超拓?fù)淇臻g中相對超分離公理的遺傳性①

杜春燕，張國芳

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 長春 130000)

0 引 言

符號說明:文中將超拓?fù)淇臻g中的超Ti公理，簡記為S-Ti.

1 預(yù)備知識

(1)稱Y在X中S-T1，如果對于任意的不同點(diǎn)y1，y2∈Y，在X中存在超開集U，V，使得y1∈U，y1?V且y2∈V，y2?U.

(2)稱Y在X中S-T2，如果對于任意的不同點(diǎn)y1，y2∈Y，在X中存在不相交的超開集U，V，使得y1∈U，y2∈V.

(3)稱Y在X中S-T3，如果對于任意的y∈Y，P為X中超閉集，且y?P，在X中存在不相交的超開集U，V，使得y∈U，P∩Y?V.

(4)稱Y在X中S-T4，如果對于X中任意不相交的超閉集A，B，在X中存在不相交的超開集U，V，使得A∩Y?U，B∩Y?V.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)W為非空集且W?Y?Z?X，若Y在X中S-T1，則W在Z中S-T1.

證明：對于任意的w1，w2∈W，因為W?Y，所以w1，w2∈Y，又因為Y在X中S-T1，所以在X中存在超開集U1，V1，使得w1∈U1，w2?U1，w2∈V1，w1?V1，又因為Z?X，所以令U=U1∩Z，V=V1∩Z，則U，V為Z中超開集，又因為Y?Z，所以w1∈U，w2?U，w2∈V，w1?V，故W在Z中S-T1.

注：顯然，設(shè)W?Y?X，若Y在X中S-T1，則W在X中S-T1；設(shè)Y?Z?X，若Y在X中S-T1，則Y在Z中S-T1.

下面這個例子將說明子空間相對S-T1，而原空間未必相對S-T1.

例1 設(shè)W為非空集且W?Y?Z?X，W在Z中S-T1，而Y在X中不是S-T1.

事實(shí)上，設(shè)X={1,2,3,4,5}，Z={1,2,3,4}，Y={1,2,3}，W={1,2}，則W?Y?Z?X

對于W中任意兩點(diǎn)1和2，在Z中有超開集{1,3,4}和{2,3}，使得1∈{1,3,4}，2?{1,3,4}，2∈{2,3}，1?{2,3}，故W在Z中S-T1.

Y中存在兩點(diǎn)1和3，在X中包含點(diǎn)1的超開集只有{1,3,4}，而3∈{1,3,4}，故Y在X中不是S-T1.

定理2 設(shè)W為非空集且W?Y?Z?X，若Y在X中S-T2，則W在Z中S-T2.

證明：對于任意的w1，w2∈W，因為W?Y，所以w1，w2∈Y，又因為Y在X中S-T2，所以在X中存在不相交的超開集U1，V1，使得w1∈U1，w2∈V1，又因為Z?X，所以令U=U1∩Z，V=V1∩Z，則U，V為Z中不相交的超開集，又因為Y?Z，所以w1∈U，w2∈V，故W在Z中S-T2.

注：顯然，設(shè)W?Y?X，若Y在X中S-T2，則W在X中S-T2；設(shè)Y?Z?X，若Y在X中S-T2，則Y在Z中S-T2.

下面這個例子將說明子空間相對S-T2，而原空間未必相對S-T2.

例2 設(shè)W為非空集且W?Y?Z?X，W在Z中S-T2，而Y在X中不是S-T2.

設(shè)X={1,2,3,4,5}，Z={1,2,3,4}，Y={1,2,3}，W={1,2}，那么W?Y?Z?X，

對于1，2∈W，在Z中有不相交的超開集{1,3}和{2,4}，使得1∈{1,3}，2∈{2,4}，故W在Z中S-T2.

而對于Y中的1和3兩點(diǎn)，在X中包含點(diǎn)1的超開集{1,3,5}和{1,2,4,5}與包含點(diǎn)3的超開集{1,3,5}相交，故Y在X中不是S-T2.

定理3 設(shè)W為非空集且W?Y?Z?X，若Y在X中S-T3，則W在Z中S-T3.

