嶺回歸和主成分回歸下的蕪湖市社會消費品零售總額實證研究

尤游，劉蘇兵

(安徽機電職業(yè)技術學院 公共基礎教學部，安徽 蕪湖 241000)

在各類與消費有關的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中，社會消費品零售總額是表現(xiàn)國內消費需求最直接的數(shù)據(jù)。作為社會消費需求系統(tǒng)中反映消費需求的一個重要指標，一個城市的社會消費品零售總額直接反映了該地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展狀況和景氣程度[1]。蕪湖市作為安徽省第二大城市，在政治、經(jīng)濟、文化等方面都占有重要的地位。長三角一體化上升為國家戰(zhàn)略之后，蕪湖作為長三角城市群的一顆新星，也迎來了全新的發(fā)展和機遇。因此，研究蕪湖市社會消費品零售總額，分析其主要影響因素和增長幅度，對蕪湖市經(jīng)濟發(fā)展戰(zhàn)略的實施具有重要的借鑒價值，從政府層面也為刺激城鄉(xiāng)居民消費、促進區(qū)域經(jīng)濟發(fā)展提供一定的政策依據(jù)。

1 變量的選取和分析

近幾年不少專家學者對社會消費品零售總額的影響因素進行了深入的探討。其中，大多數(shù)主要從宏觀角度分析問題，并未結合地區(qū)特點量化分析，或進行回歸分析建立模型時，所采用的普通最小二乘法往往因為數(shù)據(jù)的病態(tài)特征不能反映實際情況。舒服華和王艷分別針對合肥市和江蘇省的社會消費品零售額展開嶺回歸模型討論，并給出針對性的建議[2-3]。本文在此基礎上針對蕪湖市的消費情況展開研究，刻畫其社會消費品零售額運行規(guī)律，以促進城鄉(xiāng)經(jīng)濟的高質量發(fā)展。

首先，結合蕪湖市2008-2018年的政府統(tǒng)計公報和統(tǒng)計年鑒，選取如下指標影響因素：

(1)城鎮(zhèn)、農(nóng)村常住居民人均可支配收入。在經(jīng)濟理論中，消費是隨著收入水平的變化而變化的，隨著收入的增加，居民的購買力會得到提高，進而人們的消費意愿會更加活躍。

(2)年末總人口。城市居民人口越多，消費支出也越多，消費需求更大，因此社會消費品零售總額與人口數(shù)應成正相關的關系。

(3)城鎮(zhèn)化率。城鎮(zhèn)化發(fā)展有利于擴大內需，提高生產(chǎn)效率，增強城市經(jīng)濟的輻射帶動作用。蕪湖市近年來不斷推進區(qū)縣規(guī)劃，使得城鎮(zhèn)化率不斷提升，同時也拉動了周邊地區(qū)的消費水平。

(4)居民消費價格指數(shù)(CPI)。它是度量居民生活消費品和服務價格水平隨著時間變動的相對數(shù)，是反映居民家庭購買消費品和服務項目價格水平變動情況的宏觀經(jīng)濟指標[4]。

(5)地區(qū)生產(chǎn)總值。國內生產(chǎn)總值是反映一個國家或地區(qū)的經(jīng)濟中所生產(chǎn)出的全部最終產(chǎn)品和勞務的價值，常被公認為是衡量國家經(jīng)濟狀況的最佳指標[5]，是國民經(jīng)濟的核心部分，所以它的增幅程度也直接影響了社會消費品零售總額的變化。

以上6個影響因素一般具有同向性，因此建立模型前需要考慮變量間的多重共線性。我們首先運用普通最小二乘法來估計模型參數(shù)，然后在考慮多重共線性的情況下，對經(jīng)典回歸分析進行修正，分別建立嶺回歸模型和主成分回歸模型，同時將兩種方法的預測結果進行類比分析，通過相對誤差來比較兩種修正模型的優(yōu)劣性。

2 相關理論介紹

2.1 多重共線性診斷

在進行回歸分析時，若變量間存在多重共線性，往往會出現(xiàn)回歸系數(shù)估計方差增大，估計參數(shù)通過不了顯著性檢驗，參數(shù)估計值的正負號往往和實際不符等現(xiàn)象，使得模型不再具有穩(wěn)定性，所以需要在建立模型之前對變量間的多重共線性進行診斷。

解決解釋變量的多重共線性最常用的方法是主成分回歸、嶺回歸和偏最小二乘法。這里主要研究嶺回歸和主成分回歸的改進過程。下面重點介紹嶺回歸的理論步驟。

2.2 嶺回歸

設多元線性模型Y=Xβ+ε，其中X為設計矩陣，當(X'X)-1存在時，β的最小二乘估計為：

(1)

