讓筆算除法的算法和算理一脈相承

摘要：在加減乘除這四種計(jì)算中，除法最難，算理難理解，計(jì)算形式也難以掌握。為什么除法的形式相比乘法豎式要復(fù)雜得多，就是因?yàn)槌ㄓ杏鄶?shù)，所以教學(xué)除法時(shí)，筆者打破教材思路，創(chuàng)新性地先教首位有余的除法，讓學(xué)生更好地理解算理，掌握算法。

關(guān)鍵詞：筆算除法;首位有余;算理;算法

一、教材分析

這節(jié)課是在學(xué)生已掌握了商是一位數(shù)的筆算除法，整十、整百數(shù)除以一位數(shù)的算理和算法，幾百幾十除以一位數(shù)的算理算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。新教材先將首位無(wú)余的兩位數(shù)除以一位數(shù)和三位數(shù)除以一位數(shù)放在一節(jié)課內(nèi)進(jìn)行教學(xué)，然后進(jìn)行首位有余的除法和商中間有0和末尾有0的教學(xué)，目的是為了讓學(xué)生先通過(guò)每位都無(wú)余的除法理解算理掌握兩層和三層的除法豎式，然后夯實(shí)個(gè)整除法

算法。

二、困惑分析

1.兩位數(shù)除以一位數(shù)，“首位有余”和“首位無(wú)余”哪個(gè)能更清楚地解釋算理呢？

商是兩位數(shù)的筆算除法，雖然有表內(nèi)除法為基礎(chǔ)，但其計(jì)算過(guò)程的復(fù)雜性仍是三年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)上的障礙。教材把兩位數(shù)除以一位數(shù)和三位數(shù)除以一位數(shù)放在同一課時(shí)，意圖讓學(xué)生通過(guò)學(xué)法遷移，領(lǐng)悟并掌握兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算方法，事實(shí)上，三年級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力較差，舉一反三、方法遷移的能力很弱，因此這樣的安排可能導(dǎo)致學(xué)生不能理解為何要分層列豎式。因此這節(jié)課可以打破教材的限制，重新進(jìn)行了教材整合。在例題的選擇上，將例題46÷2（無(wú)余除法），改成42÷3，十位上的余數(shù)可以巧妙地解釋被除數(shù)個(gè)位上的數(shù)為何要抄下來(lái)，用算理突破了格式的難點(diǎn)。[1]

2.除法豎式是程序性的運(yùn)算過(guò)程，假如死記硬背格式很容易出錯(cuò)，那么能否追根溯源，讓學(xué)生理解除法豎式每個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)的含義后引出算法呢？

從古至今，除法演變了很多次，但都是要將計(jì)算的中間過(guò)程和結(jié)果按一定的順序記下來(lái)，除法豎式是一種簡(jiǎn)潔而有效的記錄方式。為了方便學(xué)生理解，我們可以理解為除法豎式就是將分小棒的過(guò)程記錄下來(lái)，在學(xué)生已經(jīng)明確分小棒的算理和已有基礎(chǔ)（表內(nèi)除法的豎式）后，可以讓學(xué)生自主探索除法豎式。[2]

三、教學(xué)過(guò)程

1.回憶除法豎式

（1）分7根

師：今天我們繼續(xù)來(lái)學(xué)習(xí)筆算除法，先請(qǐng)同學(xué)們來(lái)分小棒。瞧，這里有7根小棒，平均分成2份，每份幾根，還剩幾根？

（2）列豎式

①誰(shuí)來(lái)列式？（7÷2）

②7除以2，除了用分小棒的方法得到結(jié)果，我們還可以把它列成（豎式）來(lái)計(jì)算。

師：算一個(gè)除法要經(jīng)過(guò)三步，哪三步？

生：想商、相乘、相減。

師：3表示什么？

生：每份有3根。

師：6呢？

生：分掉了6根。

師：1呢？

生：1就是余數(shù)，剩下1根，不能再分。

設(shè)計(jì)意圖：用分小棒引入商是一位數(shù)的除法筆算，不僅復(fù)習(xí)了舊知，同時(shí)和后面例題的教學(xué)貫穿起來(lái)。7÷2有兩種方法得到結(jié)果，可以用小棒分一分，也可以列成豎式算一算，豎式中每個(gè)數(shù)字都能在分小棒的過(guò)程中找到對(duì)應(yīng)的含義，3表示每份有3根，6表示分掉了6根，1表示還剩1根。通過(guò)小棒和豎式的結(jié)合復(fù)習(xí)喚醒學(xué)生對(duì)除法筆算的舊知，為后面遷移到商是兩位數(shù)的筆算除法埋下

