對一道課本例題的解法探討

彭光焰

(湖北省廣水市第一高級中學(xué) 432700)

課本是幾代人集體智慧的結(jié)晶，它具備相當(dāng)完備的知識體系和能力架構(gòu)系統(tǒng)，其中的例題和習(xí)題是學(xué)生解題能力的核心生長點，有些典型例習(xí)題由于其自身所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法非常突出. 因此，在教學(xué)中利用好典型例習(xí)題，不僅可以在教學(xué)中強(qiáng)化基本概念、定義的教學(xué)，還要引導(dǎo)學(xué)生重視并運(yùn)用定義解題，引導(dǎo)學(xué)生對課本的例題、習(xí)題進(jìn)行多解、變式、遷移、整合、拓展. 因此，在教學(xué)中要切實把握好概念教學(xué)，這樣既能提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)概念分析問題和解決問題的能力，又能提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一、題目

此題目是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 數(shù)學(xué) 選修 4-5 人教A版 不等式選講》第35頁例2.

二、解法探討

1. 利用柯西不等式求函數(shù)的最值

此解法是人教A版選修4-5提供的.

2. 利用判別式求函數(shù)的最值

思路分析2把函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程f(x)=0.由于方程有實根，故判別式Δ≥0,求得原函數(shù)的值域.

∴y>0,

∴y2-23x+15≥0.

由(y2-23x+15)2=100(x-1)(10-2x)得

729x2-(46y2+1890)x+(y4+30y2+1225)=0.

上述關(guān)于x的方程有實數(shù)根，

故Δ=(46y2+1890)2-4×729×(y4+30y2+1225)≥0，

即y4-108y2≤0，

0

3. 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

思路分析3設(shè)y=f(x) 的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，可求得極值點.若函數(shù)定義域為[a,b]，則最值必定在極值點或區(qū)間端點處取得.

4. 利用三角換元求函數(shù)的最值

思路分析4利用三角恒等式sin2α+cos2α=1將所給函數(shù)轉(zhuǎn)化為值域容易確定的另一函數(shù),進(jìn)而求得函數(shù)最值.

以下同解法4.

令cos2θ=t，其中0≤t≤1.

5. 構(gòu)造向量求函數(shù)的最值

思路分析5由向量不等式|a||b|≥|a·b|,可考慮用構(gòu)造向量的方法進(jìn)行求解.

由|a|2|b|2≥(a·b)2得

6. 利用方差求函數(shù)的最大值

思路分析6方差公式在數(shù)學(xué)解題中有著極其廣闊的應(yīng)用價值,充分利用方差s2非負(fù)性求函數(shù)最大值.

∵y=25a+2b，

7. 構(gòu)造直線截距式求函數(shù)的最值

思路分析7求形如y=f(x)+g(x)函數(shù)最值,可以把f(x),g(x)當(dāng)作是變量,即令v=f(x),u=g(x),φ(u,v)=0一般表示一條曲線,則y可以當(dāng)作是y=v+u的直線在縱軸上的截距，因此截距的最小值也即是函數(shù)的最值.

8. 利用拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)最值

思路分析8用“拉格朗日乘數(shù)法”求函數(shù)f(u,v)在條件φ(u,v)=0條件下的最值，方法(步驟)是：1. 設(shè)拉格朗日函數(shù)l=f(u,v)+λφ(u,v)，λ稱拉格朗日乘數(shù)；2. 將l分別對u、v求偏導(dǎo),得方程組,求出駐點P(u,v).如果這個實際問題的最大或最小值存在,一般說來駐點唯一,于是最值可求.

設(shè)拉格朗日函數(shù)為F(u,v)=f(u,v)+λg(u,v)，

上面探討可知,柯西不等式法,向量法,方差法只能求出函數(shù)的最大值,其它7種方法不僅可以求出最大值,而且可以求出最小值.

三、教學(xué)啟示

在平時的習(xí)題教學(xué)中,我們?nèi)绻朴谶\(yùn)用一題多解, 既發(fā)揮了例題的最大功效,拓寬了學(xué)生的學(xué)習(xí)視野,培養(yǎng)了學(xué)生的綜合思維能力和創(chuàng)新能力,也提高了學(xué)生應(yīng)試能力.