針對多重共線性問題，1962年，霍爾(A.E.Hoerl)首先提出改進最小二乘估計的方法，稱為嶺估計。1970年，霍爾與肯納德(Kennard)合作，又進一步對嶺估計做了系統(tǒng)的發(fā)展[7]。嶺估計是對最小二乘估計方法進行修正的一種有偏估計，通過嶺參數(shù)k的不同取值獲得回歸參數(shù)的估計值，當k=0時就是普通最小二乘估計。

嶺估計損失部分信息，并降低精度，放棄了最小二乘法的無偏性，以此為代價得到更加穩(wěn)定的估計結果，具有更小的均方誤差，它對病態(tài)數(shù)據(jù)的擬合要優(yōu)于最小二乘法，專用于共線性數(shù)據(jù)分析[8]。當變量存在多重共線性，即數(shù)學描述為|X'X|≈0，那么我們在原本的相關矩陣X'X基礎上加上一個正常數(shù)矩陣kI(k>0)，使得X'X+kI接近奇異的程度將會大大降低，即X'X+kI=0的可能性比X'X=0的可能性小很多，從而使嶺估計具有更小的均方誤差，設嶺估計為：

(2)

3 蕪湖市社會消費品零售額影響因素分析

2018年蕪湖市零售總額首次突破千億，蕪湖市成為安徽省第二個跨過千億關口的城市。表1選取了2008-2018年的社會消費品零售總額、城鎮(zhèn)常住居民人均可支配收入、農(nóng)村常住居民人均可支配收入、年末總人口、城鎮(zhèn)化率、居民消費價格指數(shù)和地區(qū)生產(chǎn)總值統(tǒng)計數(shù)據(jù)。近11年間，社會消費品零售總額從2008年的203.2億元上升到2018年的1028.26億元，增幅達到406.03%，地區(qū)生產(chǎn)總值從2008年的914.97億元上升到2018年的3278.53億元，增幅達到258.32%，蕪湖市作為安徽省第二大城市，為安徽省的經(jīng)濟騰飛和發(fā)展貢獻了重要力量。

表1 蕪湖市社會消費品零售總額統(tǒng)計指標數(shù)據(jù)

設城鎮(zhèn)常住居民人均可支配收入、農(nóng)村常住居民人均可支配收入、年末總人口、城鎮(zhèn)化率、居民消費價格指數(shù)和地區(qū)生產(chǎn)總值分別為x1,x2,x3,x4,x5,x6，社會消費品零售總額為y，下面進行回歸分析。

3.1 最小二乘法回歸和多重共線性診斷

以表1數(shù)據(jù)為樣本，利用R軟件做最小二乘回歸，得到顯著性檢驗結果，相關系數(shù)為R2=0.9981，F(xiàn)值為891.4，P值為3.34×10-6，回歸方程為：

y=-31.7957+0.02554x1+0.0172x2+0.03426x3-2.21x4-1.2665x5-0.0037x6

(3)

這里社會消費品零售總額與城鎮(zhèn)化率、居民消費價格指數(shù)和地區(qū)生產(chǎn)總值都成負相關，顯然不符合事實，且x3,x5,x6的t檢驗統(tǒng)計量所對應的P值較大，說明變量x3,x5,x6的系數(shù)檢驗的顯著性水平不理想，綜合考慮解釋變量可能存在多重共線性，因為變量間的多重共線性會使回歸系數(shù)的估計方差增大，以致模型不再具有穩(wěn)定性。

下面對樣本數(shù)據(jù)進行多重共線性診斷，這里采用特征根判定法，通過程序運行得條件數(shù)K=3684.187>1000，說明變量之間存在嚴重的多重共線性。進一步通過比較相關矩陣X'X的特征值和相應的特征向量為：

λmin=0.00112

φ=(0.6225,0.088,0.0699,0.0299,0.0191,-0.7737)

圖1 嶺跡圖

下面分別采用嶺回歸和主成分回歸這兩種方法對經(jīng)典回歸分析進行修正。

3.2 嶺回歸

首先，我們利用R軟件對樣本數(shù)據(jù)進行嶺回歸分析，由于各指標數(shù)據(jù)的量綱不同，所以先對數(shù)據(jù)進行標準化。設置嶺參數(shù)k的取值范圍為0～1，間隔為0.05，共記錄21個嶺參數(shù)取值做嶺跡圖。結果如下：

