自中心化子群對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響

孫雨晴，盧家寬

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541006)

設(shè)G是有限群，H是G的子群，若CG(H)≤H，則稱H是G的自中心化子群。由于G本身是G的自中心化子群，故任何群都有自中心化子群。在文獻(xiàn)[1]中，可以看到某些子群的中心化子對(duì)有限群的結(jié)構(gòu)有很強(qiáng)的控制作用，自然想到能否通過(guò)自中心化子群的相關(guān)性質(zhì)來(lái)刻畫有限群的結(jié)構(gòu)？答案是肯定的。例如：Mahmoud等[2]研究了自中心化子群都是正規(guī)子群的有限群，并得到了一些結(jié)果；Aivazidis等[3]研究了極大交換正規(guī)子群都是自中心化子群的有限群。另一方面，通過(guò)有限群的特殊子群的共軛類個(gè)數(shù)來(lái)刻畫群結(jié)構(gòu)，亦是群論研究者感興趣的課題，例如：Belonogov[4]研究了極大子群的共軛類個(gè)數(shù)為3的有限群，并給出了非正規(guī)極大子群的共軛類個(gè)數(shù)不超過(guò)2的有限群的結(jié)構(gòu)；周志浩等[5]對(duì)非交換子群共軛類個(gè)數(shù)為2的有限群進(jìn)行了完全分類。鐘祥貴等[6]研究了非次正規(guī)子群共軛類數(shù)對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響，并得到一些結(jié)果。相關(guān)的研究還有很多，并都取得了較好的結(jié)果，具體參考文獻(xiàn)[7-9]。本文沿著上述研究，討論自中心化子群都是C-正規(guī)子群的有限群，以及自中心化子群的共軛類個(gè)數(shù)對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響。

設(shè)G是有限群，F(xiàn)(G)是G的Fitting子群，F(xiàn)1(G)=F(G),F2(G)/F1(G)=F(G/F1(G))。一般地，F(xiàn)k+1(G)/Fk(G)=F(G/Fk(G)),k=1,2,…。于是得G的一個(gè)特征子群列1≤F1(G)=F(G)≤F2(G)≤…≤Fk(G)≤…。因?yàn)镚是有限群，該特征子群列只能有有限項(xiàng)。若G不可解，則一定存在正整數(shù)k,使得Fk(G)=Fk+1(G)

1≤F1(G)=F(G)≤F2(G)≤…≤Fn(G)=G。

此時(shí)稱n為G的Fitting長(zhǎng)或Fitting高，記為nl(G)。

有限群G到G的映射

φ：g→gφ，

稱為G的一個(gè)算子，如果對(duì)于任意x,y∈G。有(xy)φ=xy。G的某些算子組成的集合稱為G的一個(gè)算子集，算子集常記作Ω。帶有算子的群稱為算子群，亦稱帶算群或稱Ω群。對(duì)任意的a∈Ω,h∈H，有hα∈H，則稱H是G的Ω容許子群。

設(shè)η可是H到Aut(G)內(nèi)的一個(gè)同態(tài)映射，對(duì)任意g∈G,規(guī)定gh=gη(h)。若A≤G，對(duì)?h∈H,Ah?A,則稱A是G的H-不變子群，也稱A是H-算子群。設(shè)X和Y是H-算子群，若存在X到Y(jié)的同構(gòu)ψ使得(xh)ψ=(xψ)h，則稱X和Y是H-同構(gòu)的。令集合

稱集合Λ中的極大元素為A的極大H-容許子群，稱集合Λ中的極小元素(≠1)為A的極小H-容許子群。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[2]設(shè)G是有限群，若G的自中心化子群都是G的正規(guī)子群，則稱G是SCN-群。

引理1[2]設(shè)G是有限群。則G是SCN-群當(dāng)且僅當(dāng)G冪零且冪零類c(G)≤2。

引理2設(shè)G是有限群，則G的極大交換子群是自中心化子群。

引理3設(shè)G是有限群，則G的非正規(guī)極大子群是自中心化子群。

引理4[4]設(shè)G是有限群，若G的非正規(guī)極大子群的共軛類個(gè)數(shù)不超過(guò)2,則G可解。

引理5[4]設(shè)G為有限群，則下述事項(xiàng)等價(jià)：

①G恰有一個(gè)非正規(guī)極大子群的共軛類；

引理6[4]設(shè)G為有限群，則下述事項(xiàng)等價(jià)：

①G恰有2個(gè)非正規(guī)極大子群的共軛類；

定義2[10]設(shè)G是有限群，H≤G。若存在G的正規(guī)子群N,使得G=HN且H∩N≤HG,則稱H是G的C-正規(guī)子群，其中HG是G的包含在H中的極大正規(guī)子群。

