24階群的中心自同構(gòu)群

張新媛，趙靜，宋薔薇

山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 臨汾 041000

0 引言

群G到自身的同構(gòu)稱之為群G的自同構(gòu).G的全體自同構(gòu)組成的集合通常用Aut(G)表示.容易證明Aut(G)組成一個(gè)群,叫作G的自同構(gòu)群.設(shè)α∈Aut(G),稱α為G的中心自同構(gòu),如果對(duì)任意的g∈G都有g(shù)-1gα∈Z(G).G的全體中心自同構(gòu)組成的集合通常用AutZ(G)(G)表示.容易證明AutZ(G)(G)組成Aut(G)的一個(gè)子群,叫作群G的中心自同構(gòu)群.

許多群論學(xué)者都對(duì)有限群的中心自同構(gòu)群進(jìn)行了研究,并給出很多重要的結(jié)論.例如:Adney和Yen研究了有限群的中心自同構(gòu)群的階[1].Sanders完全確定了一般p群的中心自同構(gòu)群的階[2].Jafari給出了一般有限純非交換p群的中心自同構(gòu)群是初等交換群的充要條件[3].后來(lái),Jafari和Jamali又完全確定了非純的非交換群的中心自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)[4].本文將給出24階非交換群的中心自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu).

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]稱G是純非交換群,如果非交換群G沒有非平凡的交換的直積因子.顯然,對(duì)于非交換p群G而言,如果Z(G)循環(huán)或者Z(G)≤Φ(G),那么G是純非交換p群.

定義2[5]設(shè)H是有限群,K是有限交換群.記H到K的所有同態(tài)構(gòu)成的集合為Hom(H，K).容易驗(yàn)證Hom(H，K)關(guān)于如下定義的乘法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)交換群：

fg(h)=f(h)g(h)f,g∈Hom(H，K)h∈H

引理1[1]設(shè)G是純非交換群，則|AutZ(G)(G)|=|Hom(G/G′,Z(G))|.

引理2[4]設(shè)G=H×K,其中H,K≤G.若H是交換群，K是純非交換群,則

|AutZ(G)(G)|=|Aut(H)||AutZ(K)(K)||T||U|

引理3[5]設(shè)A,C,U是交換群，則

(1)Hom(Cm,Cn)?Cd,d=gcd(m,n);

(2)Hom(A×C,U)?Hom(A,C)×Hom(A,U).

引理4[6]設(shè)G是有限群,Z(G)≤G′，則AutZ(G)(G)?Hom(G/G′,Z(G)).

2 主要結(jié)果

交換群的中心自同構(gòu)等于它的自同構(gòu)群，所以本文我們僅研究24非交換群的中心自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu).

證明 注意到G是極大類群.由文獻(xiàn)[7,定理2.5.2]知Z(G)≤G′.從而由引理4可得AutZ(G)(G)?Hom(G/G′，Z(G)).又因?yàn)镚是極大類群,所以Z(G)?C2,G/G′?C2×C2.根據(jù)引理3可知,

Hom(G/G′,Z(G))?Hom(C2×C2,C2)?Hom(C2,C2)×Hom(C2,C2)?C2×C2

定理2 設(shè)G是24階內(nèi)交換群，則

證明 由于G是內(nèi)交換群，因此由文獻(xiàn)[7,定理2.3.7]知G?M2(2,2)，M2(3，1)，M2(2,1，1)之一，再由文獻(xiàn)[8,引理3.3,3.6]即可得結(jié)論.

定理3 設(shè)G是24階非極大類,非內(nèi)交換的非交換群，則

其中,α1α3=α1,α2α3=α2,α4α3=α4α1，α5α3=α5α2(SmallGroup(32,27)).

證明 (1)當(dāng)G?D8*C4時(shí)，由于Z(G)循環(huán)，因此G是純非交換群.進(jìn)而，由引理1可知

(2)令G=H×〈c〉,其中H?Q8或D8，〈c〉?C2.不失一般性設(shè)

H=〈a,b|a4=1,b2=a2,[a,b]=a2〉?Q8或H=〈a,b|a4=1,b2=1,[a,b]=a2〉?D8

首先我們來(lái)證明|AutZ(G)(G)|=25.計(jì)算知,Z(G)=Z(H)×C2=〈a2〉×〈c〉.因?yàn)镠′=〈a2〉,所以H/H′?C2×C2.

1)傳感器類設(shè)計(jì)。圖2是傳感器類的邏輯結(jié)構(gòu)，傳感器對(duì)象依靠傳感器號(hào)來(lái)唯一標(biāo)識(shí)。這些屬性都是用戶可以通過觸摸屏來(lái)進(jìn)行設(shè)置的。在數(shù)據(jù)采集中，系統(tǒng)根據(jù)傳感器對(duì)象的采集節(jié)點(diǎn)號(hào)和通道來(lái)讀取MODBUS采集到的數(shù)據(jù)。讀取到數(shù)據(jù)后，系統(tǒng)根據(jù)傳感器對(duì)象的屬性，來(lái)對(duì)采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，將其轉(zhuǎn)換成最終數(shù)據(jù)。在系統(tǒng)中，傳感器屬性可以選擇為模擬量、狀態(tài)量、數(shù)字量、頻率量。其中，模擬量可根據(jù)設(shè)置最大值、最小值以及輸入電壓范圍進(jìn)行補(bǔ)償；數(shù)字量及頻率量可以通過補(bǔ)償公式進(jìn)行補(bǔ)償。

注意到Z(H)?C2.進(jìn)而由引理3可知Hom=(〈c〉,Z(H))?Hom(C2,C2)?C2Hom(H/H′,〈c〉)?Hom(C2×C2,C2)?C2×C2

令T={σf|f∈Hom(〈c〉,Z(H))},U={σf|f∈Hom(H/H′,〈c〉)},則

|T|=|Hom(〈c〉，Z(H))|=2 |U|=|Hom(H/H′,〈c〉)|=22

進(jìn)而,由引理2可得

|AutZ(G)(G)|=|Aut(〈c〉)||AutZ(H)(H)||T||U|=25

令

由于

o(aαi)=o(a) (bαi)2=(aαi)2o(cαi)=o(c)

且

[aαi,bαi]=(aαi)2[aαi,cαi]=[bαi,cαi]=1

因此αi∈Aut(G),其中i=1,2,3,4,5.下證αi∈AutZ(G)(G).

任取g∈G,不失一般性可設(shè)g=aibjck.此時(shí),計(jì)算知

g-1gα1=(aibjck)-1(aibjck)α1=c-kb-ja-ia3ibjck=a2i∈Z(G)

類似地可得,g-1gαi∈Z(G),其中i=2,3,4,5.故αi∈AutZ(G)(G),i=1,2,3,4,5.因此,〈α1，α2，α3，α4，α5〉≤AutZ(G)(G).

下面我們來(lái)證明|〈α1，α2，α3，α4，α5〉|=25.

容易知道,o(α1)=o(α2)=o(α3)=o(α4)=o(α5)=2.接下來(lái),由于

aαiαj=aαjαibαiαj=bαjαicαiαj=cαjαi,

其中，i∈{1,2,4},j∈{2,3,4,5} 且i

故|〈α1，α2，α3，α4，α5〉|=25.