張 忠
(福建省福安市第一中學(xué) 355000)
數(shù)形結(jié)合技巧是解答一些相應(yīng)的填空題中非常有效的一類方法,破解的基本思維就是利用題目條件,建立對(duì)應(yīng)的圖形、圖象,借助圖形或圖象的直觀性,利用圖形或圖象的形象以及數(shù)量的關(guān)系來(lái)合理轉(zhuǎn)化,巧妙破解.數(shù)形結(jié)合法處理時(shí),直觀形象,簡(jiǎn)捷有效,是破解小題中的一大常見(jiàn)思維,在數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位.
破解一些函數(shù)的填空題時(shí),直接聯(lián)系函數(shù)圖象,通過(guò)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的分析,結(jié)合相應(yīng)的圖象,對(duì)相應(yīng)的函數(shù)或方程問(wèn)題加以轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題,數(shù)形結(jié)合,根據(jù)題意條件,結(jié)合性質(zhì)簡(jiǎn)捷分析與求解.
例1已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x,那么在區(qū)間[-1,3]內(nèi),關(guān)于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R且k≠-1,k≠0)的根的個(gè)數(shù)最少有____個(gè),最多有____個(gè).
分析直接確定相應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)無(wú)從下手,而通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)作出相應(yīng)的函數(shù)圖象,利用直線的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合來(lái)處理相應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題.
解析先作出x∈[0,1]時(shí),f(x)=x的函數(shù)圖象,根據(jù)f(x)是以2為周期的偶函數(shù),作出在區(qū)間[-1,3]內(nèi)的圖象,而由于直線y=kx+k+1過(guò)點(diǎn)(-1,1)的一簇直線,結(jié)合y=f(x)的圖象(如下圖),易知相應(yīng)的方程的根的個(gè)數(shù)最少有1個(gè),圖中上面的那條直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況;最多有4個(gè),圖中下面的那條直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況,
故分別填答案:1,4.
圖1
點(diǎn)評(píng)抓住函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,同時(shí)要相應(yīng)直線所表示的是一簇直線,利用一簇直線的變化,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問(wèn)題.通過(guò)方程中的相關(guān)問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)來(lái)處理,結(jié)合方程與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系作出相應(yīng)的圖象,達(dá)到求解的目的.
涉及一些三角形、圓等幾何問(wèn)題時(shí),若有效借助數(shù)形結(jié)合,根據(jù)數(shù)中思形,以形助數(shù),可以直觀有效地加以轉(zhuǎn)化,合理構(gòu)建關(guān)系,正確破解相應(yīng)問(wèn)題.
分析根據(jù)曲線的實(shí)質(zhì),把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與雙曲線的一部分之間有一個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題,利用數(shù)形結(jié)合加以直觀化,從而形象直觀,簡(jiǎn)捷處理.
圖2
點(diǎn)評(píng)抓住題目條件中直線與曲線的本質(zhì),回歸圖象原型,正確畫圖,準(zhǔn)確直觀,利用直線與曲線的圖象的交點(diǎn)情況加以正確解決,從而合理破解相應(yīng)的解析幾何問(wèn)題.
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是三角函數(shù)的重要部分,借助三角函數(shù)圖象與性質(zhì)來(lái)處理問(wèn)題,模型熟悉,直觀快捷.
分析通過(guò)條件中輔助角公式的應(yīng)用,借助正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以數(shù)形結(jié)合,從而直觀確定方程的解的和問(wèn)題.
圖3
點(diǎn)評(píng)結(jié)合三角函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合,正確判斷出對(duì)應(yīng)的方程的解的對(duì)稱情況,從而得以直觀確定兩個(gè)角的和的值,直觀形象,快速處理.
對(duì)于一些含有不等式背景的填空題,通過(guò)平面區(qū)域等關(guān)系知識(shí)的轉(zhuǎn)化,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合,往往能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理,大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.
例4設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x2+(y-1)2=1,若對(duì)于滿足條件的x,y,x+y+c≥0恒成立,則實(shí)數(shù)c的取值范圍為_(kāi)___.
分析結(jié)合題目條件,把對(duì)應(yīng)不等式中的恒成立問(wèn)題求解參數(shù)的值,轉(zhuǎn)化為直線和圓的位置關(guān)系,通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)處理相應(yīng)的參數(shù)的取值問(wèn)題.
圖4
點(diǎn)評(píng):抓住不等式恒成立與平面區(qū)域之間的關(guān)系是破解問(wèn)題的關(guān)鍵所在.合理借助圖象直觀,數(shù)形結(jié)合,可以把不等式恒成立問(wèn)題直觀化,形象化,從而實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的巧妙應(yīng)用.
當(dāng)然,數(shù)形結(jié)合技巧只是解答填空題的一種特殊的策略,有時(shí)還要多種方法并重,與其他的破解方法加以組合,共同形成合力,進(jìn)而快速有效地破解填空題,實(shí)現(xiàn)小題不大做,小題巧解,小題妙算,小題直觀形象處理.