通才萊布尼茲的數(shù)學成就

巴英

摘要：本文介紹了通才萊布尼茲的數(shù)學成就，其中主要是他對微積分的貢獻，其次還有涉及他在數(shù)學符號的引用、復數(shù)、拓撲學、二進制和代數(shù)學里的工作。

關鍵詞：微積分;高階導數(shù);交錯級數(shù);復數(shù);拓撲學;二進制;代數(shù)學

1 通才萊布尼茲

戈特弗里德·威廉·萊布尼茲（G.W.Leibniz，1646-1716）生于德國，于萊比錫大學專攻法律，取得哲學學士學位。之后他遠離家鄉(xiāng)萊比錫，遠赴紐倫堡，憑借《論組合的藝術》獲得阿爾道夫大學哲學博士學位。 萊布尼茲是歷史上罕見的跨學科跨領域式的通才，被譽為17世紀的亞里士多德。他做過外交官，同時還是數(shù)學家、哲學家、法學家、歷史學家、語言學家、地質學家、符號學家，另外還在邏輯學、力學、光學、流體靜力學、氣體學、航海學和計算機方面做了重要工作?？傮w而言，他在數(shù)學和哲學領域的貢獻更卓越一些。

2 萊布尼茲在數(shù)學上的杰出貢獻

2.1微積分方面

微積分是17世紀最偉大的發(fā)現(xiàn)，M.克萊因曾總結到，微積分的參與者是17世紀的十幾個大數(shù)學家和幾十個小數(shù)學家、以及有關天文學家和物理學家。而這之中，做出了杰出貢獻的當屬牛頓和萊布尼茲。歷史上，關于微積分的發(fā)現(xiàn)發(fā)生過知識產權的爭論。起因是萊布尼茲曾經(jīng)于1672年訪問巴黎，1673年訪問倫敦，期間與了解牛頓的人有過通信，之后于1684年發(fā)表微積分著作。另一方面，牛頓早于萊布尼茲十年就有了微積分的研究，但是發(fā)表卻在1687年，晚了萊布尼茲三年。這樣，英國數(shù)學家捍衛(wèi)牛頓，歐洲大陸數(shù)學家支持萊布尼茲，兩派之間持續(xù)互相攻擊數(shù)年。事實證明，牛頓的大部分結果都先于萊布尼茲，但是萊布尼茲也是獨立發(fā)明者。歷史的蓋棺定論是，牛頓和萊布尼茲幾乎同時獨立發(fā)現(xiàn)微積分。

萊布尼茲在微積分方面的研究成果如今滲透在大學公共課《高等數(shù)學》和數(shù)學專業(yè)基礎課《數(shù)學分析》的許多分支，有很多公式和定理直接以他的名字命名。其中最著名的便是牛頓-萊布尼茲公式，它反映了函數(shù)局部和整體的關系，或者說是定積分與不定積分的關系。不僅如此，公式本身也完美地解決了定積分的計算問題?？梢哉f，牛頓-萊布尼茲公式屬于微積分的奠基石公式，這是一元函數(shù)微積分的頂峰。

牛頓-萊布尼茲公式? 如果f（x）在[a，b]上可積，f（x）在[a，b]上連續(xù)，至多除有限個點外F'（x）=f（x），則

萊布尼茲還推演出兩個函數(shù)乘積的高階導數(shù)公式，外觀十分類似于二項式定理，這個公式在導數(shù)的階數(shù)越高時，越能彰顯它的優(yōu)越性，很大程度地簡化了高階導數(shù)的計算。

