在探索中感悟數(shù)學(xué)思想

郭紅麗

摘?要 數(shù)學(xué)課堂究竟能帶給學(xué)生什么？這是筆者一直在思考的問(wèn)題——授之以魚(yú)不如授之以漁。從“知識(shí)結(jié)果的教學(xué)”→“過(guò)程的教學(xué)”→“智慧的教學(xué)”，這是三種不同的教學(xué)觀帶來(lái)的不同結(jié)果。《數(shù)學(xué)廣角》最明顯的特點(diǎn)就是目標(biāo)定位在滲透數(shù)學(xué)思想方法，而數(shù)學(xué)思想方法又是一種基于數(shù)學(xué)知識(shí)又高于數(shù)學(xué)知識(shí)的隱性數(shù)學(xué)知識(shí)，在教材里只能用靜態(tài)的知識(shí)形式呈現(xiàn)，這就必然要求教師要深鉆教材，透過(guò)靜態(tài)知識(shí)理清動(dòng)態(tài)思維線索，充分地挖掘和理解教材中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法。

關(guān)鍵詞 小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)廣角;思想方法

中圖分類號(hào)：G622 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2020）26-0200-02

從“知識(shí)結(jié)果的教學(xué)”→“過(guò)程的教學(xué)”→“智慧的教學(xué)”，這是三種不同的教學(xué)觀帶來(lái)的不同結(jié)果。數(shù)學(xué)課堂究竟要給學(xué)生帶來(lái)什么？帶著這樣一個(gè)問(wèn)題，筆者執(zhí)教了五年級(jí)《數(shù)學(xué)廣角》——植樹(shù)問(wèn)題例1一課?，F(xiàn)將自己的所思所做所悟交流如下：

《數(shù)學(xué)廣角》最明顯的特點(diǎn)就是目標(biāo)定位在滲透數(shù)學(xué)思想方法，而數(shù)學(xué)思想方法又是一種基于數(shù)學(xué)知識(shí)又高于數(shù)學(xué)知識(shí)的隱性數(shù)學(xué)知識(shí)，在教材里只能用靜態(tài)的知識(shí)形式呈現(xiàn)，這就必然要求教師要深鉆教材，透過(guò)靜態(tài)知識(shí)理清動(dòng)態(tài)思維線索，充分地挖掘和理解教材中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，確定相對(duì)準(zhǔn)確、具體的教學(xué)目標(biāo)。本節(jié)課執(zhí)教的《植樹(shù)問(wèn)題》是教材第106頁(yè)例1的教學(xué)。知識(shí)線索的呈現(xiàn)是：出示例1→呈現(xiàn)算法→進(jìn)行檢驗(yàn)→揭示規(guī)律（模型）→運(yùn)用規(guī)律（模型）[教材用幾個(gè)小朋友的對(duì)話和圖片來(lái)呈現(xiàn)學(xué)生探索解決問(wèn)題的過(guò)程。首先由一個(gè)男孩說(shuō)出學(xué)生們可能會(huì)想到的答案：“100÷5=20（棵）”，接著一個(gè)女孩問(wèn)：“對(duì)嗎？檢驗(yàn)一下?！眮?lái)引發(fā)學(xué)生思考。接下來(lái)由小精靈提出了解決問(wèn)題的常用方法──從簡(jiǎn)單的情況入手解決復(fù)雜的問(wèn)題。這里先呈現(xiàn)直觀的圖示法，讓學(xué)生看到把一條線段平均分成4段，加上兩個(gè)端點(diǎn)，一共有5個(gè)點(diǎn)，也就是要栽5棵樹(shù)，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)植樹(shù)時(shí)確定樹(shù)苗數(shù)量的問(wèn)題并不能簡(jiǎn)單地用除法來(lái)解決。緊接著一個(gè)小男孩提出“25 m可以栽幾棵？”這次用畫(huà)線段圖的方式解決問(wèn)題，不僅在研究方法上從直觀轉(zhuǎn)為抽象，更是向?qū)W生滲透歸納思想──一個(gè)特例不足以說(shuō)明問(wèn)題，多個(gè)不同的事物才能揭示規(guī)律。然后向?qū)W生提問(wèn)：“你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？”啟發(fā)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)規(guī)律，也就是栽樹(shù)的棵數(shù)要比間隔數(shù)多1。同時(shí)教材進(jìn)一步提出“不畫(huà)圖，你知道30 m、35 m要栽幾棵樹(shù)嗎？”讓學(xué)生利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律先解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。最后教材要求應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來(lái)解決前面的植樹(shù)問(wèn)題：100 m長(zhǎng)的小路共有20個(gè)間隔，兩端都要栽，所以一共要栽21棵樹(shù)。]思維線索是：通過(guò)學(xué)生熟悉的植樹(shù)情境，引導(dǎo)學(xué)生借助線段圖，經(jīng)歷猜想、實(shí)驗(yàn)、抽象等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，探索間隔與點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系，建立植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型;再運(yùn)用模型解決實(shí)際問(wèn)題。（“植樹(shù)問(wèn)題”中最重要的數(shù)學(xué)思想就是模型思想，而如何讓學(xué)生理解從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程是教學(xué)“植樹(shù)問(wèn)題”的難點(diǎn)。為了突破這一難點(diǎn)，教材突出了線段圖的教學(xué)，通過(guò)幾何直觀幫助學(xué)生理解“植樹(shù)問(wèn)題”的數(shù)學(xué)模型。例1是探討關(guān)于一條線段，并且兩端都要栽的植樹(shù)問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)觀察線段圖來(lái)發(fā)現(xiàn)栽樹(shù)的棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系。即讓學(xué)生先把“樹(shù)”抽象成“點(diǎn)”，把“點(diǎn)”與間隔一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，發(fā)現(xiàn)栽樹(shù)的棵樹(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系，多出一個(gè)“點(diǎn)”，所以“栽樹(shù)棵數(shù)=間隔數(shù)+1”即“兩端都栽”的模型。）

