超Sober空間與k-有界Sober空間的性質(zhì)

唐 友, 楊金波

(江西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 江西南昌330022)

§1 引言與預(yù)備

序與拓?fù)渲g有著緊密的聯(lián)系. 給定一個偏序集, 其上有許多經(jīng)由偏序定義的拓?fù)? 稱之為偏序集上的內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)? 如“單邊”拓?fù)渖贤負(fù)? 下拓?fù)? Scott拓?fù)? Alexandroff拓?fù)浼啊半p邊”拓?fù)鋮^(qū)間拓?fù)? Lawson拓?fù)? 雙Scott拓?fù)涞鹊? 偏序集上的序結(jié)構(gòu)影響著其上內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)涞男再|(zhì),比如連續(xù)偏序集上的Scott拓?fù)涫蔷植烤o的. 另一方面, 給定一個拓?fù)淇臻g, 其開集族在集合的包含序下是一個“天然的”Frame; 若(X,τ)是一個T0拓?fù)淇臻g, 定義x ≤τ y當(dāng)且僅當(dāng)x ∈cl{y},則(X,≤τ)為一個偏序集, 稱≤τ為空間(X,τ) 的特殊化序(specialization order). 拓?fù)淇臻g的性質(zhì)也影響著相應(yīng)序結(jié)構(gòu)的性質(zhì), 比如: 若X為局部緊空間, 則其開集Frame是連續(xù)格.

Sober空間在非Hausdroff拓?fù)渑cDomain理論中扮演著重要角色, 其定義是由既約集給出的. 拓?fù)淇臻gX的一個非空子集F稱為既約的, 若對任意閉集A,B,F ?A ∪B蘊(yùn)含著F ?A或者F ?B. 既約集與定向集之間有著緊密的聯(lián)系. 一方面, 對于給定的T0空間, 在其特殊化序下,X中的定向子集是既約集; 另一方面, 對于任意偏序集P, 其Alexandroff空間(P,γ(P))中的既約集恰好為偏序集P中的定向集. 基于這一重要觀察并結(jié)合偏序集P上Scott拓?fù)涞亩x,文[1]在更為一般的T0拓?fù)淇臻g中引入了由既約集誘導(dǎo)的拓?fù)涞亩x, 因而偏序集上的Scott拓?fù)淝『脼槠渖螦lexandroff拓?fù)淇臻g中既約集所誘導(dǎo)的拓?fù)? 為了刻畫空間中既約集所誘導(dǎo)拓?fù)涞男再|(zhì), 文[1]引入了超Sober空間與k-有界Sober空間的概念并得到許多有意義的結(jié)果. 比如T0空間X中由既約集誘導(dǎo)的拓?fù)渑c原拓?fù)湟恢庐?dāng)且僅當(dāng)X為k-有界Sober空間; 對定向完備偏序P而言,γ(P)是超Sober的,γ(P)是k-有界Sober的,γ(P)是Sober的以及σ(P)是超Sober的四者等價等等.

從另一角度來看, 由于Sober空間在非Hausdroff拓?fù)渑cDomain理論中的重要地位, 比Sober空間更強(qiáng)的超Sober空間以及作為Sober空間推廣的k-有界Sober空間本身就具有研究的價值.本文將進(jìn)一步研究超Sober空間與k-有界Sober空間的性質(zhì), 厘清超Sober拓?fù)?k-有界Sober拓?fù)渑cT2,T1,T0拓?fù)湟约癝ober拓?fù)渲g的關(guān)系. 下文將討論它們的乘積空間, 子空間的性質(zhì),超Sober空間,k-有界Sober空間在連續(xù)映射下的保持性以及對Smyth上冪空間構(gòu)造的封閉性.特別地證明了一個空間為超Sober空間當(dāng)且僅當(dāng)其Smyth上冪空間為超Sober空間; 若拓?fù)淇臻gX的Smyth上冪空間為k-有界Sober空間, 則空間X為k-有界Sober空間; 一族k-有界Sober空間的積空間仍為k-有界Sober空間.