伏筆。[3]

2.新知探索

（1）分整捆

師：讓我們繼續(xù)來(lái)分小棒?？?，把4捆小棒平均分兩份，每份是多少？

生：把4捆平均分成2份，每份2捆。

（2）分幾捆帶幾根（無(wú)余）

師：那如果添上6根，總共有46根小棒，也要平均分成兩份，小棒該怎樣分呢？

生：把4捆平均分成2份，每份2捆;把6根平均分成2份，每份

3根。

師：他在分的時(shí)候，不是一下子分完的，而是分了？（2次）先分整捆，再分單根。

師生一起分。（屏幕出示字樣：先分整捆，再分單根。）

3.分幾捆帶幾根（有余）

（1）（改題）那如果我拿掉4根，現(xiàn)在一共有42根小棒，而且要平均分成3份，又該怎么分？ 這次分小棒和剛才有什么不一樣？請(qǐng)同學(xué)們帶著這兩個(gè)問(wèn)題同桌討論。

（2）提問(wèn)：

師：這次的分小棒跟剛才哪里不一樣？

生：4捆平均分成3份，每份1捆，余下1捆，不能正好分完

師：那接下來(lái)該怎么分？

生：一捆和2根合起來(lái)，12根平均分成兩3份，每份4根。

（3）小結(jié)：雖然這次分小棒跟上面的不一樣，但是，也要分幾次？（2次）先分（整捆），再分（單根），要是整捆的分不完，余下的要和單根地合起來(lái)繼續(xù)分，一共要分兩次。

