求陰影部分面積的思路和方法

于秀坤

求與圓有關(guān)的陰影部分的面積是中考命題的熱點，解決問題時應(yīng)根據(jù)圖形的特點靈活選擇方法.

一、直接利用公式計算

例1 （2019.梧州）如圖1，已知半徑為1的⊙O上有三點A、B、C，OC與AB交于點D.∠ADO=85°，∠ CAB=20°，則陰影部分的扇形OAC的面積是___.

解析：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠C= ∠ADO-∠CAB=65°.利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠AOC=50°，再由扇形的面積公式直接求陰影部分的面積，答案為5π/36.

點評：由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠AOC的度數(shù)，直接利用扇形的面積公式求陰影部分的面積，

二、和差法

例2（2019.福建）如圖2，邊長為2的正方形ABCD的中心與半徑為2的OO的圓心重合，E、F分別是AD、BA的延長線與⊙O的交點，則圖中陰影部分的面積是____.

解析：延長Dc、CB分別交OO于M.N，觀察可發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積等于圓的面積與正方形的面積差的1/4，答案為π一1.

點評：本題采用和差法求解，這種方法是求陰影部分面積的常用方法，基本思路是把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和或差.

例3 如圖3，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA =3，OB=2.將Rt△AOB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°后得Rt△FOE.將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得線段ED.分別以O(shè).E為圓心，OA、ED的長為半徑畫弧AF和弧DF，連接AD.則圖中陰影部分面積是（? ?）.

A. π

B.5π/4

C. 3+π

D. 8-π

點評：本題考查的是扇形面積的計算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì).陰影部分顯然是不規(guī)則圖形，要求陰影部分的面積，需要將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和或差的形式.

三、割補法

例4（2019.通遼）如圖5，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為2.則圖中陰影部分的面積等于（? ?）.

A.π/3

B.2/3 π

C.4/3 π D.π

解析：觀察圖形可知

陰影包括兩部分，分別是一個三角形和一個弓形.連接OC，根據(jù)題意可知S△AOB= S△AOC，所以可把△ABO“補”到△ACO處，從而把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形AOC的面積，計算∠AOC的度數(shù)，再利用扇形的面積公式可求得陰影部分的面積為4/3 π.選c.

點評：利用等面積割補法將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積來求解，這種方法是求陰影部分面積的重要方法.當陰影部分不是一個整體時，通?？刹捎么朔椒?

四、等積法

例5 （2019.南充）如圖6，在半徑為6的OO中，點A，B，C都在⊙O上，四邊形OA BC是平行四邊形.則圖中陰影部分的面積為（? ）.

A.6π B.3√3π C.2√3π D.2π

解析：連接OB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=OC，所以△AOB是等邊三角形，所以∠AOB=60°.由OC//AB，可得S△AOB= S△ABC，進而可知陰影部分的面積等于扇形AOB的面積，答案為A.

點評：解決本題的關(guān)鍵是借助平行線間的距離相等及同底等高的三角形的面積相等，把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積.

求陰影部分的面積的方法比較多，除了上述介紹的方法，還有一些求解方法，如對稱法、轉(zhuǎn)化法等，在求解時應(yīng)根據(jù)已知條件并結(jié)合圖形的特點，選擇適當?shù)姆椒?