小學(xué)估算教學(xué)的誤區(qū)及應(yīng)對策略
——從“加法估算，先把加數(shù)四舍五入到十位”談起

□石忠富

一、緣起

這是人教版三年級上冊P18的一道題，“今天大約賣出多少根冰棍？”女兒在課本上寫下了610根（如上圖），從中可以看出她的估算過程：392≈390，219≈220，392+219≈390+220=610（根）。我問390+220計算起來簡單嗎？女兒告訴我，她覺得估算也并不是很簡單的事，班上有好多同學(xué)在列豎式計算390+220。我問她為什么不把392看成400，把219看成200？估算成392+219≈400+200=600（根）不是更簡單嗎？我的想法遭到了女兒的否定，她告訴我她的老師規(guī)定：兩個數(shù)相加，估算時先把這兩個加數(shù)分別四舍五入到十位，就是對個位進(jìn)行四舍五入，再相加。

“加法估算，先把加數(shù)四舍五入到十位？”這樣的估算，結(jié)果毫無疑問是正確的，但是這樣估算的過程簡單嗎？估算應(yīng)該是粗略、簡約地計算，上題的估算過程其實是改變數(shù)字后的精確計算。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，這樣的估算方法能體現(xiàn)估算什么樣的價值呢？解決問題時的生命力在哪呢？

二、估算教學(xué)誤區(qū)成因

（一）來自傳統(tǒng)計算教學(xué)的影響

教材處理估算時，總是把它與口算（認(rèn)為口算是筆算的基礎(chǔ)）處于同等地位，估算情境往往放在筆算之前，用來驗證筆算的正確性，讓學(xué)生覺得反正要進(jìn)行筆算，估不估無所謂。而學(xué)生相對擅長精確計算，對估算的作用沒有真切的體驗和感受，缺乏自覺估算的意識，體會不到估算在實際生活和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的價值。

（二）來自估算過程中方法的偏位

在估算教學(xué)中，教師沒有領(lǐng)會估算教學(xué)的內(nèi)涵和目標(biāo)要求，再加上課堂教學(xué)時間有限，教師常常忽視讓學(xué)生對估算的思考過程用語言做出解釋，忽視學(xué)生對估算方法的感悟。估算教學(xué)“蜻蜓點(diǎn)水”，學(xué)生學(xué)而不精。

（三）來自評價模式的干擾

很多教師認(rèn)為數(shù)學(xué)考試的答案是唯一的，認(rèn)識停留在應(yīng)試的層面上，認(rèn)為估算教學(xué)必須教給學(xué)生一個統(tǒng)一的方法，例如，382+514，如果給學(xué)生規(guī)定估算的標(biāo)準(zhǔn)，把加數(shù)都四舍五入到十位，那么答案就統(tǒng)一為382+514≈380+510=890，這樣學(xué)生在應(yīng)試中正確率就相對較高，教學(xué)過程也簡單明了，因為答案是唯一的，作業(yè)批改簡單方便。

三、全面理解估算

其實估算的方法是多樣的、開放的，結(jié)果也是多元的。估算沒有唯一標(biāo)準(zhǔn)，只要在某個區(qū)間內(nèi)能體現(xiàn)問題解決的價值，那就是合理的。國內(nèi)外對估算有著不同的界定，羅增儒教授將估算定義為粗略的計算，實質(zhì)上是一種快速的近似計算，它的基本特點(diǎn)是對數(shù)值進(jìn)行擴(kuò)大或縮小，從而對運(yùn)算結(jié)果確定一個范圍或做出一個估計，Dowker將其定義為在沒有精確計算或在精確計算之前對一些算術(shù)問題做一個合理的猜測。

本文中所指的估算是未經(jīng)過精確計算對問題提出粗略答案的一種估計，是心算、數(shù)概念和算術(shù)計算技巧之間相互作用的過程。

但粗略不是隨意，它要求計算過程簡單而快速。Reys等人（1987）說過，“估算可以使我們判斷一個經(jīng)由粗略計算得到的答案的合理性”?！跋劝鸭訑?shù)四舍五入到十位”的估算方法不是不行，但得考慮這種估算是否繁雜，很顯然，這種估算就是因為題目要求估算而增加的過程，實際是為估算而估算。

