寬帶多普勒測速技術(shù)中的發(fā)射信號?

黎美琪 王長紅 鄧 鍇

(1 中國科學(xué)院聲學(xué)研究所 北京 100190)

(2 中國科學(xué)院大學(xué) 北京 100049)

(3 北京市海洋聲學(xué)裝備工程技術(shù)研究中心 北京 100190)

0 引言

多普勒測速技術(shù)被廣泛應(yīng)用于海洋、醫(yī)學(xué)、氣象、軍事等領(lǐng)域[1?5]。復(fù)協(xié)方差頻移估計測速法[6?9]簡單高效且實時性好，是測頻的主要方法。測速數(shù)據(jù)質(zhì)量可用偏差及標(biāo)準(zhǔn)差來量化[10]，多普勒頻移測量(以下簡稱測頻)誤差是載體速度測量(以下簡稱測速)誤差的主要來源，可將測速誤差分析簡化為測頻誤差分析[1]。

聲波信號作為系統(tǒng)測速的載體，直接影響測速性能，是多普勒測速技術(shù)的關(guān)鍵。學(xué)者多研究相位編碼信號的相關(guān)特性[8?9]，缺乏對頻譜特性的深入研究。在相關(guān)特性方面，文獻(xiàn)[8]從自噪聲角度論述偽隨機二相編碼不是最佳波形，以最小方差為目標(biāo)設(shè)計了多相編碼信號；文獻(xiàn)[9]利用回波自相關(guān)第一個旁瓣的位置解決測速模糊。文獻(xiàn)[8–9]對信號特性的分析均僅限于相關(guān)性，而沒有從頻譜角度進(jìn)行分析，本文從頻譜角度論述偽隨機二相編碼不是最佳波形，以最小不對稱系數(shù)為目標(biāo)設(shè)計差分重復(fù)偽隨機Blackman 碼元幅度調(diào)制編碼信號。在頻譜特性方面，已有關(guān)于編碼信號頻譜特性[11?13]的研究中，一般直接假設(shè)時域發(fā)射信號為復(fù)數(shù)形式。如文獻(xiàn)[11]推導(dǎo)了復(fù)數(shù)形式的偽隨機二相編碼信號頻譜表達(dá)式，文獻(xiàn)[12]介紹了該復(fù)數(shù)形式編碼信號的相關(guān)和頻譜特性并根據(jù)相關(guān)性討論編碼參數(shù)的選擇原則，文獻(xiàn)[13]在文獻(xiàn)[11–12]的基礎(chǔ)上研究了復(fù)數(shù)形式的非差分重復(fù)偽隨機二相編碼信號的頻譜特性，與矩形正弦填充脈沖的頻譜進(jìn)行比較，從頻域分析了測速模糊。以上學(xué)者均認(rèn)為編碼信號頻譜關(guān)于載頻對稱。但實際上，時域發(fā)射信號為實信號，不能簡單假設(shè)為復(fù)數(shù)形式，編碼信號頻譜也并不關(guān)于載頻對稱，該不對稱主要由正負(fù)單邊譜旁瓣的相互影響引起。文獻(xiàn)[14]指出實數(shù)形式的二相調(diào)制信號頻譜要關(guān)于載頻對稱，需基帶脈沖頻譜左右頻移后的譜沒有混疊，即只有高載頻才能忽略近似性。文獻(xiàn)[1]以常用的偽隨機二相編碼信號為例對上述不對稱性原因進(jìn)行了簡要說明，推導(dǎo)了非差分重復(fù)偽隨機二相編碼信號的不對稱系數(shù)以量化頻譜不對稱程度，并指出頻譜不對稱是測頻偏差的重要來源之一。但是文中沒有對編碼信號的頻譜表達(dá)式、頻譜構(gòu)成做詳細(xì)的理論推導(dǎo)及分析，沒有對發(fā)射信號的形式進(jìn)行討論。在雷達(dá)系統(tǒng)中，由于大信號的旁瓣會淹沒小信號，學(xué)者對旁瓣抑制技術(shù)進(jìn)行了較為細(xì)致的研究[15?16]，但少有學(xué)者將旁瓣與測頻誤差聯(lián)系起來。為提高低信噪比條件下的測速精度，往往對編碼信號進(jìn)行重復(fù)進(jìn)而增加發(fā)射信號長度[17]，而在編碼信號的重復(fù)方式上，目前多為簡單重復(fù)，對差分重復(fù)方式的研究較少。且文獻(xiàn)[13]中推導(dǎo)得出的重復(fù)偽隨機二相編碼信號頻譜表達(dá)式僅適用于非差分重復(fù)方式，文中給出了適用于非差分與差分兩種重復(fù)方式的頻譜表達(dá)式。