4.豎式

（1）剛才分7根小棒可以用這樣的豎式來(lái)計(jì)算。那么現(xiàn)在分42根小棒，用豎式又該怎么算呢？

（2）定思路。剛才我們先分？（4捆）。

·分十位。

（1）那我們就要先算4除以3，商是幾？

（2）1要寫(xiě)在？（4 的上面）。為什么？

（3）商已經(jīng)想好了還要想兩步，哪兩步？

（4）請(qǐng)大家一起算。

（5）說(shuō)每個(gè)數(shù)字的意思：3表示？1表示？

（6）連起來(lái)算一遍

·分個(gè)位。

（1）下面還要分剩下的幾根？

（2）在豎式上1捆在這里，2根在上面，它們?cè)趦蓚€(gè)地方，這可不行怎么辦？（把2抄下來(lái)）

（3）12除以3商是幾？（4）4要寫(xiě)在？（個(gè)位上）為什么？

（4）這就是想商，接著呢？

（5）齊說(shuō)算法

5.對(duì)比，完整計(jì)算。

（1）這個(gè)豎式和原來(lái)的豎式相比，有什么不同的地方？（更長(zhǎng)，商有兩位，原來(lái)只有一層樓，現(xiàn)在有兩層樓。）

師：原來(lái)分小棒只要分一次，所以豎式只蓋一層樓，今天分小棒先分整捆再分單根，一共要分2次，豎式就要蓋2層樓。

（2）這兩個(gè)豎式除了有不同的地方，那有什么相同的地方？（不管蓋幾層樓都要有1商2乘3減這三步）

（3）下面讓我們把42÷3完整地算一遍。

6.模仿。

師：大家會(huì)了嗎？好的，那就請(qǐng)同學(xué)們自己說(shuō)自己寫(xiě)，練習(xí)紙上第1題。

設(shè)計(jì)意圖：新知的探索分三個(gè)層次。第一層：先分4捆，平均分成2份，整十?dāng)?shù)除以一位數(shù)也就舊知，喚醒學(xué)生對(duì)分整捆小棒的記憶，分整捆小棒和分單根小棒的過(guò)程是相似的;第二層：再添6根，順承學(xué)生思維，引導(dǎo)他們先分整捆，再分單根，在這里突破第一個(gè)算理“先分整捆，再分單根”便水到渠成，如果沒(méi)有再添上6根這個(gè)過(guò)程，學(xué)生先分單根再分整捆的想法比較突出，同時(shí)也為下一個(gè)例題做準(zhǔn)備;第三層：拿掉4根，平均分成3份，這次分小棒有難度，同桌討論讓學(xué)生自主探索、合作交流，讓知識(shí)自然地發(fā)生，對(duì)比這次分小棒和上面有何不同后突破第二個(gè)算理“整捆余下的小棒要和單根合起來(lái)一起分”，這也印證了上一題先分整捆再分單根的重要性。分完小棒將算理遷移至算法，也就是將分小棒的過(guò)程寫(xiě)成豎式，這一環(huán)節(jié)扶放結(jié)合，通過(guò)富于啟發(fā)性的問(wèn)題細(xì)化兩層的豎式，并逐一強(qiáng)化。這一過(guò)程中讓學(xué)生完整表述算法，也是使豎式算法得以內(nèi)化的過(guò)程。

（三）鞏固與深入

1. 54÷3

過(guò)渡：老師現(xiàn)在有54根小棒，而且要平均分成3份，又該怎么算呢？一起來(lái)看。

（1）54÷3應(yīng)該先算？

（2）那5÷3商是幾，分掉了幾還剩幾呢？請(qǐng)同學(xué)們填這三個(gè)框，練習(xí)紙上第三題。

（3）生匯報(bào)，分小棒驗(yàn)證。

（4）接著呢？（把4抄下來(lái)）小棒驗(yàn)證。

（5）24÷3商是幾分掉了幾，還剩幾呢？生完成剩下的框。

（6）生匯報(bào)，小棒驗(yàn)證。

2.46÷2

剛才我們還分過(guò)46÷2，那它用豎式該怎么算呢？這次老師不給框了，練習(xí)紙上第三題。

（1）生試做。

（2）展示兩種豎式

（3）哪個(gè)對(duì)？小棒分了幾次？（2次）所以豎式蓋幾層樓？（2層）

（4）一起算，溝通4-4=0，0不要寫(xiě)。

設(shè)計(jì)意圖：鞏固練習(xí)不是一下子放手讓學(xué)生，而是先第一層后第二層，逐層練習(xí)和用小棒驗(yàn)證，又將算法和算理進(jìn)行融合，再次加深兩層這個(gè)格式，明白每個(gè)數(shù)字的含義。第二個(gè)練習(xí)是將原先分過(guò)小棒的46÷2拿出來(lái)讓學(xué)生列豎式，雖然這個(gè)豎式首位無(wú)余也是新知，但有了前面分2次小棒的經(jīng)驗(yàn)，大部分學(xué)生能想到列兩層豎式，第一層就是分整捆，第二層就是分單根。練習(xí)的設(shè)計(jì)也是有梯度的，先是有框，后是無(wú)框，層層遞進(jìn)。

四、教學(xué)反思

基于學(xué)生低年級(jí)時(shí)一層除法豎式的基礎(chǔ)，筆者曾嘗試讓學(xué)生在理解兩位數(shù)除以一位數(shù)（首位有余）的算理后，自己嘗試讓學(xué)生探索兩層除法豎式。由于學(xué)生第一次接觸的兩層的豎式，三年級(jí)孩子沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)可以參考，這次嘗試沒(méi)有成功。最終筆者還是采取“講授式”這種傳統(tǒng)的教學(xué)方式，在練習(xí)中采取“扶放結(jié)合“的方式新授這個(gè)內(nèi)容。在日后的教學(xué)過(guò)程中，筆者將不斷嘗試，能否由學(xué)生自主探索兩層除法筆算。

參考文獻(xiàn)

[1]祖惠華.算理·算法·算趣——教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”有感[J].當(dāng)代家庭教育，2019.

[2]官秀平.貫通小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算算理學(xué)習(xí)途徑[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019.

[3]呂碧霞.小數(shù)乘整數(shù)中的算理算法教學(xué)[J].當(dāng)代教研論叢，2018.

作者簡(jiǎn)介

汪丹（1989.7—），女，江蘇江陰人。本科，畢業(yè)于徐州師范大學(xué)，江陰市教學(xué)新秀，曾在江陰市“三力課堂”評(píng)比活動(dòng)中榮獲一等獎(jiǎng)。