由一道題目引發(fā)的圓錐曲線性質(zhì)的猜想與證明

孫濤

摘要：圓錐曲線是高考的重要內(nèi)容之一，所占分?jǐn)?shù)也比較高，有針對性地考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，解答題主要是以圓或橢圓為基本依托，考查橢圓方程的求解、考查直線與曲線的位置關(guān)系，除了本身知識(shí)的綜合，還會(huì)與其他知識(shí)如向量、函數(shù)、不等式等知識(shí)構(gòu)成綜合題，重點(diǎn)掌握直線與圓錐曲線相關(guān)問題的基本求解方法與策略，提高運(yùn)用函數(shù)與方程思想、向量與導(dǎo)數(shù)的方法來解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：橢圓;雙曲線;拋物線;方程思想

題目：橢圓E的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，離心率，過F₁的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF₂周長為8。

（1） 求橢圓E的方程;

（2） 設(shè)動(dòng)直線∶y=kx+m橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q，試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由。

經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，直線x=4為橢圓E的右準(zhǔn)線：，而定點(diǎn)M（1，0）為橢圓的右焦點(diǎn)。筆者大膽猜想：

猜想一（由橢圓右準(zhǔn)線、右焦點(diǎn)聯(lián)想橢圓左準(zhǔn)線、左焦點(diǎn)） ： 橢圓E：的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，動(dòng)直線∶y=kx+m與橢圓E相切于點(diǎn)P，若直線與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，那么以PQ為直徑的圓恒過橢圓的右焦點(diǎn)F₂;若直線與橢圓E的左準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，那么以PQ為直徑的圓恒過橢圓的左焦點(diǎn)F₁。

下面以證明“橢圓E：的右焦點(diǎn)為F₂，動(dòng)直線∶y=kx+m與橢圓E相切于點(diǎn)P，若直線與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，那么以PQ為直徑的圓恒過橢圓的右焦點(diǎn)F₂”。

證明：由得，

因?yàn)閯?dòng)直線與橢圓E相切于點(diǎn)P，所以m≠0，△=0，即

化簡得（*），因?yàn)?/p>

所以，由

得，假設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)存在以PQ為直徑

的圓恒過定點(diǎn)M，由圖形的對稱性知，點(diǎn)M必在x上，設(shè)M（x₀，0），則，對滿足*式的m，k恒成立。因?yàn)?/p>

，由得，

，整理得

（**），由于（**）式對滿足（*）式的m，k恒成立，所以

，解得x₀=c，所以定點(diǎn)M（c，0）即為橢圓E的右焦點(diǎn)F₂，所以以PQ為直徑的圓恒過橢圓的右焦點(diǎn)F₂。

（本題也可直接由證得）

猜想二（由橢圓聯(lián)想雙曲線）：雙曲線E：的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，動(dòng)直線∶y=kx+m與雙曲線E相切于點(diǎn)P，若直線與雙曲線E的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，那么以PQ為直徑的圓恒過雙曲線的右焦點(diǎn)F₂;若直線與雙曲線E的左準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，那么以PQ為直徑的圓恒過橢圓的左焦點(diǎn)F₁。

證明方法與證明橢圓的方法相同。

猜想三（由橢圓聯(lián)想拋物線）：拋物線E：y²=2px的焦點(diǎn)為F，動(dòng)直線∶y=kx+m與拋物線E相切于點(diǎn)P，且與拋物線E的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，那么以PQ為直徑的圓恒過拋物線的焦點(diǎn)F。

證明：由得k²x²+2（km-p）x+m²=0，因?yàn)閯?dòng)直線與橢圓E相切于點(diǎn)P，所以k≠0，△=0，即4k²m²+4p²-8kpm-4k²m²=0化簡得p=2km（*），因?yàn)樗?，由得，假設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)存在以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)M，由圖形的對稱性知，點(diǎn)M必在x上，設(shè)M（x₀，0），則，對滿足*式的m，k恒成立。因?yàn)?，，由得，整理得?*）由于（**）式對滿足（*）式的m，k恒成立，所以，解得，所以定點(diǎn)M即為拋物線E的焦點(diǎn)F，所以以PQ為直徑的圓恒過拋物線的焦點(diǎn)F。