電感簡(jiǎn)單精確數(shù)學(xué)模型解決方案

摘 要：本文分析了多個(gè)平面電感表達(dá)式，經(jīng)與三維場(chǎng)求解器預(yù)測(cè)模型進(jìn)行比較，為方形、六角形、八角形和圓形螺旋電感器的電感計(jì)算提出了簡(jiǎn)單而精確的新表達(dá)式。新的電感表達(dá)式與場(chǎng)求解器的電感值匹配通常在3%左右以內(nèi)，比先前電感表達(dá)式高大約一個(gè)數(shù)量級(jí)。新電感表達(dá)式的匹配度在5%左右，而先前電感表達(dá)式的誤差在20%左右。新的電感簡(jiǎn)單表達(dá)式能夠滿足準(zhǔn)確設(shè)計(jì)和優(yōu)化電感器或包含電感器的電路。

關(guān)鍵詞：電感;集成電路;精確;簡(jiǎn)單

低成本射頻集成電路（RF-IC）不斷增長(zhǎng)的需求為片上無(wú)源元件帶來(lái)大發(fā)展。片上無(wú)源元件為電阻、電容和電感，片上電阻和電容易于建模和實(shí)現(xiàn)。片上電感器的實(shí)現(xiàn)相對(duì)較困難，對(duì)于電感器實(shí)現(xiàn)的設(shè)計(jì)和建模投入了大量精力，片上電感器實(shí)現(xiàn)較可行的方案是引線鍵合和平面螺旋幾何形狀。盡管引線鍵合可以實(shí)現(xiàn)較高的品質(zhì)因數(shù)（Q，Quality），但典型的Q值在20至50范圍內(nèi)，電感值易受到限制，并且易對(duì)生產(chǎn)波動(dòng)非常敏感。另一方面，平面螺旋電感器具有有限的Q，但是其電感在廣泛的工藝變化范圍內(nèi)具有很好的穩(wěn)定性。平面螺旋電感器已成為通信電路塊的基本元件，例如壓控振蕩器（VCO，Voltage Controlled Oscillator），低噪聲放大器（LNA，Low Noise Amplifier），混頻器（Mixer）和中頻濾波器（IFF，IF Filter）。

使用集總電路對(duì)螺旋電感器進(jìn)行建模，可以通過(guò)求解來(lái)精確麥克斯韋方程計(jì)算電感。一個(gè)非常精確的數(shù)值解可能通過(guò)使用三維（3-D）有限元獲得模擬器，例如MagNet。但是，3D模擬器計(jì)算量大，需要較長(zhǎng)的運(yùn)行時(shí)間，因此更適合驗(yàn)證電感的設(shè)計(jì)。另一種技術(shù)是使用溫室方法計(jì)算電感，溫室方法提供了足夠高的準(zhǔn)確性和足夠快的速度，但不能直接提供電感器設(shè)計(jì)規(guī)格的限制，并且對(duì)于初始設(shè)計(jì)而言很繁瑣。在設(shè)計(jì)中可以使用一個(gè)簡(jiǎn)單的近似值電感表達(dá)式，雖然簡(jiǎn)單表達(dá)式能夠計(jì)算出正確的電感數(shù)量級(jí)，但典型誤差為20%或更大，這對(duì)于電路設(shè)計(jì)和優(yōu)化而言是難以接受的。

本文中建立了方形、六角形、八邊形和圓形的電感平面電感器新的近似表達(dá)式。近似表達(dá)式由三個(gè)表達(dá)式組成：（1）近似值基于修改后的惠勒開發(fā)的表達(dá)規(guī)范;（2）通過(guò)近似地從電磁原理得出螺旋的側(cè)面作為電流表;（3）從擬合到大型數(shù)據(jù)庫(kù)中得出的單項(xiàng)式表達(dá)式電感的數(shù)量及精確的電感值。這三個(gè)表達(dá)式都是準(zhǔn)確的，典型誤差為2～3%，并且非常簡(jiǎn)單，因此非常適合用于電感設(shè)計(jì)和綜合。