[案例]

這是人教版三年級上冊《數(shù)學(xué)作業(yè)本》P8的一道題，第（2）小題，要求學(xué)生通過估一估判斷500元錢夠不夠買一件上衣和一個包。這個問題的正解是：把208看成200（估少），305看成300（估少），208+305≈200+300=500（元），因為200+300<208+305，也就是估少后，計算的結(jié)果是500，所以500元錢是不夠的。采取整百數(shù)估算，整個過程簡單快速，學(xué)生也容易理解，估算解決問題的優(yōu)勢非常明顯。上圖是女兒作業(yè)本的截圖，可以看出她遵循“先把加數(shù)四舍五入到十位然后再相加”的方法，遠(yuǎn)沒有取整百數(shù)作近似數(shù)計算起來簡單快速。

另外，女兒的解答中還有一個明顯的錯誤，把208看作210（估大），把305看成310（估大），兩個加數(shù)都被估大，那么最后的結(jié)果肯定被估大，估大了結(jié)果以后又怎么能判斷500元夠不夠呢？估小不夠肯定不夠，估大不夠就無法判斷了。

所以作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該要清醒地認(rèn)識到估算的重要意義，不要為估算而估算。

四、走出估算教學(xué)誤區(qū)的策略

估算是估和算的過程，是具有推理和猜想的心理活動，是一種開放的計算活動，它沒有通用的模式和方法，其合理性取決于問題的背景和要求。估算的結(jié)果是不唯一的，不同的精確度要求使用不同的估算策略，不同的估算策略自然導(dǎo)致不同的估算結(jié)果，對于結(jié)果孰優(yōu)孰劣，必須同時考慮誤差的大小和計算的繁簡。

那么，如何走出估算教學(xué)的誤區(qū)呢？

（一）增強(qiáng)估算意識

教師要提高估算教學(xué)對于促進(jìn)學(xué)生形成良好數(shù)感重要性的認(rèn)識，在實際行動上加強(qiáng)估算教學(xué)。

日常教學(xué)中需要用到估算的地方很多，教師要做一個有心人，尋找契機(jī)?？赏ㄟ^觀察、分析、交流估算方法、技巧等途徑，讓學(xué)生感受估算的樂趣，體驗估算的便捷，凸顯估算的價值。

[案例]

學(xué)生在筆算“735÷7”時出現(xiàn)了三種不同的答案。

哪個答案是正確的呢？學(xué)生進(jìn)行了激烈的討論，其中有位學(xué)生果斷地認(rèn)為答案（3）是錯誤的，因為735÷7的商應(yīng)該是100多，不可能是15，如果商是15的話，那么被除數(shù)應(yīng)該是100多。另一個學(xué)生說，答案（2）肯定也是錯誤的，如果商是170的話，那被除數(shù)要接近1000。這里估算是進(jìn)行判斷的一個重要策略，這種估算教學(xué)有過程，有探究，有交流，有需要。學(xué)生經(jīng)過思考，將筆算、估算、驗算有機(jī)結(jié)合，相互作用。與筆算相比，估算快速，優(yōu)勢明顯。

（二）加強(qiáng)方法指導(dǎo)

估算是一種開放的創(chuàng)造性活動，往往帶有很多不確定因素。這就要求學(xué)生明白，什么時候估算是合理的，可行的；如何根據(jù)條件確定估算的精確度；如何提取主要因素，忽略不重要數(shù)據(jù)，這一切都需要結(jié)合實際需要，靈活選擇。

1.取整估算

取整估算是教材比較強(qiáng)調(diào)的一種估算方法，是一種有用且有效的策略。取整包括取整十?dāng)?shù)、取整百數(shù)、取整千數(shù)等，也包括保留最高位法。小數(shù)也同樣可以采用取整法。