本文在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析不同發(fā)射編碼信號的頻譜特性，并基于點回波寬帶測頻模型分析測頻性能。頻譜特性方面，推導(dǎo)了不同編碼信號的頻譜表達(dá)式并對頻譜的構(gòu)成及不對稱特性進(jìn)行了詳細(xì)分析；測頻性能方面，基于點回波模型下的復(fù)協(xié)方差法多普勒頻移估計，仿真分析了不同編碼信號的測頻偏差及標(biāo)準(zhǔn)差。本文對多普勒測速結(jié)果校正、發(fā)射信號波形設(shè)計均具有重要指導(dǎo)意義。

1 偽隨機二相編碼信號頻譜不對稱原因分析

寬帶測速方式發(fā)射編碼相干脈沖串信號，比較常用的是偽隨機二相編碼信號，下面以其為例分析發(fā)射信號頻譜不對稱原因。

一般假設(shè)偽隨機二相編碼信號的復(fù)數(shù)形式：

其中，?(t)為相位調(diào)制函數(shù)，取0或π；f0為頻率調(diào)制載頻；a(t)為編碼信號幅度調(diào)制函數(shù)：

其中，L為編碼信號碼元數(shù)，T為碼元寬度，LT為單段編碼信號時長，根據(jù)δ函數(shù)性質(zhì)，復(fù)包絡(luò)可寫成

其中，ci為碼元編碼序列，v(t)為碼元幅度調(diào)制函數(shù)：

實際上發(fā)射信號為實信號，偽隨機二相編碼信號的實數(shù)形式為

由于

又

則s(t)的頻譜S(f)為雙邊譜：

從式(3)、式(5)可以看出，二相調(diào)制本質(zhì)上相當(dāng)于雙極性碼元幅度調(diào)制，U?(f)完全由碼元幅度調(diào)制函數(shù)v(t)及偽隨機碼序列ci決定，當(dāng)單個碼元由Rectangle窗調(diào)制，V(f)=Tsinc(fT)e?jπfT，對應(yīng)的(f)旁瓣高、衰減慢；ci決定編碼信號相關(guān)特性，該特性已在大量文獻(xiàn)中被討論，不再細(xì)述。編碼信號時域波形可看作子矩形脈沖的疊加，頻譜亦可看作子脈沖頻譜的疊加。從式(10)可以看出，實數(shù)形式的偽隨機二相編碼信號，在頻譜上表現(xiàn)為正負(fù)單邊譜的疊加，在以往學(xué)者的研究中往往忽略了負(fù)單邊譜。

以采樣頻率fs= 20 MHz、中心頻率f0=600 kHz、編碼信號碼元數(shù)L= 7、填充系數(shù)Q= 6、編碼序列c= [?1,1,?1,?1,1,1,1]為仿真參數(shù)，實數(shù)形式的偽隨機二相編碼信號的時域波形及頻譜組成示意圖如圖1所示。

圖1 二相編碼信號頻譜組成原理Fig.1 Principle of spectrum composition of two-phase coded signals