近似表達(dá)式的準(zhǔn)確性可以通過(guò)兩種方式進(jìn)行評(píng)估：使用場(chǎng)求解器模擬以及使用測(cè)量數(shù)據(jù)。使用ASITIC程序?qū)崿F(xiàn)了仿真，ASITIC程序是一種簡(jiǎn)化的現(xiàn)場(chǎng)求解器，用于設(shè)計(jì)電感器和變壓器。仿真時(shí)電感器的dout在100～480μm之間變化，L在0.5～100nH之間變化，w在2μm～0.3dout之間變化，s變化范圍在2μm～3μm，din在0.1～0.9dout之間變化。使用ASITIC程序?qū)﹄姼衅鬟M(jìn)行模擬，涵蓋了用于RF電路設(shè)計(jì)的整個(gè)設(shè)計(jì)空間。

1 電感模型優(yōu)化

1.1 優(yōu)化惠勒公式

惠勒電感器模型提出了平面螺旋線的公式，公式可用于離散的電感器。對(duì)惠勒電感器模型進(jìn)行修改，以獲得對(duì)平面螺旋集成電感器有效的表達(dá)式公式1。

Lmw=K1μ0n2davg1+K2ρ（1）

其中ρ是先前定義的填充率，表示電感器空心程度。對(duì)于數(shù)值較小的ρ，電感器為一個(gè)空心電感（dout≈din），對(duì)于數(shù)值較大的ρ，則可以得到完整電感器（doutdin）。具有相同平均直徑但填充率不同的兩個(gè)電感器將具有不同的電感值。完整的電感具有較小的電感，因?yàn)槠鋬?nèi)部匝數(shù)更接近螺旋的中心，因此表現(xiàn)表現(xiàn)出較小的正互感和較大的負(fù)互感。

1.2 平面螺旋電感幾種近似的精確表達(dá)方式

平面螺旋電感的簡(jiǎn)單而精確的表達(dá)式還可以等效電流密度的對(duì)稱電流表來(lái)確定螺線。例如，在正方形的情況下，獲得四個(gè)相同的當(dāng)前工作表。相對(duì)極板上的電流板彼此平行，而相鄰的板正交?；趯?duì)稱性和具有正交電流極板間的互感為零，可以將電感的計(jì)算簡(jiǎn)化為計(jì)算一塊板的自感和相對(duì)電流板之間的互感。自感和互感使用幾何平均距離（GMD，Geometrical Mean Distance）、算術(shù)平均距離（AMD，Arithmeticl Mean Distance）和算術(shù)平均平方距離（AMSD，Arithmeticl Mean Square Distance）的概念進(jìn)行評(píng)估。表達(dá)式如公式（2）所示：

公式（3）非常準(zhǔn)確且非常簡(jiǎn)單，它的實(shí)際用途可以通過(guò)使用地磁前饋法來(lái)優(yōu)化電感器和包含電感器的電路的設(shè)計(jì)，這是一種使用單項(xiàng)式模型的優(yōu)化問(wèn)題。

2 誤差分布分析

圖1①顯示了與使用場(chǎng)解算器ASITIC計(jì)算出的電感相比，先前電感表達(dá)式的誤差分布。將電感L的近似值L^的絕對(duì)百分比誤差定義為100（L^-L）/L。水平軸給出絕對(duì)百分比誤差水平，垂直軸顯示誤差超過(guò)指定水平的電感器比例。誤差分布曲線越接近到y(tǒng)軸，則表達(dá)式越精確。可以從曲線確定一些重要的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。通過(guò)在50%的水平線上跟隨水平線，可以讀取每個(gè)近似值的中值誤差。通過(guò)以一定誤差水平跟隨一條垂直線，可以找到近似值相對(duì)準(zhǔn)確的電感值，最大誤差由曲線到達(dá)x軸的點(diǎn)給出。