[案例]

a.估算：905-688。取整十?dāng)?shù)：905-688≈910-690=220；取整百數(shù)：905-688≈900-700=200。這里估算的過程所運(yùn)用的是一個取整思維，不管采用哪一種方法得到的結(jié)果都是正確的。

b.估算：9.21+10.07。取一位小數(shù)：9.21+10.07≈9.2+10.1=19.3；取整數(shù)：9.21+10.07≈9+10=19。雖然是小數(shù)的估算，但是這里依然屬于取整思維。

2.口訣估算

口訣估算，就是直接運(yùn)用乘法口訣去估算結(jié)果的一種方法，在乘法和除法的估算過程中是比較多見的。

[案例]

a.估算：67×8?？吹竭@樣的題目，馬上想到乘法口訣，七八五十六，估算過程可以寫作：67×8≈70×8=560。

b.估算：346÷8。和上面的乘法一樣，運(yùn)用口訣：四八三十二，346÷8≈320÷8=40，這里需要考慮的是，不要把346取近似數(shù)350，否則估算起來就有很大的麻煩。

c.估算：258×41。如果將兩個因數(shù)四舍五入到十位，那么估算的過程就是258×41≈260×40=10400，但仔細(xì)研究會發(fā)現(xiàn)這兩個因數(shù)是一個特殊組合，258不一定要估成260，可以取近似數(shù)250，那樣的話算起來會更加方便，估算的過程就可以寫成250×40≈10000，這樣的估算，其實也可以算作是口訣估算的一種。當(dāng)然，258×41也可以用取最高位法把258估計成300，41估計成40，估算的過程又可以寫成258×41≈300×40=12000。

估算結(jié)果會因估算的方法不同而不同，只要估算的過程是合理的，估算就是正確的，它能很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

3.引入中間量估算

引入中間量來估算，多用于“比較數(shù)的大小”。

[案例]

引入中間量來估算，其實還包括取平均數(shù)估算，如：54+48+47+51+54≈（），仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，這幾個加數(shù)都和50很接近，可以用50作為這組數(shù)的基準(zhǔn)數(shù)，那么估算的過程就可以寫作54+48+47+51+54≈50×5=250。這個中間量50很重要，它是這組數(shù)的近似數(shù)，所以估算的時候就以這個數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)，利用乘法口訣五五二十五，把這五個數(shù)的和的近似數(shù)求出來了。

4.化成分?jǐn)?shù)或小數(shù)估算

有時候取整數(shù)后計算并不容易，化成小數(shù)或分?jǐn)?shù)反而更加方便。

[案例]

估算：63.2×0.33。估算除了要快速粗略估計以外，它的估值也有一定的范圍，看這組數(shù)的特征，63.2把小數(shù)部分的2去掉剛好是63，是3的倍數(shù)，而很接近，所以根據(jù)經(jīng)驗，可以把估算的過程寫成

估算的方法有很多，使用的時候往往相互融合。

（三）重視能力培養(yǎng)

估算不僅在解決實際問題上表現(xiàn)出價值，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也有重要意義。

[案例]

“水上樂園門票8元一張，39位師生購買門票大約需要帶多少錢？”這是用估算的方法解決實際問題，學(xué)生往往有以下三種答案。

（1）39×8≈40×8=320（元）

（2）39×8≈39×10=390（元）

（3）39×8≈40×10=400（元）

三種估算的結(jié)果雖然不同，但都是合理的，因為它符合估算的本質(zhì)意義：在一定范圍內(nèi)，快速估計。但是這里涉及學(xué)生對日常問題的判別能力，首先是帶的錢足夠買所有的門票，其次是帶的錢與準(zhǔn)確數(shù)接近。所以從估算的結(jié)果可以看出學(xué)生的計算能力、評估判斷能力、對數(shù)的感知能力，是多種思維能力的結(jié)合。

總之，估算是一項數(shù)學(xué)的基本技能，教師要努力將估算教學(xué)內(nèi)化為一種自覺的意識，努力挖掘教材中隱含的估算資源，并為學(xué)生搭建估算平臺，讓學(xué)生的估算策略合理，多樣靈活。