萊布尼茲公式? 如果函數(shù)u=u（x）和v=v（x）都在x處具有n階導數(shù)，則

萊布尼茲特別研究過交錯級數(shù)，獲得了以下的萊布尼茲判別法，用于判斷交錯級數(shù)的收斂性，十分簡約實用。

萊布尼茲判別法 如果交錯級數(shù) 滿足條件：

那么級數(shù)收斂，且其和s≤u1，余項rn有|rn|≤un+1。

2.2符號學方面

數(shù)學從某種意義上來說，就是一門符號的學科。萊布尼茲很早就意識到數(shù)學符號的作用，在他看來，好的數(shù)學符號可以幫助人們減輕思維負累，甚至有可能是數(shù)學成功的關鍵。萊布尼茲是富于想象的，他花費很多時間，選擇富有提示性的符號，而這些恰恰是牛頓不重視也不擅長的。比如在微分學里，萊布尼茲用dx和dy表示微分，用dy/dx表示導數(shù)，用dn表示n階微分。又如在積分學里，用∫表示積分（求和sum的首字母s拉長），從形式和含義上都無比經(jīng)典。之后的二重積分、三重積、n重積分以及各類曲線積分和曲面積分的符號也由此類似延展得到。于是整個微積分學形成了完整獨立的符號系統(tǒng)，并且延用至今。這些簡約、得體、適用的符號，進一步促進微積分的發(fā)展，已是不爭的事實。

2.3復數(shù)方面

人類對復數(shù)的接納經(jīng)歷了漫長的階段。 事實上，早在公元1世紀希臘數(shù)學家海倫在研究金字塔時，就已經(jīng)隱約發(fā)現(xiàn)有復數(shù)的存在，但是直到16世紀意大利學者卡當才首次在求根公式中引入，17世紀笛卡爾予以命名虛數(shù)，18世紀歐拉首創(chuàng)虛單位i，最后18世紀末才受到重視和關注。這之中，萊布尼茲也曾經(jīng)困惑地說：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱蔽所，它大概是存在和虛妄的兩棲物。”盡管如此， 萊布尼茲還是深入地討論過復數(shù)的性質，得出復數(shù)的對數(shù)并不存在，共扼復數(shù)的和是實數(shù)的結論。在后來的研究中，萊布尼茲證明了自己結論是正確的。萊布尼茲大膽地讓虛數(shù)參與到運算中來，正是這份勇氣和開創(chuàng)，讓對復數(shù)的研究大大推進不少。

2.4拓撲學方面

1679年，萊布尼茲在他的著作《幾何特性》里，試圖闡述幾何圖形的基本性質，在采用特別的符號表示后，經(jīng)過運算產生產生新的性質。這類基于數(shù)學分析的需要而產生的一系列幾何問題，類似于研究地形地貌的學科，萊布尼茲稱之為位相學分析，現(xiàn)在稱之為拓撲學。拓撲學主要就是研究“拓撲空間”在“連續(xù)變換”下保持不變的性質，簡單的說，拓撲學是研究連續(xù)性和連通性的一個數(shù)學分支。分形幾何的創(chuàng)始人本華·曼德博十分肯定萊布尼茲的海量研究工作，他認為分形幾何理論是在萊布尼茨的自相似性思想和連續(xù)性原理中尋求到支持的，并且萊布尼茲實際上提前兩個世紀預言了拓撲學的誕生。

2.5二進制方面

1679年，萊布尼茨發(fā)明了二進制，并對其系統(tǒng)性深入研究，完善了二進制。他曾斷言：“二進制乃是具有世界普遍性的、最完美的邏輯語言”。有意思的是，當萊布尼茲從傳教士那里了解到中國文化中的周易八卦，便認為陰陽說就是二進制的中國版，兩者具有互通性。此外，萊布尼茲還創(chuàng)立了符號邏輯學的基本概念，發(fā)明了能夠進行加、減、乘、除及開方運算的計算機。這一切，為計算機的現(xiàn)代發(fā)展奠定了堅實的理論和實踐基礎?！?/p>

2.6代數(shù)學方面

在代數(shù)學中的線性代數(shù)分支里，萊布尼茲還對線性方程組進行過研究，對消元法從理論上進行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論。

3.結束語

1716年，萊布尼茲病逝于漢諾威，孤獨而安靜，沒有像牛頓一樣安葬在威斯敏斯特大教堂的科學家之角為后人瞻仰。馬克思在給恩格斯的信中寫道：我是佩服萊布尼茲的！

參考文獻

[1]同濟大學應用數(shù)學系主編，高等數(shù)學上、下冊（第七版），高等教育出版社，2006年。

[2]M.克萊因，古今數(shù)學思想，上海科學技術出版社，1985年。

[3]林永偉、葉立軍編著，數(shù)學史與數(shù)學教育，浙江大學出版社，2004年。