由碼元編碼序列c，將信號看作4個子矩形脈沖的疊加，其時域波形如圖1(a)所示，at為編碼信號，ati(i= 1,2,···,4)為根據(jù)相位跳變位置分割所得的4 個子矩形脈沖。由圖1(a)可知：不同碼符號邊界，時域波形幅值反轉(zhuǎn)；每一個碼元內(nèi)填充Q=6個余弦波。信號的頻譜疊加示意圖如圖1(b) 所示，af為編碼信號頻譜，afi(i=1,2,···,4)為子矩形脈沖對應(yīng)的子頻譜，sum為子頻譜afi的疊加。由圖1(b)可知：af與sum 完全重合，子頻譜疊加得到編碼信號頻譜，信號頻譜旁瓣較高，衰減較慢。子脈沖長度越長，子頻譜能量越集中在中心頻率附近，但頻譜帶寬不變，帶寬由載頻和填充系數(shù)決定B=f0/Q。實數(shù)形式的偽隨機二相編碼信號頻譜幅值不對稱示意圖如圖1(c)所示，、、S分別為負(fù)單邊譜、正單邊譜、正負(fù)單邊譜疊加后實信號的真實頻譜，由于的符號以?f0為中心，每經(jīng)過頻率長度B即變換正負(fù)，且在以f0為中心的±B范圍內(nèi)同符號，故在正頻率軸的旁瓣對的影響在f0兩側(cè)是相反的(對的影響同理)，造成±f0兩側(cè)的頻譜不對稱。即正負(fù)單邊譜旁瓣的相互影響導(dǎo)致最終實信號的頻譜S在正頻率部分不再關(guān)于直線f=f0對稱。

頻譜的以上旁瓣高、衰減慢、不對稱特性是由于單個碼元由Rectangle 調(diào)制。為了減小不對稱性，單個碼元用Blackman 窗調(diào)制，碼元幅度調(diào)制函數(shù)為

編碼序列不變，則實數(shù)形式的Blackman 碼元幅度調(diào)制寬帶編碼信號的頻譜為

其中，U?B(f) =VB(f)C(f)，VB(f)為vB(t)的頻域表達(dá)。

仿真參數(shù)同圖1，碼元幅度調(diào)制函數(shù)分別如式(4)、式(11)所示，編碼信號的時域波形及頻譜結(jié)構(gòu)如圖2 所示。圖2(a)為分別用Rectangle、Blackman 窗調(diào)制碼元幅度的偽隨機二相編碼信號時域波形。圖2(b)中、S、SB分別為復(fù)數(shù)形式的Rectangle 窗碼元調(diào)制編碼信號頻譜、實數(shù)形式的Rectangle 窗碼元調(diào)制編碼信號頻譜、實數(shù)形式的Blackman 窗碼元調(diào)制編碼信號頻譜。正如前文所分析的，SB較S旁瓣衰減快，不對稱程度減??；主瓣展寬且幅度降低。

圖2 矩形窗及布萊克曼窗碼元幅度調(diào)制編碼信號時域波形及頻譜結(jié)構(gòu)Fig.2 Time domain waveform and spectrum structure of Rectangle and Blackman symbol amplitude modulation coded signals

2 參數(shù)對重復(fù)編碼信號不對稱系數(shù)的影響

本節(jié)給出重復(fù)編碼信號頻譜及不對稱系數(shù)的數(shù)學(xué)表示，并重點研究編碼信號碼元數(shù)L、重復(fù)次數(shù)R、填充系數(shù)Q、信號重復(fù)方式(差分/非差分)對不對稱系數(shù)的影響。

參考式(3)，復(fù)數(shù)形式的重復(fù)偽隨機二相編碼信號復(fù)包絡(luò)可寫為

其中，cRi為重復(fù)方式序列，非差分重復(fù)方式時cR為全1 序列，差分重復(fù)方式時，相當(dāng)于進(jìn)行了雙極性編碼信號幅度調(diào)制，調(diào)制序列為cR= [1,?1,1,?1,···]，由傅里葉變換可得復(fù)包絡(luò)頻譜：

根據(jù)第1 節(jié)中的正負(fù)單邊譜疊加理論，可得實數(shù)形式的重復(fù)偽隨機二相編碼信號的頻譜為

文獻(xiàn)[13]中分析非差分重復(fù)方式的編碼信號頻譜時，將式(14)亦寫作

由于第1 節(jié)中已經(jīng)對U?(f)進(jìn)行了詳細(xì)說明，下面重點分析式(14)中的第二項：

顯然e?j2πfkLT為周期函數(shù)，假設(shè)其周期為?f，則有

每一個碼元由Q個載頻為f0的余弦波填充，故單個碼元時間長度T=Q/f0，代入式(18)得

即無論重復(fù)方式如何，F(xiàn)cR均由一系列間隔為?f的譜線構(gòu)成。非差分重復(fù)方式時，cR為全1 序列，F(xiàn)cR(f ?f0)在f=f0+?f/2處取值為0，在f=f0時取得極大值，即f=f0處對應(yīng)一條譜線。差分重復(fù)方式時，F(xiàn)cR又可寫作