由圖1可知，隨著k的逐漸增加，各個指標變量系數(shù)趨于穩(wěn)定。通過綜合比較，得到最佳嶺回歸系數(shù)k=0.5，對應的嶺估

計為：

所以樣本數(shù)據(jù)標準化后的嶺回歸方程為：

(4)

為了方便計算和類比分析，我們代入未標準化方程：

(5)

化簡得未標準化的嶺回歸方程為：

y=0.01183x1+0.01763x2+0.2023x3+0.1461x4+0.4215x5+0.104x6-283.7

(6)

3.3 主成分回歸

主成分分析是通過降維技術，在不損失太多信息的情況下利用正交旋轉變換把多個指標重新組合，得出少數(shù)幾個綜合指標，稱為主成分。各個主成分之間互不相關，并保留了原始變量的大部分信息，所以主成分回歸就很好地消除了多重共線性帶來的影響[9]。

通過計算相關矩陣的順序特征值和對應的特征向量，可知自變量的主成分相互獨立，克服了多重共線性，然后根據(jù)累積貢獻率選擇保留了原始信息的主成分。進一步對主成分進行回歸分析，為了對應于原變量，可以還原成原始數(shù)據(jù)對應的回歸方程。

首先主成分分析得到的累計貢獻率見表2：

表2 主成分的累計貢獻率

這里前三個主成分累積貢獻率已達到98%，所以另外三個可以舍去，達到降維的目的。設前三個主成分依次為Z1,Z2,Z3，則

Z1=0.48x1+0.475x2+0.393x3+0.29x4-0.272x5+0.48x6

(7)

Z2=-0.14x1-0.118x2-0.396x3+0.633x4-0.621x5-0.153x6

(8)

Z3=-0.183x1-0.225x2+0.545x3-0.416x4-0.65x5-0.156x6

(9)

進一步回歸分析得到相關系數(shù)R2為0.9885,F統(tǒng)計量值為288.7，P值為1.071×10-7，且主成分的t檢驗統(tǒng)計量P值均小于0.01，說明回歸系數(shù)和回歸方程均通過檢驗，模型擬合效果較好，得到主成分回歸方程如下：

y=579.713+128.223Z1-41.422Z2-46.475Z3

(10)

還原為原始數(shù)據(jù)的主成分回歸方程為：

y=0.0093x1+0.0128x2+1.1075x3+2.4349x4-4.5761x5+0.0911x6-48.99

(11)

為了比較嶺回歸和主成分回歸的擬合效果，通過計算其相對誤差如下表3，得到嶺回歸的平均相對誤差為2.52%，主成分回歸的平均相對誤差為9.94%，嶺回歸預測效果更好。

表3 兩種方法的預測結果及相對誤差

續(xù)表

4 結語

近年來，蕪湖市認真貫徹執(zhí)行調結構、促發(fā)展、穩(wěn)增長政策，積極落實擴大內需、促進消費的各項措施，全市消費品市場運行穩(wěn)中有進，繼續(xù)保持平穩(wěn)較快發(fā)展態(tài)勢。通過回歸模型的建立和分析，我們能看出農(nóng)村居民的消費影響力正在逐年提升，其購買力隨著城市交通和網(wǎng)絡購物的發(fā)展，已經(jīng)成為影響社會消費品零售總額的第一大要素。同時，進一步研究蕪湖市發(fā)布的統(tǒng)計公報也能看出一些潛在問題，如超市等傳統(tǒng)消費市場銷售形勢不佳，住宿業(yè)面臨較大下行壓力，出口走勢低迷等[10]。針對這些問題，結合上文對蕪湖市社會消費品零售總額的實證研究結果，筆者提出如下建議：(1)增加城鄉(xiāng)居民可支配收入。政府應大力促進勞動力市場的自由流動，擴大就業(yè)面，深化收入分配制度改革，縮小城鄉(xiāng)收入差距，均衡城鄉(xiāng)和區(qū)域發(fā)展。(2)健全社會保障體系，擴大社保覆蓋范圍。政府應為居民提供便捷有效的社會福利，使得絕大部分居民病有所醫(yī)、居有所住、老有所養(yǎng)，消除居民的后顧之憂，降低儲蓄意愿，從而釋放出巨大消費潛力，以便增長現(xiàn)時消費，增加內需。(3)促進實體經(jīng)濟與虛擬經(jīng)濟均衡發(fā)展。在如今網(wǎng)絡電商高速發(fā)展的背景下，實體經(jīng)濟應打破傳統(tǒng)局限，樹立協(xié)調發(fā)展意識，推進線上線下融合。同時要完善市場體系和制度建設，堅持對兩種經(jīng)濟一視同仁、統(tǒng)籌兼顧。