“創(chuàng)新?運算素養(yǎng)”視角下一道初三數(shù)學題的深入探究

馬向玲

摘要：二次函數(shù)壓軸題是歷年中考的熱點與難點，其中動點與幾何圖形結(jié)合的最值問題?存在性問題，知識覆蓋面廣，綜合性強，構(gòu)思精巧，解題方法靈活，對學生分析問題和解決問題的能力要求較高，是近幾年中考的熱點。最值問題解決策略是建立函數(shù)模型，根據(jù)自變量范圍求解最值;存在性問題解決的一般思路：假設(shè)存在→推理論證→得出結(jié)論，解決此類問題策略是化動為靜，化大為小，逐一解決的過程。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)? 最值問題? 存在性問題

函數(shù)是中學數(shù)學中相當重要的一部分內(nèi)容，其中求函數(shù)的最值問題和存在性問題是一個重點，但由于函數(shù)形式的多樣性和復(fù)雜性，如何求解函數(shù)的存在性問題又是中學生學習的一個難點。因此關(guān)于此項內(nèi)容的研究一直就是本學科的一個重點內(nèi)容。

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011）版》提出10個數(shù)學核心素養(yǎng)，包括符號意識，數(shù)感，幾何直觀，運算能力，推理能力，數(shù)據(jù)分析觀念，空間觀念，模型思想，應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。在數(shù)學教學中，一題多解，變式訓練都是培養(yǎng)學生創(chuàng)新素養(yǎng)的方式。本文著重討論一個典型的二次函數(shù)最值和存在性問題，通過變式訓練?邏輯歸納和靈活運算，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新?運算素養(yǎng)，達到綜合提升學生的數(shù)學學科素養(yǎng)的目標。

一?中考解讀

二次函數(shù)是中考必考內(nèi)容，難度高，綜合性強，既可以與代數(shù)知識相結(jié)合，又可以與幾何知識相結(jié)合，與幾何相關(guān)的二次函數(shù)最值和存在性問題更是重中之重，該類存在性問題主要有線段存在性?面積存在性?特殊三角形存在性?相似三角形存在性?特殊四邊形存在性和角的存在性等問題，在這里精選典型例題有選擇地針對某些方面進行深入探究。

二?典例分析

題目：如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（4，0），B（-1，0）兩點與y軸交于點C，動點P在拋物線上.①求拋物線的解析式;②若點P是第一象限拋物線上一動點，過P作X軸的垂線，垂足為點E，交直線AC于點F，當線段PF有最大值時，求點P的坐標，并求出線段PF的最大值。③是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在，說明理由.

分析如下：①待定系數(shù)法求解析式。將已知點A（4，0），B（-1，0）坐標帶入拋物線y=-x²+bx+c，得到關(guān)于b，c的二元一次方程組，解方程組得到b，c的值，從而得到拋物線解析式y(tǒng)=-x²+3x+4;②由（1）得點C（0，4），再由點A（4，0），待定系數(shù)法求得直線AC解析式，根據(jù)拋物線解析式y(tǒng)=-x²+3x+4，設(shè)點P（x，-x²+3x+4），，點F（x，-x+4），根據(jù)題意PF=（-x²+3x+4）-（-x+4）=-x²+4x=-（x-2）² +4（0≤x≤4），當x=2時，PF最大值=4，則P（2，6）

挖掘變式1：當點P是拋物線上任意一點時，過P作X軸的垂線，垂足為點E，交直線AC于點F，當線段PF有最大值時，求點P的坐標，并求出線段PF的最值？

分類討論：設(shè)點P（x，-x²+3x+4），，點F（x，-x+4）;當點P在點F上方時，PF=（-x²+3x+4）-（-x+4）=-x²+4x=-（x-2）² +4（0≤x≤4）;當x=2時，PF最大值=4;當點P在點F下方時，PF=（-x+4）-（-x²+3x+4）=x²-4x=（x-2）² -4;當x=2時，PF最小值=-4，挖掘變式2：對稱軸上一動點P到點C，B的距離之和最短。求點P的坐標？（最短路徑解決）（3）存在.