FcR(f ?f0)在f=f0處取值為0，在f=f0+?f/2處取得極大絕對值，即f=f0+?f/2 處對應(yīng)一條譜線。

重復(fù)次數(shù)R=6、編碼信號幅度調(diào)制序列cR= [1,1,1,1,1,1]或[1,?1,1,?1,1,?1]、其他仿真參數(shù)同圖1，復(fù)數(shù)形式的重復(fù)偽隨機二相編碼信號頻譜如圖3所示。

圖3(a)中FcRno、FcR分別表示非差分、差分重復(fù)方式對二相編碼信號頻譜調(diào)制的脈沖序列。如前文所分析的，兩者均由一系列間隔為?f= 14.3 kHz 的譜線構(gòu)成，前者在f=f0處為極大值點，后者在f=f0+?f/2 處為極大值點。圖3(b)中、Rno、R1no、R1分別表示非重復(fù)信號頻譜(可表示譜包絡(luò))、文獻(xiàn)[13]推導(dǎo)的非差分重復(fù)信號頻譜、本文中推導(dǎo)的非差分重復(fù)信號頻譜及差分重復(fù)信號頻譜。顯然Rno、1no完全重合，即本文推導(dǎo)的結(jié)果與文獻(xiàn)[13]吻合。圖3(b)中較圖1(b)中表現(xiàn)了更多頻譜細(xì)節(jié)，因為其為公式直接推導(dǎo)得到，而圖1 為時域信號傅里葉變換仿真得到，受頻率分辨率影響，圖1(b)不能表現(xiàn)全部細(xì)節(jié)故整體比較平滑。對比分析、R1no、R1，重復(fù)編碼信號時域上進(jìn)行周期重復(fù)，對應(yīng)于頻域上乘一系列間隔為?f的脈沖(FcRno、FcR)，從而將頻譜離散化，或者稱為“頻域采樣”，頻譜包絡(luò)較近似不變；差分重復(fù)編碼信號相當(dāng)于對編碼信號幅度再進(jìn)行cR= [1,?1,1,?1,···]的調(diào)制，亦等價為單段編碼信號進(jìn)行一次正負(fù)加權(quán)疊加后所得的信號進(jìn)行R/2 次周期重復(fù)，該方式改變脈沖位置而不改變脈沖形狀，故頻譜包絡(luò)依然近似不變。但是兩種方式所得包絡(luò)對原始信號頻譜的表征均不完整，如R1no雖然能夠表現(xiàn)f0處的凹陷，但其他位置的凹陷均不能表現(xiàn)；R1則完全相反，能表現(xiàn)除f0外其他全部位置的凹陷。

圖3 非差分與差分重復(fù)編碼信號頻譜Fig.3 Non-differential and differential repetitive coded signal spectrum

根據(jù)以上分析，重復(fù)偽隨機二相編碼信號頻譜在正頻率軸有如下特點：形狀為梳狀譜，譜包絡(luò)近似等于偽隨機二相編碼信號頻譜；譜線以載頻f0為中心，在f0、f0+?f/2處，非差分、差分重復(fù)方式為極大值；有相同的頻率間隔?f，且單段編碼信號時間長度LT= 1/?f；在帶寬B內(nèi)非差分方式有2L+1條譜線、差分方式有2L條譜線；f0兩側(cè)的頻譜幅值不對稱，a= (a?L,a?L+1,···,aL?1,aL)表示譜線的幅值向量，非差分方式a0存在，差分方式a0不存在。設(shè)立頻譜幅值不對稱系數(shù)εasy以量化頻譜不對稱程度[1]：

其中，分子表示關(guān)于f0對稱的兩條譜線的幅值，分別與其他所有譜線幅值相乘做差值后的加權(quán)和；i表示當(dāng)前譜線位置；k表示與當(dāng)前譜線頻率相距k?f；γi= (fi ?f0)/?f為不同位置譜線的加權(quán)系數(shù)，分母的作用為歸一化。