引理7[10]設(shè)G是群，則：

① 若H在G中正規(guī)，則H在G中C-正規(guī)；

② 若H在G中C-正規(guī)，H≤K≤G,則H在K中C-正規(guī)；

引理8[10]設(shè)G是有限群，則G可解當(dāng)且僅當(dāng)G的極大子群都在G中C-正規(guī)。

引理9[10]設(shè)G是有限群，則G可解當(dāng)且僅當(dāng)G存在可解的C-正規(guī)的極大子群。

定義3[11]設(shè)G是有限群，若G的子群都在G中C-正規(guī)，則稱G是CN-群。

引理10[11]設(shè)G是有限群，如果G是CN-群，那么G是超可解群，且以下條件等價(jià)：

①G是CN-群；

②G可解且C-正規(guī)性在G中傳遞。

引理11[12]設(shè)G是有限群，M、N是G的2個(gè)不同的極小正規(guī)子群，則：

① nl(G)≤max{nl(M),nl(N)};

② 若N≤Φ(G),則nl(G) =nl(G/N)。

引理12[13]設(shè)G是有限群，F(xiàn)(G)是G的Fitting子群，若G可解，則CG(F(G))≤F(G),即F(G)是自中心化子群。

引理13[13]設(shè)G是有限群，P∈Sylp(G)。若NG(P)=CG(P)，則G是p-冪零群。

引理14[13]有限群G是冪零群當(dāng)且僅當(dāng)G的極大子群是正規(guī)子群。

引理15[13]設(shè)G是有限群，H是G的子群。則H的共軛子群的個(gè)數(shù)為|G∶NG(H)|。

引理16[13]設(shè)G是有限群，H

定義4[14]① 設(shè)G是有限群，H≤G,若存在K≤G使得G=HK且H∩K≤HG,稱H是G的C-可補(bǔ)子群，或H在G中C-可補(bǔ)。

② 設(shè)G是有限群，若G的子群都在G中C-可補(bǔ)，稱G是C-可補(bǔ)群。

顯然，C-正規(guī)子群一定是C-可補(bǔ)子群，CN-群一定是C-可補(bǔ)群。

引理17[14]設(shè)G是有限群，Gμ是G的超可解剩余。若Gμ的素?cái)?shù)階子群和4階循環(huán)子群在G中C-可補(bǔ)，則G超可解。

引理18[15]若群G的每個(gè)Sylow子群的極大子群是C-正規(guī)的，則G為超可解群。

引理19[15]設(shè)H為有限群G的極大子群。若H冪零，且H的Sylow 2-群的冪零類不超過(guò)2,則G可解。

引理20[15]有限群G是冪零群當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任一素?cái)?shù)p||G|,G都是p-冪零群。

引理21[16]設(shè)G是有限非交換p-群。則G的交換極大子群的個(gè)數(shù)為0,1或1+p。

引理22[17]設(shè)G是有限群。若G恰有2個(gè)極大子群共軛類，則G只有2種可能：

①G只有2個(gè)極大子群，且都正規(guī)，此時(shí)G為pαqβ階循環(huán)群；

②G有一個(gè)極大子群正規(guī)，另一類極大子群不正規(guī)的pαqβ群。

引理23[18]設(shè)G是有限群。若G是非冪零的擬NC-群，則G的Sylow子群都是交換群。

引理24[19]設(shè)G是有限群，K是G的交換正規(guī)Hall子群，則K在G中有補(bǔ)，且K的補(bǔ)群都共軛。

引理25[20]設(shè)G是內(nèi)交換群，則G有下列互不同構(gòu)的類型：

1)當(dāng)G為冪零群時(shí)，G必為q-群。

①四元數(shù)群：q=2,G=Q8=〈a,b|a4=1,b2=a2,ba=a-1b〉。

②亞循環(huán)群：G=Mn,m,q=〈a,b|aqn=bqm=1,ab=a1+qn-1〉，其中n≥2,m≥1。

③非亞循環(huán)群：G=Nn,m,q=〈a,b,c|aqn=bqm=cq=1,[a,b]=c,[c,a]=[c,b]=1〉,其中n≥1,m≥1,并且當(dāng)q=2時(shí)，m+n≥3。

