軸對(duì)稱缺陷軸壓圓柱殼穩(wěn)定性分析剛度折減方法

白 旭，李金華

(1.江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003；2.齊魯工業(yè)大學(xué)（山東省科學(xué)院），山東省科學(xué)院海洋儀器儀表研究所，山東 青島 266061)

0 引 言

圓柱殼結(jié)構(gòu)具有特殊的幾何構(gòu)型，對(duì)于軸壓、徑壓、扭轉(zhuǎn)以及組合載荷均具有很好的承載作用，在船舶與海洋工程等各類領(lǐng)域中都有十分廣泛的應(yīng)用。圓柱殼的主要失效模式為失穩(wěn)，針對(duì)其失穩(wěn)穩(wěn)定性問(wèn)題，特別是軸壓作用下的圓柱殼失穩(wěn)載荷和模態(tài)，一直是學(xué)者研究最為活躍的課題之一[1]。

早期針對(duì)軸壓作用下薄壁圓柱殼的穩(wěn)定性試驗(yàn)表明結(jié)構(gòu)實(shí)際的失穩(wěn)承載能力和理論上理想的完善殼體相比較小，原因就在于初始缺陷的存在會(huì)引起軸壓薄壁圓柱殼臨界失穩(wěn)載荷很大程度的折減。祝恩淳等[2]針對(duì)軸壓作用下薄壁圓柱殼的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，采取統(tǒng)計(jì)分析的方法給出了結(jié)構(gòu)失穩(wěn)應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式。Lauren Kougias[3]采用有限元數(shù)值方法研究了殼體不圓度對(duì)軸壓圓柱殼穩(wěn)定性的影響，認(rèn)為圓柱殼不圓度與殼體厚度相當(dāng)時(shí)，臨界承載能力降低可達(dá)75%。Muggeridge等[4]研究認(rèn)為局部軸對(duì)稱缺陷對(duì)圓柱殼失穩(wěn)臨界載荷的影響很大。龔友根等[5]研究凹坑形式的軸對(duì)稱缺陷對(duì)軸壓圓柱殼失穩(wěn)承載能力的影響。王小明[6]研究了縱骨對(duì)環(huán)肋圓柱殼殼板穩(wěn)定性的影響。

一系列的研究表明，研究分析方法對(duì)于問(wèn)題的適用性以及結(jié)果準(zhǔn)確度存在突出的影響。針對(duì)圓柱薄殼結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)問(wèn)題，Croll 等[7-8]提出的剛度折減方法（Reduced Stiffness Method，RSM）在一定程度上理論值可以與實(shí)驗(yàn)值很好的吻合，隨即引發(fā)了基于RSM 開(kāi)展不同類型以及不同承載的薄壁殼體結(jié)構(gòu)失穩(wěn)載荷的研究。Rossana C.Jaca 等[9]應(yīng)用RSM 法研究了風(fēng)載荷作用下圓柱殼結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)失穩(wěn)問(wèn)題，認(rèn)為采用RSM 方法得到的失穩(wěn)下界與非線性分析結(jié)果較為一致。Hongtao Wang 等[10]采用RSM 方法對(duì)圓柱殼體結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)承載能力進(jìn)行了優(yōu)化研究，認(rèn)為在給定材料和幾何參數(shù)的范圍內(nèi)，改善了失穩(wěn)臨界載荷。Eduardo M.Sosa 等[11]基于RSM 方法分析了風(fēng)載荷作用下含有初始缺陷的圓錐殼結(jié)構(gòu)失穩(wěn)臨界載荷。Xu Bai 等[12]分析了剛度折減對(duì)環(huán)肋圓柱殼承載能力的影響，研究結(jié)果表明周向薄膜剛度對(duì)圓柱殼的穩(wěn)定性影響最大，軸向的彎曲剛度對(duì)圓柱殼穩(wěn)定性的影響較小。

在現(xiàn)有基礎(chǔ)上，本文采取RSM 針對(duì)具有軸對(duì)稱缺陷的軸壓圓柱殼的穩(wěn)定性進(jìn)行研究。

1 軸壓下完善圓柱殼的失穩(wěn)載荷

1.1 失穩(wěn)載荷

軸壓作用下完善薄壁圓柱殼模型如圖1 所示。圓柱殼兩端自由支持在剛性周界，設(shè)定長(zhǎng)度為l，壁厚為t，半徑為 r，均勻軸向壓力為 p，材料的彈性模量為E，位移為(U,V,W)。

