類比推理或然性在小學數(shù)學教學中的滲透

張沁汝 翁嘉烯

摘要：推理能力是義務(wù)教育數(shù)學課程標準提出的十個核心概念之一。類比推理是合情推理的重要形式，對引發(fā)猜想、啟迪思維和發(fā)現(xiàn)結(jié)論有關(guān)鍵作用。教師教學中常運用類比推理得出結(jié)論，而這也導致對其或然性的忽視。為更好發(fā)展小學生的類比推理能力，教師需令其感悟類比推理的或然性，掌握“舊知情境，建類比橋梁”“親歷過程，感類比局限”“說理檢驗，證類比猜想”的教學策略。

關(guān)鍵詞：小學數(shù)學;類比推理;或然性;教學策略

類比推理是指根據(jù)兩個不同對象的某些方面相同或相似，推導或猜想出它們在其他方面可能具有相同或相似的思維形式，是由特殊到特殊的推理方法。它在小學數(shù)學中應(yīng)用廣泛，屬于數(shù)學核心素養(yǎng)推理能力的一部分，有大量研究圍繞其培養(yǎng)策略展開。然而，有一點卻易被研究者、一線教師忽視：類比推理作為合情推理的一種，有其或然性，會出現(xiàn)看似合情合理、卻導致錯誤的結(jié)論。若學生感知于此，他們能夠生成碰壁后改變探究策略的寶貴經(jīng)驗;也能夠打破思維定式，深入開展探究活動，獲得更多數(shù)學活動經(jīng)驗。那么，小學數(shù)學應(yīng)如何引導學生感知類比推理可能出錯？為此，筆者選擇以人教版五年級上冊的綜合實踐活動課“擲一擲”為例，談?wù)劃B透類比推理或然性的教學策略。

一、舊知情境，建類比橋梁

在教學時，教師首先詢問擲一個骰子，朝上點數(shù)有哪幾種情況;接著請學生說一說各種情況出現(xiàn)的可能性。這是學生日常生活中常接觸的游戲，他們較感興趣;而且剛學完“可能性”一課，他們對這兩個問題并不陌生，能夠很快回答。

隨后教師出示：擲到1、2、5、6朝上，甲贏;擲到3、4朝上，乙贏。詢問這一游戲規(guī)則是否公平及判斷理由。學生回答后教師總結(jié)：點數(shù)種數(shù)多，贏的可能性大。這時教師追問，怎樣修改游戲規(guī)則，使游戲公平？并請學生填空：點數(shù)（）朝上，甲贏;點數(shù)（）朝上，乙贏。從而教師總結(jié)出只要6種點數(shù)平分，游戲就公平。這些問題的難度均不大，是對“可能性”的復習，為兩個骰子情況下學生的類比推理做了鋪墊。

依據(jù)皮亞杰的認知發(fā)展階段理論，學生正處于具體運算階段。此時類比推理的產(chǎn)生，需借助生活原型，營造具體的情境。同時，類比推理的前提往往為與新知關(guān)聯(lián)的學生已知。學生展開類比推理學習的前提是其原有認知結(jié)構(gòu)中具備了同化新知識的相似概念。如果相似概念缺少、模糊，類比推理活動就難以順利展開。_[1]

以上兩點在此教學設(shè)計中均有體現(xiàn)。教師開門見山，創(chuàng)設(shè)“擲一個骰子”等生活情境，情境存在學生接觸與掌握的舊知，特別是“點數(shù)種數(shù)多，贏的可能性大”的總結(jié)。值得注意的是，此舊知與彼舊知不同，學生利用其類比推理得出的結(jié)論將不再正確，新舊知識在某種程度上無法銜接與升華。但它為學生進行類比推理搭建了橋梁，更為學生感悟類比推理的或然性提供了平臺。

二、親歷過程，感類比局限

在一個骰子的基礎(chǔ)上，教師提問：如果同時擲兩個骰子，朝上點數(shù)的和有哪幾個？學生雖在生活中較少遇到此情況，但已掌握一個骰子的知識，能夠獨立思考解決。回答為點數(shù)和2～12，共11種。教師追問，為什么不可能是1、13，以確保他們完全知曉。接著教師出示另一游戲規(guī)則：和是5、6、7、8、9，甲贏;和是2、3、4、10、11、12，乙贏。根據(jù)擲一個骰子的經(jīng)驗，你選甲還是乙？多數(shù)學生選了乙贏。然而他們的選擇并不正確，“點數(shù)種數(shù)多，贏的可能性大”的經(jīng)驗不適用于此。

