銳角三角函數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)解析

何星依

(江蘇省海門市中南東洲國際學(xué)校 226100)

根據(jù)新課標(biāo)，對初中銳角三角函數(shù)的教學(xué)要求是掌握銳角范圍內(nèi)三角函數(shù)的正弦、余弦及正切三類函數(shù)的定義及基本性質(zhì)，并能夠熟練使用特殊角的三角函數(shù)值，能夠結(jié)合基礎(chǔ)知識解決一系列簡單的銳角三角函數(shù)實(shí)際問題.在實(shí)際教學(xué)過程中，初中數(shù)學(xué)教師普遍反映學(xué)生對銳角三角函數(shù)的理解存在很多問題，對其具體定義及性質(zhì)的理解不夠深入.本文結(jié)合實(shí)際教學(xué)過程中常見易錯(cuò)題型開展解析研判，深化學(xué)生對銳角三角函數(shù)的認(rèn)知.

一、對銳角三角函數(shù)概念理解不透徹

中學(xué)函數(shù)的定義是：在變化過程中有兩個(gè)變量x和y，如果對于每一個(gè)x值均有唯一的y值與之對應(yīng)，則可稱x是自變量，y是關(guān)于x的函數(shù)，銳角三角函數(shù)也是如此.但與一次函數(shù)、反比例函數(shù)等常規(guī)函數(shù)相比，銳角三角函數(shù)屬于特殊函數(shù)，它不是依賴于表達(dá)式來表示，而是依靠直角三角形兩邊比值所得.

例1在Rt△ABC中，如果各邊長度均擴(kuò)大2倍，則銳角A的余弦值( ).

A.不變化 B.擴(kuò)大2倍 C.縮小1/2

解析根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可知，任意銳角三角形的余弦值是指在直角三角形中，鄰邊與斜邊的長的比值.結(jié)合題意可知，各邊長度均擴(kuò)大2倍，自然直角三角形鄰邊及斜邊均擴(kuò)大兩倍，其比值不發(fā)生變化，故選項(xiàng)A正確.本題較多學(xué)生錯(cuò)選B選項(xiàng)，知道銳角三角函數(shù)的定義，也明確了余弦的概念，但卻忽略了邊長比值的不變性，從而發(fā)生錯(cuò)選.

點(diǎn)評銳角三角函數(shù)屬于抽象類函數(shù)問題，不同于常規(guī)函數(shù)，在實(shí)際求解過程中，建議學(xué)生腳踏實(shí)地，列出余弦值表達(dá)式，代入邊長變化關(guān)系，從而準(zhǔn)確得出正確選項(xiàng).

二、遺漏銳角三角函數(shù)隱含條件

銳角三角函數(shù)不僅與常規(guī)函數(shù)(一次函數(shù)、反比例函數(shù)等)存在差異性，其于鈍角三角函數(shù)在求解時(shí)也存在差異性.鈍角三角形只要保證有一個(gè)角為鈍角即可，而銳角三角形則需要保證三個(gè)角均為銳角.對此，很多學(xué)生在求解銳角三角函數(shù)類問題時(shí)，常常會忽略三個(gè)角均為銳角的隱含條件，從而造成多解或取值范圍判斷過大.

例2在銳角三角形ABC中，已知角A、B、C的對邊分別為a、b、c，其中b=1、c=2，求a的取值范圍.

點(diǎn)評判定直角(鈍角)三角形時(shí)，只要保證其中一個(gè)角為直角(鈍角)即可，即可判斷其中一角的余弦值等于(小于)零.而在銳角三角形求解時(shí)，務(wù)必保證該三角形三個(gè)角均為銳角，即需要展開三次判斷，方可得到最終結(jié)論.

三、忽略銳角三角函數(shù)分類求解思想

銳角三角函數(shù)在實(shí)際求解過程中往往存在多解情況，需要采取分類討論的措施，以保證求解的準(zhǔn)確性.尤其是將銳角三角函數(shù)與方程等知識點(diǎn)進(jìn)行綜合求解時(shí)，更需要注意求解邊界的問題，避免漏解情況的發(fā)生.

例3如果方程x2-4x+3=0的兩個(gè)根分別是Rt△ABC兩條邊的長度，假設(shè)△ABC的最小角為∠A，那么tanA的值為____.

解析由Rt△ABC兩條邊長分別為方程x2-4x+3=0的兩個(gè)根，求解可知：原方程的兩個(gè)根分別是1和3.由于未明確△ABC的直角邊，故進(jìn)行分類討論.

點(diǎn)評值得注意的是，在銳角三角函數(shù)與方程等知識點(diǎn)相融合時(shí)，切記求解分析全面，開展分類討論.由于該題在已知條件中，并未明確方程兩根是否為兩直角邊，故需要分類進(jìn)行討論分析.在實(shí)際求解過程中，學(xué)生往往容易忽略上述第二種情況，造成漏解.

總之，銳角三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要知識點(diǎn)，存在眾多易錯(cuò)誤區(qū).教師在實(shí)際教學(xué)過程中，應(yīng)盡可能圍繞銳角三角函數(shù)概念，結(jié)合函數(shù)圖象形象化展示銳角三角函數(shù)所存在的對應(yīng)關(guān)系，幫助學(xué)生分清銳角三角函數(shù)的自變量與因變量關(guān)系，強(qiáng)化學(xué)生對于函數(shù)思想的應(yīng)用.