對給定的集合X記X(<ω)為X的有限子集之全體. 對任意x ∈X, 記O(x)為點(diǎn)x的開鄰域系.設(shè)P為偏序集,D ?P稱為定向的, 若對任意d1,d2∈D, 存在d ∈D, 使得d1,d2≤d. 設(shè)X是拓?fù)淇臻g,X的全體開集記為O(X). 任意A ?X,A在X中的閉包記為clA, 在涉及多個空間時為區(qū)分起見也記作clXA.

文中涉及的記號與術(shù)語可參見[2-4]. 對于給定的T0拓?fù)淇臻g, 除非特別說明, 本文涉及到的與偏序相關(guān)的所有概念, 其偏序都是指X上的特殊化序.

定義1.1(見[1, 4]) 設(shè)X為拓?fù)淇臻g,F為X的非空子集.

(1) 稱X為Sober 空間, 若對拓?fù)淇臻gX的每一既約閉集F, 存在唯一x ∈X, 使F=cl{x}.

(2) 稱X為超Sober空間, 若對拓?fù)淇臻gX的每一既約集F, 存在唯一x ∈F, 使得F ?cl{x}.

的既約集.

命題1.2若X為拓?fù)淇臻g,F ?X.F是X的既約集當(dāng)且僅當(dāng)clF是X的既約集, 從而clF是X的既約閉集.

推論1.2設(shè)f是拓?fù)淇臻gX到拓?fù)淇臻gY的連續(xù)映射, 若F為X的既約閉集, 則clY f(F)為Y的既約閉集.

§2 超Sober空間

本節(jié)進(jìn)一步討論超Sober空間的性質(zhì), 厘清超Sober拓?fù)渑cT2,T1,T0拓?fù)湟约癝ober拓?fù)渲g的關(guān)系, 將證明一個空間為超Sober空間當(dāng)且僅當(dāng)其Smyth上冪空間為超Sober空間.

由超Sober空間的定義容易看出, 超Sober空間是Sober空間, 從而是T0空間. 另一方面, 單位閉區(qū)間[0, 1]上賦予Scott拓?fù)涫荢ober的. 令F= [0,), 則F是既約的, 但是對任意x ∈F,Fcl{x}=[0,x], 因而[0, 1]不是超Sober空間.命題2.1設(shè)X為拓?fù)淇臻g. 則

(1) 若X為超Sober空間, 則X為T0空間. 進(jìn)一步,X為超Sober空間當(dāng)且僅當(dāng)X為T0空間并且對X中任意既約集F, 存在x ∈F使得F ?cl{x}.

(2) 若X為T2空間, 則X為超Sober空間.

(3) 若X為只有有限個點(diǎn)的T0空間, 則X為超Sober空間.

證 (1) 顯然.

(2) 設(shè)X為T2空間, 以下說明X中的既約集只能是單點(diǎn)集. 假設(shè)X的既約集F包含兩個不同的點(diǎn)y,z, 由X為T2空間, 存在開集U,V使得x ∈U,y ∈V且U ∩V=?. 于是

由F為既約集,F ?X U或者F ?X V. 若F ?X U, 則由x ∈F,x/∈U, 與x ∈U矛盾.若F ?X V, 則由y ∈F,y/∈V, 與y ∈V矛盾.

注2.1(1) 超Sober空間不必為T2空間. 設(shè)X={a,b},τ={?,{a},X}. 則(X,τ)為T0但非T1(從而非T2)空間. 由命題2.1(3), (X,τ)為超Sober空間.

(2) 上述例子也說明了存在超Sober但非T1的空間.

(3) 存在T1但不是超Sober的空間. 設(shè)X為無限集, 其上賦予有限補(bǔ)拓?fù)? 則X為T1空間. 由于X為空間中的既約閉集, 但對任意x ∈X,cl{x}={x}. 因此X不是Sober空間, 從而X不是超Sober空間.

下述命題表明, 超Sober性是可遺傳的.

命題2.2超Sober空間的子空間是超Sober空間.