因此，教師問經(jīng)驗是否可靠，并請學生利用組內(nèi)的兩個骰子開展游戲，要求在作業(yè)紙的圖上做記錄。圖為11×12的表格，末行每格的下方標有數(shù)字2～12，每次游戲的點數(shù)和是幾，就在對應(yīng)的列上涂空格，涂滿任意一列則游戲結(jié)束。板書也是亮點之一，教師記錄擲一個骰子的經(jīng)驗，畫箭頭推至擲兩個骰子，將先前經(jīng)驗寫下并畫上問號。板書與學生的思維過程相似，體現(xiàn)類比推理的應(yīng)用，也說明經(jīng)驗并不絕對，使用還需思考。通過游戲?qū)嶒?，多?shù)小組轉(zhuǎn)變了看法，認為甲贏。

此教學過程實則分為三個步驟：學生類比猜想→實驗否定猜想→生成新的猜想。_[2]學生進行類比猜想源于導入環(huán)節(jié)。這時雖有錯誤的推理結(jié)論，可其并不知曉。另外，學生新的猜想通常能在原猜想被否定后自然產(chǎn)生。

“通過實驗否定猜想”這一步驟最為關(guān)鍵。遇到較抽象的數(shù)學知識時，如本課事件的發(fā)生具有隨機性，僅依靠推理與教授確定經(jīng)驗較困難。教師可以引導學生動手實踐，如本課開展游戲，令其親歷知識的形成過程，促進對知識的認識由感性向理性轉(zhuǎn)化。此后，學生普遍能夠發(fā)現(xiàn)錯誤，加之教師言語、板書的少許引導，他們可以感知依靠已有規(guī)律推斷不一定正確，憑借的相關(guān)經(jīng)驗有待揣度，得出的結(jié)論則需被檢驗，即感知到類比推理的局限性。在有一定類比的經(jīng)驗后，學生可自行舉例類比對象，進行方案設(shè)計和實踐測量，并在實驗后表達思考過程與結(jié)果，這便為在考慮其或然性的基礎(chǔ)上發(fā)展類比推理能力。

三、說理檢驗，證類比猜想

學生轉(zhuǎn)變猜想后，教師演示計算機模擬實驗，擲兩個骰子10000次，得到條形統(tǒng)計圖，兩個骰子和是7的次數(shù)最多，朝兩端對稱遞減。學生的猜想得到一定認可。但實驗不能解釋原因，教師問擲兩個骰子什么情況下可以擲出點數(shù)和“2”，用算式表示，并追問和是“3”等數(shù)字的情況。學生得到和是2“1+1”、3“1+2 2+1”等表示結(jié)果。

類比推理可以獲得猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，但要使結(jié)論具有可靠性，還應(yīng)與演繹推理有機結(jié)合，進行猜想的驗證和結(jié)論的證明。_[3]此上的實驗環(huán)節(jié)僅能否定先前猜想，而由于樣本數(shù)量的限制無法驗證新猜想;此時請學生用算式表示點數(shù)和的情況，讓其從數(shù)理上理解特征。經(jīng)過這樣的解釋，學生對擲兩個骰子出現(xiàn)情況的理解更深刻，也使結(jié)論更具說服力。除從數(shù)理上理解外，教師也應(yīng)讓學生學會舉例驗證猜想，用反例揭示猜想中不合理的部分，逐步修正完善，以提高類比推理結(jié)論的正確性。

綜上所述，類比推理或然性的滲透需一定的教學策略，應(yīng)從課堂的導入、主要內(nèi)容的傳授等多方面設(shè)計，形成類似“類比猜想→實驗否定猜想→生成新的猜想→分析確認結(jié)論”的研究過程，在課堂上既不突兀刻意，又能令學生有所感悟。

參考文獻

[1]顧曉東.小學數(shù)學教材中的類比推理及教學策略[J].教學與管理，2015（20）：39-42.

[2]曹培英.小學數(shù)學合情推理的教學研究[J].小學數(shù)學教師，2015（Z1）：8-15.

[3]劉德宏.在小學數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的類比推理能力[J].教育探索，2016（06）：33-35.

作者簡介：張沁汝（2000.06-），女，漢族，浙江寧波人，本科在讀，浙江師范大學教師教育學院，研究方向：小學教育;第二作者：翁嘉烯（1999.12-），女，漢族，浙江寧波人，本科在讀，浙江師范大學教師教育學院，研究方向：小學教育