2 有限SCCN-群

定義6設(shè)G是有限群，若G的自中心化子群都是G的C-正規(guī)子群，稱G是有限SCCN-群。顯然，CN-群和SCN-群是SCCN-群。

定理1設(shè)G是SCCN-群，則：

②G是可解群，反之，若有限群G可解，且C-正規(guī)性在G中傳遞，則G是有限SCCN-群；

③ 若Φ(G)≠1,則nl(G)≤2。

證明① 令N≤H≤G且H/N是G/N的自中心化子群，則有

CG(H)/N≤CG/N(H/N)≤H/N,

因此CG(H)≤H，故H是G的自中心化子群。由于G是SCCN-群，故H在G中C-正規(guī)。由引理7③知H/N在G/N中C-正規(guī)。再根據(jù)H的任意性知G/N的自中心化子群都在G/N中C-正規(guī)，故G/N是有限SCCN-群。

若N是G的自中心化子群，對(duì)任意N≤H≤G，由

CG(H)≤CG(N)≤N≤H,

知H是G的自中心化子群，故H在G中C-正規(guī)。由引理7③知H/N在G/N中C-正規(guī)，再根據(jù)H的任意性知G/N的子群都在G/N中C-正規(guī)，即G/N是CN-群。

② 設(shè)G是SCCN-群，若G是素?cái)?shù)階群或G=1,則G可解。下面考慮G是非素?cái)?shù)階群，且G≠1。

任取G的極大子群M，則M≠1且M≤NG(M)≤G。由M的極大性知

M=NG(M)或NG(M)=G。

若M=NG(M)，則CG(M)≤NG(M)=M，即M是G的自中心化子群，由G是有限SCCN-群知M在G中C-正規(guī)。

由M的任意性，當(dāng)G是非素?cái)?shù)階群，且G≠1時(shí)，G的極大子群都在G中C-正規(guī)。由引理8知G可解。

反之，若有限群G可解，且C-正規(guī)性在G中傳遞，由引理10②知G是CN-群，故G是SCCN-群。

③若G有2個(gè)不同的極小正規(guī)子群M和N,由①知G/M和G/N都是有限SCCN-群。由歸納法知

nl(G/M)≤2,nl(G/N)≤2,

由引理11①知

nl(G)=max{nl(G/M),nl(G/N)}≤2。

若G只有一個(gè)極小正規(guī)子群N,由于Φ(G)≠1,由歸納法知nl(G/Φ(G))≤2,故由引理11②知nl(G)=nl(G/Φ(G))≤2。證畢。

定理2設(shè)G是有限群，若G存在極大子群M，使得M的自中心化子群都在G中C-正規(guī)，則G可解。

證明若M=1,此時(shí)G為素?cái)?shù)階循環(huán)群，當(dāng)然可解。下設(shè)存在M≠1。

因?yàn)镸的自中心化子群在G中C-正規(guī)，由引理7②知M的自中心化子群都在M中C-正規(guī)，即M是SCCN-群，由定理1②知M可解。

推論1設(shè)G是有限群，若G的所有極大子群的自中心化子群都在G中C-正規(guī)，則G可解。

定理3設(shè)G是SCCN-群，|G|>1。若F(G)∩G′的素?cái)?shù)階子群和4階子群在G中C-正規(guī)，則G超可解。

推論2設(shè)G是SCCN-群，若F(G)∩G′的極小子群和4階循環(huán)子群在G中C-正規(guī)，則G超可解。

3 自中心化子群的共軛類個(gè)數(shù)對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響

為方便起見，記G的極大交換子群的共軛類個(gè)數(shù)為m(G)。

引理26設(shè)G是有限群，則r(G)≥1。

證明由于G本身是G的自中心化子群，故r(G)≥1。證畢。

定理4設(shè)G是有限群，則r(G)=1當(dāng)且僅當(dāng)G是交換群。

證明設(shè)G是交換群，若H是G的自中心化子群，則有

G≤CG(H)≤H,

即H=G,于是得G的自中心化子群只有G本身，即r(G)=1。

反之，任取g∈G,由〈g〉≤CG(g)和CG(CG(g))≤CG(g)，可知CG(g)是G的自中心化子群。又由r(G)=1知G的自中心化子群只有G本身，故CG(g)=G,故g∈Z(G)。由g的任意性知G=Z(G),即G是交換群。證畢。