所以，這節(jié)課的教學(xué)要求可以這樣定位：利用學(xué)生熟悉的生活素材讓學(xué)生理解和建構(gòu)“間隔”“間隔長(zhǎng)”“間隔數(shù)”等概念，感悟間隔數(shù)與棵數(shù)之間的關(guān)系，通過(guò)自主探索、討論、交流，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)、理解并掌握植樹(shù)問(wèn)題（兩端要栽）的解題規(guī)律，并利用規(guī)律解決一些實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)為使學(xué)生理解和掌握計(jì)算間隔數(shù)的方法，掌握兩端都栽的植樹(shù)規(guī)律并能正確進(jìn)行計(jì)算。教學(xué)難點(diǎn)為建構(gòu)“間隔”“間隔長(zhǎng)”“間隔數(shù)”等概念。

有了明確的、可操作的教學(xué)要求，就能很好地解決“教什么”的問(wèn)題;如何實(shí)現(xiàn)這些教學(xué)要求，就要研究一堂課怎樣開(kāi)始？怎樣展開(kāi)？怎樣練習(xí)？如“植樹(shù)問(wèn)題”一課的教學(xué)筆者是這樣安排教學(xué)層次。

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)求知欲望

良好的開(kāi)端就是成功的一半。一堂課應(yīng)該如何創(chuàng)設(shè)情境？明確學(xué)什么，揭示課題，是教學(xué)成敗的重要前提。筆者課前借助“手掌”等實(shí)物，理解“間隔”“間隔長(zhǎng)”“間隔數(shù)”，創(chuàng)設(shè)這樣的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境，促進(jìn)學(xué)生思維變通。1、猜謎語(yǔ)。“同學(xué)們，你們喜歡猜謎語(yǔ)嗎？”出示謎語(yǔ)：“兩棵小樹(shù)十個(gè)叉，不長(zhǎng)葉子不開(kāi)花。能寫(xiě)會(huì)算還會(huì)畫(huà)，天天干活不說(shuō)話。它是什么呢？你說(shuō)說(shuō)看？”（手）。2、數(shù)手指。“我們的手作用可真大，又會(huì)寫(xiě)又會(huì)畫(huà)還會(huì)算，而且我們的手上還有許多的數(shù)學(xué)奧秘，仔細(xì)看老師的手，你看到了數(shù)字幾呢？”（5）“還能看到數(shù)字幾呢？”（4、3、2、1。）“請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)數(shù)字4、3、2、1表示的是什么?。俊保ㄊ种傅膫€(gè)數(shù)）。3、引入間隔、間隔數(shù)。①“除了手指的個(gè)數(shù)外你還能看到什么呢？”（還能看到手指之間的間隔）。②“手指之間還有一個(gè)個(gè)的間隔。同學(xué)們，在老師的手上五個(gè)手指之間到底有幾個(gè)間隔呢？”（4個(gè)）。③數(shù)一數(shù)。用自已的手?jǐn)?shù)一數(shù)有幾個(gè)間隔？（學(xué)生逐一數(shù)1、2、3、4），“那四個(gè)手指之間有幾個(gè)間隔？三個(gè)手指之間呢？?jī)蓚€(gè)手指之間呢？”④“說(shuō)一說(shuō)什么叫“間隔”？”（兩個(gè)手指的距離，學(xué)生說(shuō)不出來(lái)，多媒體將手抽象成線段圖）。