依據(jù)薄殼理論，圓柱殼失穩(wěn)前的應(yīng)力狀態(tài)下：

失穩(wěn)后的平衡狀態(tài)為：

圖1 軸壓完善圓柱殼模型Fig.1 Perfect cylindrical shell model under axial compression

失穩(wěn)后，總應(yīng)力、應(yīng)變、彎矩、轉(zhuǎn)角可以寫(xiě)為：

其中公式右邊第1項(xiàng)為失穩(wěn)前，第2項(xiàng)為失穩(wěn)后相對(duì)增量。

將應(yīng)變、應(yīng)力分成線性項(xiàng)部分(ε′x,ε′θ,ε′xθ)，(n′x,n′θ,n′xθ)和二次項(xiàng)部分(ε′′x,ε′′θ,ε′′xθ)，(n′′x,n′′θ,n′′xθ)，忽略高階項(xiàng)，則圓柱殼總勢(shì)能為：

其中：

圓柱殼位移選取為：

其中：i 為圓周方向的波數(shù)；j 為軸線方向的半波數(shù)；uij，vij，wij為任意常數(shù)。

依據(jù)文獻(xiàn)[13]中圓柱殼幾何方程和胡克定律，可以得到：

其中：λ=jπ/L，L=l/r。

其中：α=12R2，R=r/t。

由于總勢(shì)能二次項(xiàng)部分在任意條件下的偏導(dǎo)為0，因而可轉(zhuǎn)化為特征值方程問(wèn)題:

其中：Λ=p/E。

式（16）存在任意解的條件是系數(shù)行列式為0，因而

1.2 結(jié)果分析

圖2 給出了應(yīng)用式（18）得到的軸壓作用下完善圓柱殼結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)載荷（L=2.88，R=250，t=5，以下計(jì)算均以此參數(shù)為基礎(chǔ)），可以看出軸壓圓柱殼存在多種失穩(wěn)模態(tài)。

圖2 軸壓圓柱殼失穩(wěn)載荷圖譜Fig.2 Instability load spectrum of axial compression cylindrical shell

從圖3 和圖4 中可以看出，承受軸向壓力圓柱殼的失穩(wěn)載荷僅與圓柱殼半徑與厚度的比R 有關(guān)，與長(zhǎng)度和半徑的比L 無(wú)關(guān)。因此在式（18）中，求其最小值，得

與經(jīng)典彈性臨界應(yīng)力公式相同。

2 軸壓圓柱殼的剛度折減分析

依據(jù)式（11），軸壓完善圓柱殼失穩(wěn)總勢(shì)能中的V2項(xiàng)可以表述為：

圖3 不同L 下的失穩(wěn)載荷Fig.3 Instability load at different L

圖4 不同R 下的失穩(wěn)載荷Fig.4 Instability load at different R

通過(guò)殼體的穩(wěn)定條件，將軸向壓力下圓柱殼穩(wěn)定性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解特征方程的特征值問(wèn)題：

式中：Km和 Kb分別是薄膜剛度矩陣和彎曲剛度矩陣；KG幾何剛度矩陣；參數(shù) Λc是特征值而向量Φ是特征向量，對(duì)應(yīng)于圓柱殼的失穩(wěn)載荷和失穩(wěn)模態(tài)。

當(dāng)圓柱殼各剛度折減時(shí)，式（22）應(yīng)寫(xiě)為：

其中：Λ′和Φ′為折減剛度后的新的特征值和特征向量。β為薄膜剛度折減系數(shù)（0＜β≤1），ξ 為彎曲剛度折減系數(shù)（0＜ξ≤1）。

因此式（18）中的系數(shù)將變?yōu)椋?/p>

可得含有折減系數(shù)的臨界載荷方程：

通過(guò)分析，臨界載荷方程分子的兩項(xiàng)分別代表薄膜剛度和彎曲剛度對(duì)臨界載荷的貢獻(xiàn)，在公式（24）中，求其最小值得：

圖5 和圖6 給出了不同剛度折減系數(shù)對(duì)軸向受壓薄壁圓柱殼失穩(wěn)載荷的影響。

可以看出，無(wú)論是薄膜剛度還是彎曲剛度的降低都會(huì)影響軸壓圓柱殼的失穩(wěn)模態(tài)。軸壓圓柱殼失穩(wěn)時(shí)周向波數(shù)隨著薄膜剛度的減少而減少，隨著彎曲剛度的降低而增加。

