二次函數(shù)問(wèn)題錯(cuò)解剖析

房延華

中考試題中有關(guān)二次函數(shù)的許多題目，求解并不難，但解題時(shí)有的同學(xué)由于審題不清、考慮不周而錯(cuò)解，現(xiàn)就筆者在多次參與中考數(shù)學(xué)閱卷工作中發(fā)現(xiàn)的常見(jiàn)錯(cuò)誤剖析如下.

一、記錯(cuò)二次函數(shù)增減性的范圍

三、曲解題意

例3某種商品的進(jìn)價(jià)為每件50元，售價(jià)為每件60元，每個(gè)月可賣出200件.如果每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣10件（每件售價(jià)不能高于72元）.設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x（x為正整數(shù)）元，每個(gè)月的銷售利潤(rùn)為y元.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍.

（2）每件商品的售價(jià)定為多少時(shí)每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

分析：有的同學(xué)由于沒(méi)有理解“每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣10件”這個(gè)條件的意義，而錯(cuò)列關(guān)系式y(tǒng)=（60-50+x）.lOx，從而導(dǎo)致后續(xù)步驟也錯(cuò)誤.正確答案應(yīng)是：（1）y=60-50+x）.（200-10x）=一10（x一5）2+2 250（0

四、缺乏分類意識(shí)

例4如圖1.二次函數(shù)y=ax2-4x+c的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)A （-4，0）.

五、忽略實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍

例5某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種品牌的玩具，購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)是30元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：在一段時(shí)間內(nèi)，銷售單價(jià)是40元時(shí)，銷售量是600件，而銷售單價(jià)每漲1元時(shí)，就會(huì)少售出10件玩具.

（1）不妨設(shè)該種品牌玩具的銷售單價(jià)為x（x>40）元，請(qǐng)你分別用含x的代數(shù)式來(lái)表示銷售量y（件）和銷售該品牌玩具獲得的利潤(rùn)W（元），并把結(jié)果填寫在表1中.

（2）在第（1）問(wèn)條件下，若商場(chǎng)要獲得10 000元的銷售利潤(rùn)，則該玩具銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

（3）在第（1）問(wèn)條件下，若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價(jià)不低于44元，且商場(chǎng)要完成不少于540件的銷售任務(wù)，則商場(chǎng)銷售該品牌玩具獲得的最大利潤(rùn)是多少元？

分析：大部分同學(xué)都能順利解答前兩個(gè)小題，答案如下：

（1）如表2.

（2）當(dāng)W=10 000時(shí)，可得方程_lOx2+1 300x-30 000=10 000.解得x1=50，X2=80.

答：玩具銷售單價(jià)為50元或80元時(shí)，可獲得10 000元的銷售利潤(rùn).

對(duì)于第（3）小題，有的同學(xué)是這樣解的：

W=-10x2+1 300x-30 000=-10 （x-65）2+12 250.

當(dāng)x=65時(shí)，最大利潤(rùn)為12 250元.

這個(gè)解法是錯(cuò)誤的，原因是忽略了條件“銷售單價(jià)不低于44元，且商場(chǎng)要完成不少于540件的銷售任務(wù)”對(duì)x的限制，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在自變量的取值范圍內(nèi)時(shí)，二次函數(shù)在圖象的頂點(diǎn)處取得最值：頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在自變量的取值范圍內(nèi)時(shí)，可借助圖象進(jìn)行分析以求得最值.