數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用

倪雙云 李國賢 梁沛繁

摘 要：近年來，教育改革的發(fā)展越來越重視對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力和專業(yè)能力的培養(yǎng)。新課標(biāo)要求教師要?jiǎng)?chuàng)新自己的教學(xué)模式，從學(xué)生的角度進(jìn)行教學(xué)，真正地提高學(xué)生的邏輯能力。數(shù)學(xué)是一門重要的學(xué)科，需要學(xué)生有足夠的分析能力和總結(jié)問題的能力，讓他們可以全面掌握復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)。數(shù)學(xué)歸納法是解決數(shù)學(xué)問題十分關(guān)鍵的一種方法，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著重要的意義。本文分析了數(shù)學(xué)歸納法的概念，并總結(jié)了歸納法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法;應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法;應(yīng)用

數(shù)學(xué)歸納法是應(yīng)用十分廣泛的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，在不等式證明、數(shù)列通項(xiàng)以及其他證明題目中都有涉及。數(shù)學(xué)歸納法是一種邏輯推理的方法，可以將歸納原理和學(xué)生的邏輯思維能力結(jié)合，不僅在證明題目中有涉及，在其他的數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)應(yīng)用也十分廣泛[1]。在解題過程中運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，不僅可以降低題目的難度，簡(jiǎn)化計(jì)算的過程，還可以讓學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。

一、數(shù)學(xué)歸納法的概念

數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)證明方法的一種，可以證明許多既定命題在自然數(shù)的范圍內(nèi)是否成立，且在數(shù)學(xué)的各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域中都有涉及。除自然數(shù)外，數(shù)學(xué)歸納法也可以證明一般良基結(jié)構(gòu)[3]。數(shù)學(xué)歸納法在應(yīng)用中十分靈活，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

最常見的數(shù)學(xué)歸納法是證明當(dāng)n等于任意一個(gè)自然數(shù)時(shí)某命題成立。證明當(dāng)n=1時(shí)命題成立。假設(shè)n=m時(shí)命題成立，那么可以推導(dǎo)出在n=m+1時(shí)命題也成立。這種方式的原理是首先要證明在某個(gè)起點(diǎn)數(shù)值時(shí)命題成立，然后證明數(shù)值的過程。當(dāng)這兩點(diǎn)都得到證明以后，那么任意的數(shù)值都可以通過數(shù)學(xué)歸納法得出結(jié)論。

二、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

（一）數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)歸納法在證明題目中運(yùn)用十分廣泛，在解決題目時(shí)要主動(dòng)利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行思考。用數(shù)學(xué)歸納法證明：（3n+1）×7n -1（n∈N*）可以被9整除。我們可以用兩種方法進(jìn)行證明。第一種方法，令f（1）=（3n+1）×7n-1（n∈N*），（1）f（1）=（3×1+1）×7l-1=27 能被9整除。（2）假設(shè)f（k）（n∈N*）能被9整除，所以f（k+1）- f（k）= [（3k+4）×7k+1-1]-[（3k+1）×7k-1]=9（2k+3）×7k。所以，f（k+1）=f（k）+ 9（2k+3）×7k能被9整除。從這兩個(gè)推理結(jié)果可以知道，對(duì)一切n∈N*，命題都是成立的。第二種方法，（1）n=1，原式=4×7-1=27可以被9整除（2）若n=k（k≥1，k∈N*），（3k+1）×7*-1可以被9整除，所以n=k+1時(shí)，[3（k+1）+1]×7k+1-1=[（3k+1）+3]（1+6）×7k-1=（3k+1）×7k-1+（3k+1）×6×7k +21×7k=[（3k+1）×7k-1]+18k×7k +27×7k。所以，n=k+1時(shí)也可以整除。從我們的計(jì)算中國可以得出，對(duì)任何n∈N*，（3n+1）×7n-1可以被9整除。通過利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明整除性問題，我們要進(jìn)行湊項(xiàng)，通過增加項(xiàng)與減少項(xiàng)、拆分項(xiàng)和因式分解等方式去拼湊出n=k的項(xiàng)，從而利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行題目的計(jì)算，使設(shè)想得到證明。通過在數(shù)列中運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以加深印象，了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

（二）數(shù)學(xué)歸納法在不等式中的應(yīng)用

三、結(jié)語

綜上所述，數(shù)學(xué)歸納法不僅是數(shù)學(xué)證明題中的解決方法，還是掌握數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)規(guī)律的重要方法。教師通過數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行教學(xué)，可以引導(dǎo)學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題，從根部掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提高自身解決問題的能力。同時(shí)教師應(yīng)該對(duì)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行研究，分析總結(jié)出適合利用數(shù)學(xué)歸納法的題型，探究數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)，讓學(xué)生能夠更好地掌握數(shù)學(xué)歸納法，高效率地解決數(shù)學(xué)問題。

參考文獻(xiàn)

[1]淮旭鴿，鄧仕超，李彩林，王偉強(qiáng)，莊未，黃用華.數(shù)學(xué)歸納法在平面機(jī)構(gòu)自由度公式中的應(yīng)用[J].智庫時(shí)代，2018（40）：111-113.

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