NS*-置換子群對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響

吳湘華，鐘祥貴

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541006)

本文涉及的群均為有限群，文中使用標(biāo)準(zhǔn)的術(shù)語(yǔ)及符號(hào)，可參見文獻(xiàn)[1-3]。G表示一個(gè)有限群，|G|表示G的階，π(G)表示|G|的素因子集合。

假設(shè)H是G的一個(gè)子群。稱H為G的S-置換子群，如果對(duì)G的任意Sylow子群P滿足HP=PH;稱H是G的一個(gè)c-正規(guī)子群，如果存在G的一個(gè)正規(guī)子群K,使得G=HK且H∩K≤HG,其中HG=CoreG(H)是含于H中G的最大正規(guī)子群。

另一方面，G的每個(gè)S-置換子群H具有這樣的性質(zhì)：假設(shè)H≤K≤G,那么對(duì)滿足gcd (p,|H|)=1的任意素因子p,NK(H)包含K的所有Sylowp-子群。在此基礎(chǔ)上，Al-Sharo[10]對(duì)S-置換子群繼續(xù)作了推廣：群G的一個(gè)子群H被稱為是G的幾乎S-置換子群，如果H≤K≤G且對(duì)滿足gcd (p,|H|)=1的任意素因子p,NK(H)包含K的某些Sylowp-子群。作為這方面研究的繼續(xù)，本文對(duì)幾乎S-置換子群和c-正規(guī)子群作岀進(jìn)一步推廣，介紹一類新的子群。

顯然，所有的正規(guī)子群、c-正規(guī)子群以及幾乎S-置換子群都是NS*-置換子群。然而，反過(guò)來(lái)卻是不真的，比如下面的例子。

例1置換群S4的2階子群〈(12)〉顯然是一個(gè)NS*-置換子群。然而，對(duì)于S4的 包含〈(12)〉的6階子群K,〈(12)〉在K中的正規(guī)化子NK(〈(12)〉)卻不包含K的任何Sylow 3-子群。因此〈(12)〉不是S4的幾乎S-置換子群，從而也不是S4的S-置換子群。

例2[16]設(shè)G=〈x,y|x16=y4=1,xy=x3〉，H=〈y2〉。則Φ(G)=〈x2,y2〉=〈x2〉×〈y2〉，H在G中顯然不是c-正規(guī)的。然而，H是G的NS*-置換子群。

1 主要引理

本章給岀后面要用到的主要引理。

引理1[10]設(shè)H是群G的一個(gè)幾乎S-置換子群，N是群G的一個(gè)正規(guī)子群，則下列陳述成立：

①HN是群G的幾乎S-置換子群；

② 若H是一個(gè)素?cái)?shù)冪階子群，那么H∩N是群G的一個(gè)幾乎S-置換子群；

③ 若H是一個(gè)素?cái)?shù)冪階子群，那么HN/N是群G的一個(gè)幾乎S-置換子群；

④ 若|H|=pn,其中p是一個(gè)素?cái)?shù)，那么H≤Op(G)。

引理2設(shè)K和H都是群G的子群，則：

①若H≤K且H是群G的NS*-置換子群，那么H是K的NS*-置換子群；

引理4[10]設(shè)p是|G|素因子，P是G的一個(gè)正規(guī)p-子群。若P每個(gè)素?cái)?shù)階子群或者 4階循環(huán)子群(若P是非交換的2-群)都是G的幾乎S-置換子群，那么G的每個(gè)在P之下的主因子皆循環(huán)。

引理6[11]假設(shè)G有一個(gè)π-Hall子群，其中π是奇素?cái)?shù)集合，那么G的所有π-Hall子群在G中皆是共軛的。

2 主要結(jié)論及證明

定理1設(shè)G是有限群，P是G的一個(gè)Sylowp-子群，其中p是|G|的素因子且滿足gcd (p-1,|G|)=1。若P的每個(gè)極大子群或者在G中有p-冪零補(bǔ)或者是G的NS*-置換子群,那么G是p-冪零的。

證明假設(shè)定理不真，并設(shè)G是一個(gè)極小階反例,通過(guò)以下步驟導(dǎo)岀矛盾。

①G有唯一的極小正規(guī)子群N使得G/N是p-冪零的。

②Op′(G)=1。

如若不然，那么D=Op′(G)≠1。由步驟①有N≤D并且G/D≌(G/N)/(D/N)是p-冪零的。這意味著G是p-冪零的，矛盾。所以步驟②成立。

③ Φ(G)=1且Op(G)=N。

若Φ(G)≠1,那么由步驟①,有N≤Φ(G)并且G/Φ(G)≌(G/N)/(Φ(G)/N)是p-冪零的。這意味著G是p-冪零的，矛盾。因此Φ(G)=1。最后根據(jù)步驟①及文獻(xiàn)[1]定理4.5(1),有Op(G)=N。