圖5 彎曲剛度折減失穩(wěn)載荷圖譜Fig.5Instability load spectrum of bending stiffness reduction

圖6 薄膜剛度折減失穩(wěn)載荷圖譜Fig.6 Instability load spectrum of film stiffness reduction

3 含軸對(duì)稱缺陷圓柱殼失穩(wěn)分析

3.1 基于RSM 的失穩(wěn)載荷計(jì)算

含軸對(duì)稱初始缺陷圓柱殼模型如圖7 所示。設(shè)定長(zhǎng)度為l，半徑為 r，初始缺陷的幅值為 w0，缺陷的曲率為ρ，靜水壓力為 p，殼板的厚度為t。

圖7 含軸對(duì)稱缺陷軸壓圓柱殼模型Fig.7 Axially compressed cylindrical shell model with axisymmetric defects

缺陷幅值相對(duì)于半徑為小量，忽略對(duì)圓柱殼應(yīng)力分布的影響，殼體失穩(wěn)前應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)匀粸槭剑?）和式（2），而幾何方程如下：

因此相對(duì)于完善殼體，式（13）～式（15）分別表述為：

其中：α=12R2，R=r/t。

根據(jù)殼體穩(wěn)定條件得到系數(shù)行列式的系數(shù)為：

得含軸對(duì)稱缺陷的軸壓圓柱殼失穩(wěn)臨界載荷：

3.2 軸對(duì)稱缺陷對(duì)失穩(wěn)載荷的影響

為便于分析初始缺陷對(duì)薄膜剛度和彎曲剛度的影響，令

式（31）可寫(xiě)為：

圖8 缺陷在軸壓圓柱殼失穩(wěn)的影響Fig.8 Effect of defects on the instability of cylindrical shells under axial compression

由圖8 中可以看出，a2對(duì)圓柱殼的影響很小，可以忽略不計(jì)，因此將式（34）簡(jiǎn)化為：

從式（34）可以看出，軸對(duì)稱缺陷是經(jīng)過(guò)圓柱殼失穩(wěn)時(shí)軸向波數(shù)二次方放大，所以很小的初始缺陷將會(huì)對(duì)圓柱殼的穩(wěn)定承載能力產(chǎn)生較大影響。

由圖9 可以看出，與無(wú)缺陷時(shí)軸向受壓圓柱殼的失穩(wěn)模式不同，當(dāng)縱向失穩(wěn)波數(shù)是1 時(shí)，含軸對(duì)稱初始缺陷的軸壓受壓圓柱殼的失穩(wěn)載荷有最小值。比較式（34）和式（25）可得含軸對(duì)稱缺陷圓柱殼承受軸向均勻壓力時(shí)，薄膜剛度折減系數(shù)與軸對(duì)稱初始缺陷的關(guān)系為：

圖9 含軸對(duì)稱缺陷軸壓圓柱殼的失穩(wěn)臨界載荷圖譜Fig.9 Instability critical load spectrum of axially compressed cylindrical shells with axisymmetric defects

4 結(jié) 語(yǔ)

采用RSM 方法針對(duì)軸壓載荷作用下完善圓柱殼以及具有軸對(duì)稱缺陷圓柱殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，主要結(jié)論如下：

1）軸壓作用下完善圓柱殼結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)載荷與半徑、厚度的比有關(guān)，與長(zhǎng)度、半徑比無(wú)關(guān)。

2）軸壓圓柱殼結(jié)構(gòu)的薄膜剛度、彎曲剛度均影響其失穩(wěn)模態(tài)，失穩(wěn)周向波數(shù)隨著薄膜剛度的減少而減少，隨著彎曲剛度的降低而增加。

3）由于軸對(duì)稱缺陷通過(guò)圓柱殼失穩(wěn)的軸向波數(shù)二次方放大來(lái)影響薄膜剛度，故對(duì)其臨界承載能力影響很大。