方法一：第一種情況，當以點C為直角頂點時，過點C作CP₁垂直AC，交拋物線于點P_1.過點P₁作y軸的垂線，垂足是M，∵∠ACP₁=90⁰，∴∠MCP+∠ACO=90⁰，∵∠ACO+∠OAC=90⁰ ，∴∠MCP₁=∠OAC，∵OA=OC=4，∴∠MCP₁=∠OAC=45⁰，∴∠MCP₁=∠MP₁C，MC=MP₁，設(shè)P（m，-m²+3m+4），則m=-m²+3m+4-4，解得m₁=0（舍去），m₂=2，∴m=2，此時-m²+3m+4=6，即p₁的坐標是（2，6）

第二種情況，當點A為直角頂點時，過點A作AP₂⊥AC交拋物線于點p_2，過點P₂作y軸的垂線，垂足是N，AP交y軸于點F，則P₂N平行x軸.∵∠CAO=45^0，∴∠OAP₂=45^.，AO=OF，∴P₂N=NF，設(shè)P₂（n，-n²+3n+4），

則-n+4=-（-n²+3n+4），解得：n₁=-2，n₂=4（舍去），∴n=-2，此時-n²+3n+4=-6，即P₂的坐標是（-2，-6），綜上所述：P的坐標是（2，6）或（-2，-6）此方法用分類討論的數(shù)學思想，通過作垂線，借助已知條件，構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形兩邊相等特質(zhì)建立方程模型解決問題。這是學生常用的方法，在這里對學生思路的啟發(fā)是重點。

方法二：直線AC解析式：y=-x+4，∵AC為直角三角形的直角邊，則設(shè)另一條直角邊PC為：y=x+k，過點C（0，4）;即直線PC：y=x+4，又點P既在直線AC上，又在拋物線上聯(lián)立方程組：，解得x=0（舍去）， x=2即p（2，6），同理直線PA：y=x-4與拋物線解析式聯(lián)立方程組，求解得P（-2，-6），綜上所述：P的坐標是（2，6）或（-2，-6），此方法在明確一次函數(shù)和二次函數(shù)與方程的關(guān)系的基礎(chǔ)上，建立方程組模型解決問題。該方法思路簡單，直接明了，重在計算。

挖掘變式3：拋物線上是否存在點P，滿足三角形PCA是直角三角形？存在，求點P坐標;不存在，請說明理由。

挖掘變式4：拋物線上是否存在點P，滿足三角形PCA是等腰三角形？存在，求點P坐標;不存在，請說明理由。

三?思考總結(jié)

通過對這道二次函數(shù)重點題型的最值和存在性問題的深入剖析，充分挖掘，歸納方法：二次函數(shù)最值問題解決方法是可以建立二次函數(shù)模型，根據(jù)自變量的取值范圍輕松求解;二次函數(shù)存在性問題解決的一般思路是“假設(shè)存在→推理論證→得出結(jié)論”，解決此類問題策略是化動為靜，化大為小，逐一解決的過程。

通過對這道二次函數(shù)重點題型的最值和存在性問題的一步步探索，使學生親身經(jīng)歷探索知識和函數(shù)建模的思維過程。通過數(shù)形結(jié)合?分類討論思想地洗禮，使學生解題的思維靈活性與深刻性得到深刻的鍛煉，使學生的數(shù)學創(chuàng)新素養(yǎng)與運算素養(yǎng)得到無形的提升。

二次函數(shù)是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是初高中數(shù)學知識銜接的重要內(nèi)容，二次函數(shù)已經(jīng)成為中考命題的重頭戲。尤其是這些以二次函數(shù)為背景的動點最值問題?存在性問題，它融合了一次函數(shù)?平面幾何等知識點，綜合性較強，區(qū)分度高，受到命題組的一致青睞。因此通過典例訓練，能夠培養(yǎng)學生的數(shù)學能力，提高學生數(shù)學成績，提升學生創(chuàng)新素養(yǎng)和運算素養(yǎng)，提升學生整體數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

參考文獻：

（1）王真.二次函數(shù)壓軸題解題策略.中考數(shù)學試題研究.[J]，2018（02）

（2）李遠翠，潘亦寧，李玥.二次函數(shù)動點存在性問題的破解策略[J].中學數(shù)學教學參考，2016（1）