下面仿真εasy隨寬帶編碼信號的參數(shù)Q、R、L、重復(fù)方式變化的情況。為減小柵欄效應(yīng)，選取f0= 500 kHz、Q= 4、其他仿真參數(shù)未特殊說明時同圖3。選取以f0為中心的2B范圍內(nèi)的譜線。不對稱系數(shù)隨各參數(shù)的變化情況如圖4所示。

圖4 中，nodiff、diff 表示非差分和差分重復(fù)方式，分別用黑色和紅色表示；rec、bla 表示Rectangle窗和Blackman 窗碼元幅度調(diào)制，分別用方塊和星形表示。從整體可以看出紅色比黑色曲線更接近直線0，即差分編碼方式可減小不對稱系數(shù)；星形曲線基本接近直線0，遠(yuǎn)小于方塊形曲線的幅度，文中提出的Blackman 碼元幅度調(diào)制編碼信號能夠顯著降低不對稱系數(shù)(εasy≈0，可以近似認(rèn)為頻譜完全對稱，即該編碼信號是以最小不對稱系數(shù)為目標(biāo)的最佳波形)。當(dāng)Q增大，不對稱系數(shù)整體呈下向降趨勢，因為Q越大，帶寬越小，單邊譜的相互影響就會越小，當(dāng)Q增大到一定程度，信號接近為窄帶信號，不對稱系數(shù)趨于0；當(dāng)L增大，不對稱系數(shù)整體呈上升趨勢，因為在一定的帶寬內(nèi)，譜線越密集，譜線間的相互影響越嚴(yán)重，且非嚴(yán)格巴克碼的相關(guān)性不理想，相應(yīng)的頻譜結(jié)構(gòu)對稱性不理想；R基本上不影響不對稱系數(shù)，因為其不影響整體包絡(luò)，主要決定單根譜線的分辨率，R越大，編碼信號時間越長，頻率分辨率越高，譜線越細(xì)。

圖4 不對稱系數(shù)隨各參數(shù)的變化情況Fig.4 The variation of the asymmetry coefficient with parameters

3 幾種編碼信號測頻性能的比較

本節(jié)主要分析第2 節(jié)中提出的4 種重復(fù)編碼信號：非差分Rectangle 調(diào)制(nodiff+rec)、差分Rectangle 調(diào)制(diff+rec)、非差分Blackman 調(diào)制(nodiff+bla)、差分Blackman 調(diào)制(diff+bla)對測頻誤差的影響。利用復(fù)協(xié)方差頻移估計測量目標(biāo)運動速度的流程[10]如圖5所示。

圖5 復(fù)協(xié)方差估計頻移進(jìn)而測速的流程圖Fig.5 Complex covariance variance estimation Dopplershift and speed measurement flow chart

文獻(xiàn)[18]指出，當(dāng)復(fù)相關(guān)運算所得相關(guān)函數(shù)的頻譜關(guān)于多普勒頻移偶對稱(不對稱系數(shù)為0)，多普勒頻移估計無偏。假設(shè)信號傳輸環(huán)境理想，頻譜幅值響應(yīng)為1(只考慮發(fā)射信號頻譜不對稱性)，由前面兩節(jié)的分析可知，不對稱系數(shù)不為0。文獻(xiàn)[1]指出相關(guān)時延不準(zhǔn)確且頻譜不對稱是測頻偏差的重要來源，并建立了基于復(fù)協(xié)方差法的寬帶測頻模型，本文利用其點回波寬帶測頻模型得接收信號

中心譜線f0對應(yīng)的多普勒頻移fd= 100 Hz，接收信號譜線間隔?ωr= ?ω(1+ωd/ω0)，n(t)為白噪聲，相關(guān)時延τ=LT，其他仿真參數(shù)同圖4。加入與信號頻帶相同帶寬內(nèi)的噪聲，不同信噪比條件下，按圖5所示流程進(jìn)行N=1000次仿真實驗，4種信號的不對稱系數(shù)如表1，測頻偏差及標(biāo)準(zhǔn)差如圖6所示。測頻偏差定義為確定信噪比下，估計多普勒頻移均值與真實多普勒頻移值fd的差；相對測頻偏差定義為測頻偏差與真實頻移的比值；測量標(biāo)準(zhǔn)差定義為