證明：對于任意的w∈W，則w∈Y，設(shè)P1為X中不包含點(diǎn)w的超閉集，因為Y在X中S-T3，所以在X中存在不相交的超開集U1，V1，使得w∈U1，P1∩Y?V1，將兩端同時與Z相交，所以有w∈U1∩Z，P1∩Z∩Y?V1∩Z，令U=U1∩Z，V=V1∩Z，則U，V為Z中不相交的超開集，再令P=P1∩Z，則P為Z中超閉集且w?P，又因為

P1∩Z∩Y∩W?P1∩Z∩Y?V1∩Z

所以w∈U，P∩W?V，故W在Z中S-T3.

注：顯然，設(shè)W?Y?X，若Y在X中S-T3，則W在X中S-T3；設(shè)Y?Z?X，若Y在X中S-T3，則Y在Z中S-T3.

下面這個例子將說明子空間相對S-T3，而原空間未必相對S-T3.

例3 設(shè)W為非空集且W?Y?Z?X，W在Z中S-T3，而Y在X中不是S-T3.

對于W中的點(diǎn)1，{2}和{2,3}為Z中不包含點(diǎn)1的超閉集，在Z中有不相交的超開集{1,4}和{2,3}，使得1∈{1,4}，{2}∩W?{2,3}∩W?{2,3}；對于W中的點(diǎn)2，在Z中不包含點(diǎn)2的超閉集有{1}和{1,4}，在Z中有不相交的超開集{2,3}和{1,4}，使得2∈{2,3}，{1}∩W?{1,4}∩W?{1,4}，故W在Z中S-T3.

對于3∈Y，X中超閉集{1,2}，在X中包含集{1,2}∩Y的超開集為{1,2,3,4}與包含點(diǎn)3的任意超開集都相交，故Y在X中不是S-T3.

下面這兩個例子將說明對于W?Y?Z?X，Y在X中S-T4，W在Z中未必S-T4，反之，W在Z中S-T4，Y在X中也未必S-T4.

例4設(shè)W為非空集且W?Y?Z?X，Y在X中S-T4，而W在Z中不是S-T4.

因為在X中不相交的超閉集為Φ和X，并且

故Y在X中S-T4.

對于Z中不相交的超閉集{1}和{3,4}，在X中包含超閉集{1}∩Y的超開集{1,2}和{1,2,3}與包含超閉集{3,4}∩Y的超開集{2,3,4}都相交，故W在Z中不是S-T4.

例5 設(shè)W為非空集且W?Y?Z?X，W在Z中S-T4，而Y在X中不是S-T4.

事實(shí)上，設(shè)X={1,2,3,4,5}，Z={1,2,3,4}，Y={1,2,3}，W={1,2}，那么W?Y?Z?X，

對于Z中不相交的超閉集{2}和{3}，在Z中有不相交的超開集{2,4}和{1}，使得{2}∩W?{2,4}，{3}∩W?{1}；對于Z中不相交的超閉集{2}和{1,3}，在Z中有不相交的超開集{2,4}和{1}，使得{2}∩W?{2,4}，{1,3}∩W?{1}，故W在Z中S-T4.

對于X中不相交的超閉集{2,5}和{1,3}，在X中包含集{2,5}∩Y的超開集{2,4,5}和{1,2,4,5}與包含集{1,3}∩Y的超開集{1,3,4}都相交，故Y在X中不是S-T4.

3 結(jié) 語

在超拓?fù)淇臻g中研究出相對超Ti(i=1,2,3,4)分離公理的遺傳性，得出對于非空集W，W?Y?Z?X，Y在X中S-Ti(i=1,2,3)，則W在Z中S-Ti(i=1,2,3)，相對S-T4不具備遺傳性的結(jié)論，并給出了詳細(xì)的證明，對于W?Y?Z?X，W在Z中S-Ti(i=1,2,3,4)，則Y在X中不是S-Ti(i=1,2,3,4)的結(jié)論并構(gòu)造了若干個例子進(jìn)行說明.為超拓?fù)淇臻g中的其他相對化的遺傳性的研究提供了思想和理論，并對超拓?fù)淇臻g中的相對化研究產(chǎn)生了積極的影響.