函數(shù)的基本性質(zhì)重點(diǎn)突破

游紹緒

函數(shù)的基本性質(zhì)主要是指單調(diào)性和奇偶性，但是，我們應(yīng)當(dāng)明確函數(shù)的基本性質(zhì)中有哪些重點(diǎn)，遇到相應(yīng)的題型應(yīng)如何處理與解決，又需要掌握哪些方法，這些都是我們需要落實(shí)的。

重點(diǎn)1：函數(shù)單調(diào)性的判斷與應(yīng)用

證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法主要是定義法(在解決選擇題或填空題時(shí)可用圖像法)。

重點(diǎn)2：利用函數(shù)的奇偶性求解析式

若f x( )為奇函數(shù)，則它的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，反之也成立；若f x( ) 為偶函數(shù)，則它的圖像關(guān)于y軸對稱，反之也成立。這個(gè)結(jié)論提供了結(jié)合圖像處理函數(shù)奇偶性問題的依據(jù)，這也是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)與應(yīng)用。

重點(diǎn)3：函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用

例3 定義在R 上的偶函數(shù)f x( )滿足：對任意的x1，x2∈(-∞，0](x1≠x2)，都有(x2-x1)[f x2( )-f x1( )]＞0，則當(dāng)n∈N*時(shí)，有( )。

A.f-n( )＜f n-1( )＜f n+1( )

B.f n+1( )＜f-n( )＜f n-1( )

C.f n-1( )＜f-n( )＜f n+1( )

D.f n+1( )＜f n-1( )＜f-n( )

解：因 為 對 任 意 的x1，x2∈(-∞，0](x1≠x2)，都有(x2-x1)[f x2( )-f x1( ) ]＞0，所以當(dāng)x2-x1＞0，即x2＞x1時(shí)，則f x2( )-f x1( )＞0，即f x2( )＞f x1( )。當(dāng)x2-x1＜0，即x2＜x1時(shí)，則f x2( ) -f x1( )＜0，即f x2( )＜f x1( )。故函數(shù)f x( )在(-∞，0]上為單調(diào)遞增函數(shù)。

又因?yàn)閒 x( ) 在R 上是偶函數(shù)，所以f x( ) 在[0，+ ∞)上為單調(diào)遞減函數(shù)，則f n+1( )＜f n( )＜f n-1( )，即f n+1( )＜f-n( )＜f n-1( )。應(yīng)選B。

奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反。利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，關(guān)鍵是利用奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用單調(diào)性進(jìn)行比較。