表1 4 種編碼信號的不對稱系數(shù)Table 1 Asymmetry coefficients of four coded signals

由表1 知，Blackman碼元幅度調(diào)制寬帶編碼信號的不對稱系數(shù)較Rectangle 碼元幅度調(diào)制低3 個數(shù)量級，差分重復(fù)方式較非差分方式具有更小的不對稱系數(shù)。Blackman 窗碼元調(diào)制信號的不對稱性系數(shù)已經(jīng)很小，故差分重復(fù)方式對不對稱系數(shù)的影響不大，差分重復(fù)方式在Rectangle 窗碼元調(diào)制信號中表現(xiàn)出較明顯的優(yōu)勢。差分重復(fù)Blackman 碼元幅度調(diào)制寬帶編碼信號具有最小的不對稱系數(shù)。

由圖6 可以看出，不考慮波束開角的點回波模型下，基于復(fù)協(xié)方差法的測頻性能具有與不對稱系數(shù)相似的規(guī)律。圖6(a)表明：Blackman窗碼元調(diào)制信號對應(yīng)的測頻偏差小于Rectangle 窗碼元調(diào)制信號；差分重復(fù)方式信號對應(yīng)的測頻偏差小于非差分重復(fù)方式，高信噪比時，diff+rec 較nodiff+rec的相對測頻偏差降低了約2‰,diff+bla 相比nodiff+bla 在偏差上的優(yōu)勢不明顯。圖6(b)表明：低信噪比時，Blackman 窗碼元調(diào)制信號對應(yīng)的測頻標(biāo)準(zhǔn)差明顯小于Rectangle 窗碼元調(diào)制信號?？偟膩砜矗琩iff+bla 具有最好的測頻性能，其與傳統(tǒng)的nodiff+rec相比：信噪比在0～?10 dB 范圍內(nèi)測頻標(biāo)準(zhǔn)差約下降2%～20%；信噪比高于10 dB 時相對測頻偏差約小5‰～6‰。

綜合表1 的不對稱系數(shù)值及圖6 的測頻誤差分析可知：不對稱系數(shù)越小，測頻偏差、標(biāo)準(zhǔn)差均越小，即測頻性能更佳。

圖6 不同編碼信號及信噪比條件下的測頻性能Fig.6 Frequency measurement performance with different coded signals and signal to noise ratio

4 結(jié)論

頻譜特性方面：二相編碼本質(zhì)上相當(dāng)于雙極性碼元幅度調(diào)制，當(dāng)調(diào)制窗為Rectangle 窗，編碼信號頻譜旁瓣高、衰減慢，正負(fù)單邊譜相互影響導(dǎo)致頻譜幅值不關(guān)于載頻對稱；當(dāng)調(diào)制窗為Blackman窗，其頻譜結(jié)構(gòu)近似關(guān)于載頻對稱。編碼信號頻譜不對稱程度可由不對稱系數(shù)量化。對于重復(fù)編碼信號，其頻譜為等間隔離散化的二相編碼信號頻譜，具有與非重復(fù)編碼信號相似的譜包絡(luò)，差分重復(fù)方式本質(zhì)上相當(dāng)于雙極性編碼信號幅度調(diào)制，差分較非差分重復(fù)方式具有更小的不對稱系數(shù)。

測頻性能方面：點回波模型下，基于復(fù)協(xié)方差法估計多普勒頻移，相關(guān)時延取值為發(fā)射信號長度。當(dāng)頻譜結(jié)構(gòu)對稱，測頻偏差接近0；當(dāng)頻譜不對稱，測頻偏差與頻譜不對稱程度相關(guān)。差分重復(fù)Blackman 碼元幅度調(diào)制寬帶編碼信號較目前常用的非差分重復(fù)偽隨機二相編碼信號具有更好的測頻性能，具體表現(xiàn)為：前者比后者的不對稱系數(shù)低3個數(shù)量級；信噪比在0～?10 dB范圍內(nèi)測頻標(biāo)準(zhǔn)差約下降2%～20%；信噪比高于10 dB 時相對測頻偏差約小5‰～6‰。量化不對稱程度的不對稱系數(shù)越小，測頻偏差、標(biāo)準(zhǔn)差均越小，即測頻性能更佳。