引理27設(shè)G是有限非交換群，則G的極大交換子群的共軛類個(gè)數(shù)至少為2。

證明假設(shè)G的任二極大交換子群共軛，任取H是G的極大交換子群，由引理16得

因此，若G是有限非交換群，G的極大交換子群的共軛類個(gè)數(shù)至少為2。證畢。

推論3設(shè)G是有限群，則m(G)=1當(dāng)且僅當(dāng)G是交換群。若G是有限非交換群，則m(G)≥2。

定理5不存在恰含2個(gè)自中心化子群共軛類的有限群。

證明設(shè)G恰好含2個(gè)自中心化子群共軛類。若G是有限交換群，由引理27知r(G)=1。

若G是有限非交換群，由引理27知G的極大交換子群的共軛類個(gè)數(shù)至少為2,而極大交換子群是自中心化子群，G本身也是G的自中心化子群，故此時(shí)G的自中心化子群的共軛類至少為3。

因此，不存在恰含2個(gè)自中心化子群共軛類的有限群。證畢。

引理28設(shè)G是有限群。若r(G)=m(G) + 1,則G可解。

證明易知G是有限非交換群。設(shè)H1,…，Hs是G的所有極大交換子群的共軛類代表，由r(G)=m(G)+1,可知H1,…，Hs恰好是G的所有真自中心化子群的共軛類代表。

若G中的極大子群都正規(guī)，則G是冪零群，必為可解群。

若G中存在非正規(guī)的極大子群M，由引理3知M是自中心化子群，故M必與某個(gè)Hi(1≤i≤s)共軛，這樣G中存在交換的極大子群，由引理19知G可解。證畢。

定理6設(shè)G是有限群。若r(G)≤5,則G可解。

證明由引理26和定理5可知，只需考慮r(G)=1,3,4,5的情形。

① 當(dāng)r(G)=1時(shí)，由引理27知G是交換群，故G可解。

② 當(dāng)r(G)=3時(shí)，由引理27知此時(shí)G的極大交換子群的共軛類個(gè)數(shù)為2,故由引理28知G可解。

③ 當(dāng)r(G)=4時(shí)，G的極大交換子群的共軛類個(gè)數(shù)為2或3。

若G的極大交換子群的共軛類個(gè)數(shù)為3,則由引理28知G可解。

若G的極大交換子群的共軛類個(gè)數(shù)為2,不妨設(shè)H1、H2為G的極大交換子群的共軛類代表，則H1、H2也是G的自中心化子群的共軛類代表，若H1、H2中的某一個(gè)為極大子群，則G已可解。若H1、H2都不是極大子群，考慮G的非正規(guī)極大子群，由于G的非正規(guī)極大子群是自中心化子群，且r(G)=4,故此時(shí)G的非正規(guī)極大子群的共軛類個(gè)數(shù)≤1,由引理4知G可解。

(4)當(dāng)r(G)=5時(shí)，G的極大交換子群的共軛類個(gè)數(shù)為2、3或4。

若G的極大交換子群的共軛類個(gè)數(shù)為4,則由引理28知G可解。

若G的極大交換子群的共軛類個(gè)數(shù)為3,不妨設(shè)H1、H2、H3為G的極大交換子群的共軛類代表，則H1、H2、H3也是G的自中心化子群的共軛類代表，若H1、H2、H3中的某一個(gè)為極大子群，則G已可解；若H1、H2、H3都不為極大子群，考慮G的非正規(guī)極大子群，則此時(shí)G的非正規(guī)極大子群的共軛類個(gè)數(shù)≤1,由引理4知G可解。

若G的極大交換子群的共軛類個(gè)數(shù)為2,不妨設(shè)H1、H2為G的極大交換子群的共軛類代表，則H1、H2也是G的自中心化子群的共軛類代表，若H1、H2中的某一個(gè)為極大子群，則G已可解；若H1、H2都不為極大子群，考慮G的非正規(guī)極大子群，則此時(shí)G的非正規(guī)極大子群的共軛類個(gè)數(shù)≤2,由引理4知G可解。證畢。

