了10元，A種玩具每件1元，B種玩具每件2元，若每種玩具至少買一件，且A種玩具的數(shù)量多于B種玩具的數(shù)量，則小明的購買方案有（? ?）.

A.5種

B.4種

C.3種

D.2種

解析：設(shè)A種玩具的數(shù)量為x件，B種玩具的數(shù)量為）y件.

由題意可得x+2y=10，即y=5一x/2，且滿足條件：x≥1，y≥1，x>y.

可以分以下四種情況：

（1）當(dāng)x=2時，y=4，不符合要求.

（2）當(dāng)x=4時，y=3，符合要求.

（3）當(dāng)x=6時，y=2，符合要求.

（4）當(dāng)x=8時，y=1，符合要求.

∴.共有3種購買方案.

點評：在某些實際問題中，依據(jù)數(shù)量關(guān)系列出的方程個數(shù)少于未知數(shù)個數(shù)時，通過求方程（組）的某種特征的解，可使問題獲得解決.此題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意分情況討論是解題的關(guān)鍵.

二、運用一次方程（組）、一元一次不等式、一次函數(shù)設(shè)計方案

例2（2019.廣安）為了節(jié)能減排，我市某校準(zhǔn)備購買某種品牌的節(jié)能燈.已知購買3個A型節(jié)能燈和5個B型節(jié)能燈共需50元，購買2個A型節(jié)能燈和3個B型節(jié)能燈共需31元.

（1）1個A型節(jié)能燈和1個B型節(jié)能燈的售價各是多少元？

（2）學(xué)校準(zhǔn)備購買這兩種型號的節(jié)能燈共200個，要求A型節(jié)能燈的數(shù)量不超過日型節(jié)能燈的數(shù)量的3倍，請設(shè)計出最省錢的購買方案，并說明理由.

解析： （1）設(shè)1個A型節(jié)能燈的售價是x元，1個B型節(jié)能燈的售價是y元. 200-a=50.

答：當(dāng)購買A型節(jié)能燈150個、B型節(jié)能燈50個時最省錢.

點評：運用一次方程（組）、一元一次不等式、一次函數(shù)進(jìn)行方案設(shè)計，可以根據(jù)題中蘊(yùn)含的等量關(guān)系以及變量間的函數(shù)關(guān)系.列出方程（組）、函數(shù)解析式，再根據(jù)題中的不等關(guān)系確定變量的取值范圍，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)確定最優(yōu)的方案，

三、運用一次方程（組）、一元一次不等式設(shè)計方案

例3 （2019.溫州）某旅行團(tuán)32人在景區(qū)A游玩，他們由成人、少年和兒童組成，已知兒童10人，成人比少年多12人.

（1）該旅行團(tuán)中成人與少年分別是多少人？

（2）因時間充裕，該團(tuán)準(zhǔn)備讓成人和少年（至少各1名）帶領(lǐng)10名兒童去另一景區(qū)B游玩.景區(qū)B的門票價格為100元/張，成人全票，少年8折，兒童6折，一名成人可以免費攜帶一名兒童，

①若安排成人8人和少年5人帶隊，則所需門票的總費用是多少元？

②若剩余經(jīng)費只有1200元可用于購票，在不超額的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人帶隊？求所有滿足條件的方案，并指出哪種方案購票費用最少.

解析：（1）設(shè)成人有x人，少年有y人.

可午x+y+10=32，解得x=17

x=y+12，

y=5

答：該旅行團(tuán)中成人與少年分別是17人、5人.

（2）①安排成人8人和少年5人帶隊，所需門票的總費用是100×8+5×100×0.8+（10—8）×100×0.6=1 320（元）.

答：安排成人8人和少年5人帶隊，所需門票的總費用縣1 320元.

②設(shè)可以安排成人a（a為正整數(shù)）人，少年b（b為正整數(shù)）人帶隊，則1≤a≤17，1≤b≤5.

下面分情況討論，分別求出在a的不同取值范圍內(nèi)6的最大值，得到符合題意的方案，并計算出所需費用，比較大小即可，

當(dāng)10≤a≤17時，可分以下三種情況.

a.若a =10.則100 x10 +100b x0.8≤1200.得b≤2.5.

∴b的最大值是2，此時a+b =12，費用為1 160元.

b.若a=11，則100 x11+100b x0.8≤1 200，得b≤5/4.

∴b的最大值是1，此時a+b =12，費用為1 180元.

c.若a≥12，則100a≥1 200，即成人門票費用至少是1200元，不合題意，舍去.

當(dāng)1≤a<10時，可分以下三種情況.

a.若a=9.則100x9+100b x0.8+100x1×0.6≤1200.得6≤3.

∴b的最大值是3，此時a+b=12，費用為1 200元.

b.若a=8，則100x8+100b x0.8+100x2x0.6≤1200，得b≤3.5.

∴b的最大值是3.此時a+b=11<12.

c.當(dāng)a<8時，易知a+b<12.

綜上所述，最多安排成人和少年共12人帶隊，有三種方案：成人10人，少年2人;成人11人，少年1人;成人9人，少年3人.其中成人10人、少年2人時購票費用最少.

點評：運用一次方程（組）、一元一次不等式進(jìn)行方案設(shè)計，可以根據(jù)題中蘊(yùn)含的等量關(guān)系、不等關(guān)系，列出方程（組）或一元一次不等式，通過解方程（組）、一元一次不等式，結(jié)合題意確定方案，通過計算和比較不同方案的情況，確定最優(yōu)的方案.