⑤“什么叫間隔長(zhǎng)？”（間隔的長(zhǎng)度）“什么叫間隔數(shù)？”（間隔的個(gè)數(shù)）4、認(rèn)識(shí)生活中的“間隔”“間隔數(shù)”。生活中間隔和間隔數(shù)無(wú)處不在。（課件出示：人民大會(huì)堂柱子、路燈桿、擺花盆、路旁的小樹(shù)等），邊放課件邊敘述說(shuō)明?！跋胍幌?，生活中還有哪些地方有間隔？有幾個(gè)間隔？”（給學(xué)生時(shí)空充分交流）5、揭示并板書(shū)課題?！跋襁@樣有間隔、間隔數(shù)現(xiàn)象存在的問(wèn)題，統(tǒng)稱為植樹(shù)問(wèn)題?！保ò鍟?shū)：植樹(shù)問(wèn)題）?！敖裉煳覀兙鸵黄饋?lái)探究有關(guān)植樹(shù)問(wèn)題的知識(shí)?！卑鍟?shū)課題——植樹(shù)問(wèn)題。

二、分層教學(xué)，構(gòu)建新知模型

新授課圍繞一個(gè)“新”字展開(kāi)，重點(diǎn)要思考的是教學(xué)的起點(diǎn)在哪里？分成幾個(gè)教學(xué)層次，每個(gè)層次要解決個(gè)什么問(wèn)題，作用是什么？每個(gè)層次的教學(xué)方式是什么？哪個(gè)環(huán)節(jié)要教師講清講透？哪個(gè)環(huán)節(jié)要學(xué)生認(rèn)真聽(tīng)講、獨(dú)立思考？哪個(gè)環(huán)節(jié)要學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流？哪個(gè)環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生比較、分類、歸納、抽象、推理、建?！?。如《植樹(shù)問(wèn)題》一課的教學(xué)，學(xué)習(xí)的價(jià)值不僅僅是讓學(xué)生記住兩段都栽棵數(shù)等于間隔數(shù)加1，而是要通過(guò)植樹(shù)這個(gè)典型案例喚起“植樹(shù)問(wèn)題”的模型。例1是探討關(guān)于一條線段，并且兩端都要栽的植樹(shù)問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)觀察線段圖來(lái)發(fā)現(xiàn)栽樹(shù)的棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系。即讓學(xué)生先把“樹(shù)”抽象成“點(diǎn)”，把“點(diǎn)”與間隔一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，發(fā)現(xiàn)栽樹(shù)的棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系，多出一個(gè)“點(diǎn)”，所以“栽樹(shù)棵數(shù)=間隔數(shù)+1”即“兩端都栽”的模型。）使學(xué)生發(fā)現(xiàn)、理解并掌握植樹(shù)問(wèn)題（兩端要栽）的解題規(guī)律，并利用規(guī)律解決一些實(shí)際問(wèn)題。讓學(xué)生經(jīng)歷完整的問(wèn)題解決全過(guò)程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，發(fā)展核心素養(yǎng)。

