淺談新課改下初中生“數(shù)形結(jié)合”思想的培養(yǎng)

姚德良

摘 要：數(shù)形結(jié)合，是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，它從形的直觀和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)兩方面思考問題，拓寬了解題思路，是數(shù)學(xué)的規(guī)律性和靈活性的有機(jī)結(jié)合。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;幾何意義;應(yīng)用;觀察力

中圖分類號(hào)：G633.6????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???? 文章編號(hào)：1992-7711（2020）15-073-1

數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，使代數(shù)問題與圖形之間相互轉(zhuǎn)化，也就是使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。簡(jiǎn)言之，“數(shù)形結(jié)合”就是把數(shù)學(xué)中“數(shù)”和數(shù)學(xué)中“形”結(jié)合起來解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想。

一、重視數(shù)學(xué)概念的幾何意義的教學(xué)

數(shù)學(xué)中的很多概念都有一定的幾何意義，要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，就要善于挖掘數(shù)學(xué)概念的幾何意義。剛進(jìn)入初中的學(xué)生在學(xué)習(xí)絕對(duì)值的概念時(shí)，教材對(duì)絕對(duì)值的幾何意義作了如下描述：“一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是指在數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離”。因此教師此時(shí)要有意識(shí)地重視講清：“|x|在數(shù)軸上表示數(shù)x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離”。

例1：在數(shù)軸上表示a、b兩個(gè)實(shí)數(shù)的點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)|a-b|-|a+b|。

解決這個(gè)問題應(yīng)從數(shù)軸上討論a，b的絕對(duì)值的大小，根據(jù)有理數(shù)加法、減法法則，從而確定a+b，a-b的符號(hào)。

通過認(rèn)真講述數(shù)學(xué)概念的幾何意義，溝通數(shù)與形的本質(zhì)聯(lián)系，不僅可以深化對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，而且還為提高學(xué)生解決問題的能力開辟了新途徑。所以從低年級(jí)起就要重視數(shù)學(xué)概念的幾何意義的教學(xué)，知難而進(jìn)，培養(yǎng)興趣，持之以恒，將會(huì)有極大的收益。

二、重視數(shù)學(xué)的基本圖象在函數(shù)、三角上的應(yīng)用

在初中階段，數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它要求學(xué)生把抽象的數(shù)或式與直觀的“形”（幾何圖形）結(jié)合起來，達(dá)到使問題容易理解，思路易于把握的效果，華羅庚所說的“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，正說明了數(shù)形結(jié)合思想的重要性。

例2：ax2+bx+c=0（a≠0）是一元二次方程。它的解可以理解為函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與常值函數(shù)y=0，即x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。那么當(dāng)公共點(diǎn)有兩個(gè)時(shí)，對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解;當(dāng)公共點(diǎn)只有一個(gè)時(shí)，對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解;當(dāng)沒有公共點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)解。

例3：①x2-x-6=0，x1=-2，x2=3，y=x2-x-6與x軸的公共點(diǎn)A（-2，0），B（3，0）。

②x2-2x+1=0，x1=x2=1，y=x2-2x+1與x軸的公共點(diǎn)A（1，0）。

③x2+1=0，沒有實(shí)數(shù)解，y=x2+1與x軸沒有公共點(diǎn)。

例4：如圖，A、B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地須經(jīng)C地沿折線A—C—B行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛。已知AC=10km，∠A=30°，∠B=45°，則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1km）（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73）

解析：過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D。構(gòu)造兩個(gè)有著公共邊的直角三角形。使得問題轉(zhuǎn)化到解直角三角形中的問題，

在Rt△CAD中，可求CD=5，AD=53。

在Rt△CBD中，可求BC=52，

∴AB=5+53，

∴AC+BC-AB=5+52-53≈3.4。

所以，隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走約3.4千米。

三、善用數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的觀察力

數(shù)形要結(jié)合，關(guān)鍵在于能根據(jù)函數(shù)式（或方程）畫出圖形和根據(jù)代數(shù)式分析其表示的幾何意義。數(shù)學(xué)上的有很多公式、定理都具有一定的幾何意義，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生深刻分析這些公式、定理與幾何圖形的內(nèi)在的本質(zhì)地聯(lián)系，從而尋求解決問題的有效方法。

例5：在某一個(gè)圓上，我們考察同一個(gè)弧所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系。

教師可以在黑板上畫圖，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察：

1.當(dāng)圓周角的一邊與圓心角的一邊共線（或圓心在圓周角的一邊上）時(shí)，我們可以很快發(fā)現(xiàn)“圓周角是圓心角的一半”（見圖1）;

2.當(dāng)圓心在圓周角內(nèi)時(shí)，我們只要做一條輔助線（連接圓形和圓周角的頂點(diǎn)的直徑），再利用前面的結(jié)果又可發(fā)現(xiàn)“圓周角是圓心角的一半”（見圖2）;

3.當(dāng)圓心在圓周角外時(shí)，做同樣的輔助線可以利用前面的結(jié)果得到“圓周角是圓心角的一半”（見圖3）。

我們從以上三個(gè)個(gè)別情形可以推得一般結(jié)論：“在任何情形下，同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半”。

總之，數(shù)形結(jié)合是具體與抽象、感知與思維的結(jié)合，是發(fā)展形象思維與抽象思維一并使之相互轉(zhuǎn)化的有力“杠桿”。教師應(yīng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中盡量發(fā)掘“數(shù)”與“形”的本質(zhì)聯(lián)系，借助數(shù)形結(jié)合的“慧眼”，探索分析問題和解決問題的方法，變學(xué)生學(xué)會(huì)為會(huì)學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中真正實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育。

（作者單位：南京市江寧區(qū)周崗學(xué)校，江蘇 南京210000）