命題2.3超Sober空間的連續(xù)收縮是超Sober空間.

證 設(shè)X為超Sober空間,Y為X的連續(xù)收縮核. 于是存在連續(xù)映射f:X →Y,g:Y →X使得f ?g=idY, 由X為超Sober空間,X為T0空間, 又由Y為X的連續(xù)收縮核, 于是Y為T0空間. 設(shè)F為Y的既約集, 由g連續(xù),g(F)為X的既約集. 又X是超Sober空間, 存在x ∈g(F)使得g(F)?clX{x}, 于是f(x)∈f ?g(F)=F, 從而

推論2.1設(shè)(X,τ)為超Sober空間,f: (X,τ)→(X,τ)為連續(xù)映射且f為冪等映射, 即f ?f=f, 則(f(X),τ|f(X))為超Sober空間.

引理2.1(見[5]) 設(shè)X為Sober空間,C,U分別為X中閉集與開集,A為Qv(X)中的既約集.引理2.2(見[5]) 設(shè)X為拓?fù)淇臻g,K ?X,A ?Q(X). 若對X中任意開集U,K ?U當(dāng)且僅當(dāng)存在Q ∈Q(X)使得Q ?U, 則K ∈Q(X).

命題2.4(見[5]) 設(shè)X為拓?fù)淇臻g,A,B ?X,B為X的一個基, 則下述條件等價.

(1) clA=clB;

(2) 對X中的任意開集U,?當(dāng)且僅當(dāng)?;

(3) 對任意?當(dāng)且僅當(dāng)?.

命題2.5設(shè)X為拓?fù)淇臻g,A,B ?X,B為X的一個基, 則下述條件等價.

(1) clA ?clB;

(2) 對X中的任意開集U, 若?, 則?;

(3) 對任意U ∈B, 若?, 則?.

定理2.1設(shè)X為T0空間, 則X為超Sober空間當(dāng)且僅當(dāng)其Smyth上冪空間Qv(X)為超Sober空間.

證 設(shè)Qv(X)為超Sober空間,F為X中的既約集. 令ηX(=):X →Qv(X). 由ηX連續(xù),{↑x:x ∈F}為Qv(X)中既約集. 又由Qv(X)為超Sober空間, 存在K ∈{↑x:x ∈F}使得{↑x:x ∈F}?clQv(X){K}, 于是

§3 k-有界Sober空間

本節(jié)討論k-有界Sober空間的性質(zhì). 從k-有界Sober空間的定義容易知道, Sober空間為k-有界Sober空間,k-有界Sober空間為T0空間. 注意到T1空間中的特殊化序?yàn)殡x散序, 因此T1空間中只有單點(diǎn)集的上確界是存在的, 故T1空間為k-有界Sober空間.

定理3.1(見[1]) 若P為連續(xù)偏序集, 則(P,σ(P))為k-有界Sober空間.

注3.1上述定理表明:

(1)k-有界Sober空間不一定為Sober空間. 取P為非定向完備的連續(xù)偏序集, 則(P,σ(P))不是Sober空間.

(2)k-有界Sober空間不必為T1空間. (R,σ(R))不是T1空間.

§3 小結(jié)

在非Huasdorff空間與Domain理論中, Sober空間是一類非常重要的空間. 本文主要從拓?fù)涞慕嵌扔懻摿顺琒ober空間與k-有界Sober空間的一些基本性質(zhì). 結(jié)果表明超Sober空間與k-有界Sober空間這兩類空間也具有許多類似于Sober空間的良好性質(zhì). 由于超Sober空間比Sober空間強(qiáng),k-有界Sober空間比Sober空間弱, 因此對這兩類空間性質(zhì)的討論有助于加深對Sober空間的認(rèn)識. 如何從序結(jié)構(gòu)的角度刻畫關(guān)于其上內(nèi)蘊(yùn)拓?fù)錇槌琒ober空間,k-有界Sober空間的偏序集的性質(zhì)是值得探討的研究內(nèi)容.