具體教學(xué)思路如下：

層次一、教學(xué)例1，初步理解植樹(shù)問(wèn)題模型。例1的教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷“閱讀與理解、分析與解答”完整的問(wèn)題解決過(guò)程。閱讀與理解時(shí)，通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)，同時(shí)借助線段圖幫助學(xué)生理解題意?！白x一讀，在題中你讀到哪些信息？誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)？“全長(zhǎng)100米”表示什么？“一邊植樹(shù)”表示什么？“每隔5米栽一棵”表示什么意思？（間隔長(zhǎng)）等問(wèn)題引領(lǐng)，根據(jù)學(xué)生的回答出示線段圖來(lái)幫助學(xué)生理解題意。分析與解答環(huán)節(jié)，筆者先讓學(xué)生自己計(jì)算，然后再次以問(wèn)題引領(lǐng)，在這個(gè)算式中，100米是什么？（總長(zhǎng)）5米是什么？（間隔長(zhǎng)）100÷5表示什么？（100米里有幾個(gè)5米，就有幾個(gè)間隔）？20是什么？（間隔數(shù)）（100里有20個(gè)5，有20個(gè)間隔），以此來(lái)理解求出來(lái)的20是間隔數(shù)而不是棵數(shù)。接著，筆者采用圈一圈方式，讓點(diǎn)與間隔一一對(duì)應(yīng)，提出問(wèn)題20棵樹(shù)夠嗎？學(xué)生通過(guò)觀察線段圖發(fā)現(xiàn)，多出一個(gè)點(diǎn)，就多出1棵樹(shù)，所以要20+1=21。為了引導(dǎo)學(xué)生回顧反思總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出間隔數(shù)的計(jì)算方法，（總長(zhǎng)÷間隔長(zhǎng)=間隔數(shù)），最后引導(dǎo)學(xué)生回顧植樹(shù)問(wèn)題的解題思路先算間隔數(shù)，再算棵數(shù)。讓學(xué)生初步理解了植樹(shù)問(wèn)題模型，感悟間隔數(shù)與棵數(shù)之間的關(guān)系，通過(guò)自主探索、討論、交流，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)、理解并掌握植樹(shù)問(wèn)題（兩端要栽）的解題規(guī)律。

層次二、進(jìn)行驗(yàn)證，理解和掌握植樹(shù)問(wèn)題模型。緊接著提出“20m、25 m可以栽幾棵？”這次用畫(huà)線段圖的方式解決問(wèn)題，不僅在研究方法上從直觀轉(zhuǎn)為抽象，更是向?qū)W生滲透歸納思想——一個(gè)特例不足以說(shuō)明問(wèn)題，多個(gè)不同的事物才能揭示規(guī)律。然后向?qū)W生提問(wèn)：“你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？”啟發(fā)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)規(guī)律，也就是栽樹(shù)的棵數(shù)要比間隔數(shù)多1。然后進(jìn)一步提出“不畫(huà)圖，你知道30 m、35 m要栽幾棵樹(shù)嗎？”讓學(xué)生利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律先解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題，揭示規(guī)律?？傞L(zhǎng)、間隔長(zhǎng)、間隔數(shù)之間有什么關(guān)系？植樹(shù)的棵數(shù)與誰(shuí)有關(guān)系？棵數(shù)怎么算？植要樹(shù)問(wèn)題先算什么？（間隔數(shù)）再算什么？（棵數(shù)）