④ 最后的矛盾。

顯然，P=(P∩M)N。進(jìn)一步，P∩M是P的一個(gè)真子群。因此，存在P的一個(gè)極大子群P*,使得P∩M

由引理1④,有P*∩T≤Op(G)=N。這就意味著P*∩T≤P*∩N,從而P*∩T=P*∩N。因此，P*∩T≤(P*∩T)G=(P*∩T)OP(G)P=(P*∩T)P=(P*∩N)P=P*∩N≤N。這就使得(P*∩T)G=1或者(P*∩T)G=P*∩N=N。

如果(P*∩T)G=P*∩N=N,那么N≤P*,從而P=P*N=P*,矛盾。

如果(P*∩T)G=1,那么P*∩T=1。因此|P*||T|整除|G|,故G=P*T,并且|T|p=p。由于N≤T,從而|N|=p。再由步驟①及引理3知G是p-冪零的，這是最后的矛盾。證畢。

注1定理1中的條件gcd (p-1,|G|)=1是必要的。例如，考慮60階單群A5的素因子p=5,可知A5的Sylow 5-子群的每個(gè)極大子群都是平凡子群1。因此A5的Sylow 5-子群的每個(gè)極大子群都是G的NS*-置換子群，但是顯然A5不是5-冪零的。

定理2設(shè)G是有限群，p為|G|的素因子。假設(shè)NG(P)是p-冪零的，若G的Sylowp-子群P的每個(gè)極大子群或者在G中有p-冪零補(bǔ)或者是G的NS*-置換子群，那么G是p-冪零的。

證明若p=2,則由定理1直接得到G是2-冪零的。因此，不妨令p是一個(gè)奇素?cái)?shù)。假設(shè)定理不真，并設(shè)G是一個(gè)極小階反例。通過(guò)以下步驟導(dǎo)岀矛盾。

①Op′(G)=1。

假設(shè)Op′(G)≠1,考慮商群G/Op′(G)。設(shè)M/Op′(G)為POp′(G)/Op′(G)的任意一個(gè)極大子群，那么有M=P*Op′(G),其中P*是P的一個(gè)極大子群。根據(jù)文獻(xiàn)[12]引理 3.6.10,有NG/Op′(G)(POp′(G)/Op′(G))=NG(P)Op′(G)/Op′(G)是p-冪零的。再由引理2②,G/Op′(G)滿足定理假設(shè)，因此G/Op′(G)是p-冪零的，這意味著G也是p-冪零的，與G的極小性選取相矛盾。

②G的每個(gè)包含P的真子群皆是p-冪零的。

事實(shí)上，若T是包含P的G的真子群，由于NT(P)≤NG(P),從而NT(P)是p-冪零的。據(jù)引理2②,顯然T滿足定理假設(shè)，由G的極小性選取，T是p-冪零的。

③Op(G)≠1且G=PQ,其中Q是G的Sylowq-子群，并且q≠p。

由于G不是p-冪零的，因此由文獻(xiàn)[13]Thompson定理,存在P的特征子群H使得NG(H)不是p-冪零的。注意到NG(P)是p-冪零的，所以不妨選取P的特征子群H和K,使得H

④G有唯一的極小正規(guī)子群N,使得G=NM,其中M是G的一個(gè)極大子群，并且N=Op(G)=CG(N)。

設(shè)N是G的任意極小正規(guī)子群，那么由步驟①和③,N是一個(gè)初等交換p-群，且N?Op(G)

⑤P的每個(gè)極大子群在G中都是NS*-置換的。

事實(shí)上，由步驟③可知G是可解的。不妨設(shè)P*是P的一個(gè)極大子群。如果P*在G中有一個(gè)p-冪零補(bǔ)，同理于定理1證明中④(i)的分析，有P=P*,這是一個(gè)矛盾。

⑥最后的矛盾。

證明首先證明?蘊(yùn)含?,這是顯然的，因?yàn)橹灰頗=1就可以了。

下面利用極小反例法證明?蘊(yùn)含?。若否，設(shè)G為極小階反例，通過(guò)以下步驟導(dǎo)岀矛盾。

①H是可解的。

設(shè)K是H的任意真子群，則|K|<|G|。令〈x〉是K的任意非循環(huán)Sylow子群的素?cái)?shù)階子群或者4階循環(huán)群(若H的Sylow 2-子群非交換)。顯然，〈x〉也是H的非循環(huán)Sylow子群的素?cái)?shù)階子群或者4階循環(huán)群。依假設(shè)〈x〉或者在G中有一個(gè)超可解補(bǔ)，或者是G的NS*-置換子群。因此由引理2,〈x〉或者在K中有超可解補(bǔ)，或者是K的NS*-置換子群,于是,K滿足定理假設(shè)。由G的極小性選取得K是超可解的。再由文獻(xiàn)[2]定理3.11.9可知H是可解的。

⑤最后的矛盾。