這與克洛斯的表的情況相對(duì)應(yīng)。中位數(shù)誤差約為18%;還可以看到最大誤差約為25%。上述所有表達(dá)式均具有明顯的平均失調(diào)誤差，傾向于高估或低估電感。但是，即使將表達(dá)式縮放為零平均誤差（通過(guò)將每個(gè)表達(dá)式乘以一個(gè)恒定的校正因子或添加一個(gè)固定的偏移量），誤差通常仍可達(dá)15～20%，在某些情況下會(huì)更大。

圖②顯示了絕對(duì)誤差分布的表達(dá)式。在圖①中，由于這里的誤差較小但是水平誤差較小。該圖顯示典型誤差在1～2%的范圍內(nèi)，并且大多數(shù)誤差小于3%，幾乎比先前文獻(xiàn)記載的表達(dá)式高一個(gè)數(shù)量級(jí)。新的電感表達(dá)式雖然在復(fù)雜性上可以與以前報(bào)道的表達(dá)式相比，但是卻顯示出更好的準(zhǔn)確性。

圖③將實(shí)驗(yàn)值與先前文獻(xiàn)記載的表達(dá)式預(yù)測(cè)的電導(dǎo)率進(jìn)行了比較，圖④將實(shí)驗(yàn)值與本文公式以及ASITIC預(yù)測(cè)的電感進(jìn)行比較。顯然與以前文獻(xiàn)記載的表達(dá)式相比，新的表達(dá)式表現(xiàn)出的誤差要小得多。尤其在實(shí)驗(yàn)與表達(dá)式之間的誤差接近20%的這一少數(shù)情況下，這表明在校準(zhǔn)或參數(shù)提取中存在大量測(cè)量誤差。

3 測(cè)量結(jié)果分析比較

將所有近似表達(dá)式預(yù)測(cè)的電感值與30個(gè)測(cè)得的電感值進(jìn)行比較。在表3中，將測(cè)得的電感值與各種表達(dá)式預(yù)測(cè)的值進(jìn)行了比較。表3所示的前5個(gè)電感器是使用0.35μm CMOS工藝的最高金屬水平（厚度為0.9μm）制造的。其余電感器的數(shù)據(jù)是從以前發(fā)表的文獻(xiàn)中獲得。

還可以將公式的準(zhǔn)確性放在螺旋電感器的其他變化和不確定性的背景下進(jìn)行討論。對(duì)于螺旋電感設(shè)計(jì)，建模和仿真的主要限制是由于工藝變化而導(dǎo)致的氧化物厚度不確定性。工藝變化可能導(dǎo)致電感器模型中的寄生電容變化約5%～10%。這些變化轉(zhuǎn)化為螺旋線阻抗的不確定性，其大小與新的表達(dá)式所引入的誤差相同。這種局限性表明，沒(méi)有必要使用比所獲得的精度更高的電感表達(dá)式，并且表達(dá)式可以用于電路設(shè)計(jì)和優(yōu)化。

4 結(jié)論

在本文中，為方形、六邊形、八邊形和圓形的螺旋電感器提供了三個(gè)簡(jiǎn)單的近似匹配表達(dá)式。公式（1）表達(dá)式為修改后的Wheeler表達(dá)式，是通過(guò)修改Wheeler為分立電感器獲得的表達(dá)式獲得的。該表達(dá)式很簡(jiǎn)單，并且具有非常好的準(zhǔn)確性。公式（2）是從電磁原理得出的，方法是用電流分布均勻的電流板近似螺旋的側(cè)面。該表達(dá)式是直觀的，并且在形式上類似于用于更常規(guī)的元件的電感表達(dá)式。公式（3）是通過(guò)數(shù)據(jù)擬合技術(shù)獲得的。盡管它缺乏其他兩個(gè)近似值的直觀推導(dǎo)，但它非常適合使用幾何編程進(jìn)行電路優(yōu)化。

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作者簡(jiǎn)介：鄒玉東（1971—），男，漢族，河南安陽(yáng)人，本科，電氣技術(shù)中級(jí)，研究方向：電力電子。