層次三、觸類旁通、完整建構(gòu)植樹(shù)問(wèn)題模型。生活中有“間隔”和“間隔數(shù)”的問(wèn)題都可以看作是植樹(shù)問(wèn)題，兩端栽的要先算“間隔數(shù)”，加1就是棵數(shù)。

三、及時(shí)練習(xí)，解釋拓展運(yùn)用

學(xué)生在課堂上用較短有限的時(shí)間學(xué)習(xí)了較多數(shù)學(xué)知識(shí)，需要及時(shí)通過(guò)練習(xí)來(lái)鞏固，才能掌握。而知識(shí)的鞏固積累、技能的形成又是再學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是知識(shí)向能力轉(zhuǎn)化的先決條件。尤其是小學(xué)數(shù)學(xué)新授課一個(gè)最顯著和特點(diǎn)就是要及時(shí)組織練習(xí)。如何通過(guò)練習(xí)，實(shí)現(xiàn)解釋、拓展、運(yùn)用？解釋就是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在獨(dú)立觀察、思考的基礎(chǔ)上，合理說(shuō)明其由來(lái)、聯(lián)系、規(guī)律;拓展就數(shù)學(xué)而言就是會(huì)靈活進(jìn)行變式;運(yùn)用就是用數(shù)學(xué)知識(shí)解決具體問(wèn)題。這就要求教師在課堂教學(xué)中要科學(xué)設(shè)計(jì)和安排練習(xí)層次?？傇瓌t是講練結(jié)合，邊講邊練。要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容采用不同形式的練習(xí)方式。其一，對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容和關(guān)鍵知識(shí)集中練。其二，對(duì)于難點(diǎn)分散練。其三，對(duì)于易混知識(shí)對(duì)比練。其四，對(duì)于發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)、思維提升空間較大的內(nèi)容要拓展練，可以將新知拓展，縱向引申，讓學(xué)生的思維呈階梯式發(fā)展。如《植樹(shù)問(wèn)題》教學(xué)中在探究了植樹(shù)問(wèn)題的規(guī)律后，筆者立足生活設(shè)計(jì)了基本練習(xí)、變式練習(xí)、引申發(fā)展練習(xí)等系列的練習(xí)題，一方面把植樹(shù)問(wèn)題進(jìn)一步拓展，鞏固新知，發(fā)散學(xué)生思維，另一方面體現(xiàn)數(shù)學(xué)在生活中的價(jià)值，增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。從易到難，讓學(xué)生解決生活中的植樹(shù)問(wèn)題，拓寬了學(xué)生的視野，也體現(xiàn)了生活處處有數(shù)學(xué)。

這樣的課就意味著學(xué)生不僅僅具有扎實(shí)的基礎(chǔ)，更重要的是能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)的“變式”訓(xùn)練總結(jié)方法，提升思維，不失時(shí)機(jī)地培養(yǎng)了學(xué)生的抽象、概括、推理等能力?！爸矘?shù)問(wèn)題”模型得到了很好的運(yùn)用，使學(xué)生遇到此類問(wèn)題能夠觸類旁通。

數(shù)學(xué)課堂究竟能帶給學(xué)生什么？這是筆者一直在思考的問(wèn)題——授之以魚(yú)不如授之以漁?？傊?jié)課學(xué)生是在輕松、愉快的心情下，在動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口的過(guò)程中，掌握問(wèn)題解決的策略和思想方法。筆者想只要一次次積累、一次次思考，就能給孩子們帶來(lái)一種真實(shí)有效的數(shù)學(xué)課堂。發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)，需要教師立足于日常教學(xué)，立足于教材，立足于課堂，立足于與學(xué)生的每一句真實(shí)的對(duì)話，不斷學(xué)習(xí)積累，不斷反思總結(jié)，才能教得有效，學(xué)得有味。

參考文獻(xiàn)：

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