定理7不存在恰含3個(gè)自中心化子群共軛類的非交換p-群。

證明設(shè)G是有限群，且r(G)=3,則G是非交換群。設(shè)H1、H2是G的真自中心化子群的共軛類代表，則H1、H2恰是G的極大交換子群的共軛類代表。假如G是有限非交換群p-群，則下述事實(shí)成立：

①G的交換極大子群恰有2個(gè)共軛類，且H1、H2是G的交換的極大子群的共軛類代表。

若H1不是G的極大子群，則存在G的極大子群M滿足H1≤M，由

CG(M)≤CG(H1)≤H1≤M，

知M是G的自中心化子群，由r(G)=3知M與H2共軛，這與H1是極大交換子群矛盾，故H1是極大子群。同理可得H2是極大子群。若G中存在交換極大子群M0,且M0不與H1共軛，也不與H2共軛，則M0屬于G的另一個(gè)自中心化子群的共軛類，這與r(G)=3矛盾。

②G的非交換極大子群是正規(guī)子群。

設(shè)M1是G的非交換極大子群，若M1是非正規(guī)的，則M1是G的自中心化子群，由r(G)=3知M1與H1共軛，或與H2共軛，2種情況都與M1的非交換性矛盾。

③G中存在一個(gè)正規(guī)的交換極大子群，另一類交換極大子群非正規(guī)。

因?yàn)镚是有限非交換群p-群，故G的交換極大子群的個(gè)數(shù)為0、1或p+1。由①知G的交換極大子群的個(gè)數(shù)為p+1。由于Hi(i=1,2)的共軛子群的個(gè)數(shù)為|G∶NG(Hi)|,是|G|的因子，又|G∶NG(H1)|+|G∶NG(H2)|=p+1,因此|G∶NG(H1)|和|G∶NG(H2)|只能一個(gè)為1,一個(gè)為p。

以上說(shuō)明G的非正規(guī)的極大子群都共軛，故G的結(jié)構(gòu)為引理5的②和③，顯然②和③都不是p-群，矛盾。證畢。

定理8設(shè)G是有限冪零群，且r(G)=3,則G的冪零類c(G)=2。

證明由r(G)=3知G是非交換群，且G恰有2個(gè)極大交換子群的共軛類。設(shè)H1、H2為G的真自中心化子群的共軛類代表，則H1、H2也是G的2個(gè)極大交換子群共軛類代表。由G冪零得H1

證明當(dāng)r(G)=3時(shí)，設(shè)H1、H2為G的自中心化子群的共軛類代表，由引理16知H1、H2也是G的2個(gè)極大交換子群共軛類代表，任取G的交換子群A。

若A是極大交換子群，不妨A=H1,有H1=A=CG(A)≤NG(A),又NG(A)是G的自中心化子群。若NG(A)與H2共軛，則與H1是極大交換子群矛盾。若NG(A)=G,即AG。若NG(A)與H1共軛，則有NG(A)=CG(A)。

若A是非極大交換子群，不妨A

定理10設(shè)G是有限群，且r(G)=3。則G的結(jié)構(gòu)是下列情況之一：

①G為q-基本群，并且|G|=pαqβ,p、q為素?cái)?shù)，α、β為正整數(shù)，G恰有2個(gè)極大子群共軛類，其中一個(gè)極大子群正規(guī)，另一個(gè)極大子群非正規(guī)。

證明若G的極大子群都是交換群，此時(shí)G為內(nèi)交換群。若G是冪零群，由引理25知G是q-群，但由引理27得不存在自中心化子群共軛類個(gè)數(shù)恰為3的非交換p-群，因此G是非冪零群，故G是q-基本群。又因G為內(nèi)交換群，從而G的極大交換子群與極大子群等價(jià)，即G恰有2個(gè)極大子群共軛類。由引理22及引理27的證明過(guò)程知G有一個(gè)極大子群正規(guī)，另一類極大子群不正規(guī)的Pαqβ群，即定理10①。

若G中存在非交換的極大子群，則非交換的極大子群都是正規(guī)子群(假如存在非正規(guī)的非交換極大子群M，則M是G的自中心化子群，而G中至少含有2個(gè)極大交換子群共軛類，這樣與r(G)=3矛盾)。而非正規(guī)的極大子群是自中心化子群，由r(G)=3知G的非正規(guī)極大子群的共軛類個(gè)數(shù)為1或2。故由引理5和引理6可得定理10結(jié)論中的②～⑤結(jié)構(gòu)。證畢。