一般三角形射影定理及其應(yīng)用

李秀元

(湖北省武穴市實(shí)驗(yàn)高級中學(xué) 435400)

一、一般三角形射影定理簡介

在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，則a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.這是人教社課標(biāo)A版實(shí)驗(yàn)教科書必修5《解三角形》的一道練習(xí)題，教材本意是要求學(xué)生利用余弦定理來證明這組公式，但實(shí)際上，它的證明方法可以更簡單，作三角形一邊上的高，將邊長分割成兩段，利用直角三角形中銳角的三角函數(shù)定義(相當(dāng)于斜邊的射影)，直接得到結(jié)論.由于證明方法相當(dāng)于對兩邊作一邊上的射影，故名射影定理，也稱第一余弦定理，公式適用于所有三角形.

二、一般三角形射影定理的分類應(yīng)用舉例

解三角形一般直接應(yīng)用正余弦兩大定理和三角恒等變換公式，但有些試題轉(zhuǎn)化起來略顯麻煩.而教材例習(xí)題及其結(jié)論是可以作為高考試題的直接運(yùn)用，這為一般三角形射影定理的應(yīng)用帶來便利.下面結(jié)合高考試題和教材習(xí)題，舉例說明應(yīng)用射影定理帶來的好處，供大家學(xué)習(xí)參考.

1.射影定理在求角中的應(yīng)用

例1 △ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知a=bcosC+csinB.

(1)求B； (2)若b=2，求△ABC面積的最小值.

說明一般地，對于象a=bcosC+csinB這樣的邊角關(guān)系式，我們總是應(yīng)用正余弦定理及三角恒等變換公式進(jìn)行化簡，最終得到問題的解.題目幾乎沒有難度，但有時感覺還是有點(diǎn)繁、費(fèi)時，畢竟高考是需要搶時間的，一般問題快速求解才能給復(fù)雜問題預(yù)留時間.合理利用射影定理就能實(shí)現(xiàn)搶時目標(biāo).所列試題，如果有兩問，我們只關(guān)注第1問的解法，第2問略過，下同.

例2 設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若bcosC+ccosB=asinA，則△ABC的形狀為( ).

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.不確定

解 方法1對bcosC+ccosB=asinA應(yīng)用正弦定理，可以得到sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=sin2A，從而sinA=1，故三角形△ABC為直角三角形.

方法2提取公因式sinB后，由射影定理，得

射影定理在化簡與求值中的應(yīng)用

解 方法1基于正弦定理和三角恒等變換公式,

去分母，得sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB.

方法2基于射影定理，

整理，得bcosA+acosB=2ccosB+2bcosC，即c=2a.

(2)求tan(A-B)的最大值.

3.射影定理在證明中的應(yīng)用

例7 在△ABC中，求證：c(acosB-bcosA)=a2-b2.

解 方法1 由余弦定理可得

說明前者套用余弦定理的公式，后者進(jìn)行了整體代換.

方法2由射影定理，得

c(acosB-bcosA)=(acosB+bcosA)(acosB-bcosA)

=a2cos2B-b2cos2A

=a2(1-sin2B)-b2(1-sin2A)=(a2-b2)+(b2sin2A-a2sin2B)

根據(jù)正弦定理，上式后者為0，故c(acosB-bcosA)=a2-b2.

證明 方法1 應(yīng)用余弦定理化角為邊

方法2應(yīng)用正弦定理化邊為角

方法3應(yīng)用射影定理