循序漸進中掌握
——無痕教育課堂實施策略案例解讀之三

蘇州大學(xué)教育學(xué)院碩士研究生 徐 斌

無痕教育的基本要義是隱藏目的與遵循規(guī)律，并通過不留痕跡的方式使學(xué)生在順其自然的狀態(tài)下獲得更好的教育和發(fā)展。我們認(rèn)為無痕教育理念下的課堂實施有四種基本策略：不知不覺中開始，潛移默化中理解，循序漸進中掌握，春風(fēng)化雨中提升。本文以案例的方式解讀第三種基本策略。

一、深度理解是掌握技能的前提

任何技能的掌握都離不開知識的理解。在基本技能的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生對程序和步驟有深刻的理解。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾在談到知識的鞏固性教學(xué)原則時指出：“鞏固性的原則要求學(xué)生長期地保持系統(tǒng)的知識、技能和技巧。如果對所學(xué)習(xí)的教材沒有深刻的理解，僅僅靠死記，是不能實現(xiàn)這個原則的?！倍P者在上一篇文章里也談到關(guān)于理解的三級水平：低級水平是知覺辨認(rèn)，即“是什么”；中級水平是意義本質(zhì)，即“怎么樣”；高級水平是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，即“為什么”。因此，高級水平的深度理解是掌握技能的必要條件。

【教學(xué)片段1】二年級《9的乘法口訣》

第一，讓學(xué)生每人動手每次加9，從9加到81，觀察發(fā)現(xiàn)得數(shù)之間有什么規(guī)律。_____________

第二，讓學(xué)生觀察五角星圖，在計算幾行共有多少個五角星的同時編出乘法口訣。_________

第三，引發(fā)學(xué)生把幾個9和幾個10相比，從減法角度出發(fā)再次算出得數(shù)。

1個9 比10少 1 是 9 2個9 比20少 2 是 18 3個9 比30少 3 是 27 4 個 9 比 40 少 是

第四，由乘法口訣計算乘法算式的得數(shù)過渡到計算相關(guān)除法算式的商。

第五，提出“如果哪一句9的乘法口訣一下子想不出來，你有什么辦法？”

最后，引入手指記憶法。

用手指可以幫助記住9的乘法口訣。你能看懂這些手勢的意思嗎？試一試，很快記住9的乘法口訣。

一般來說，乘法口訣的教學(xué)都是在理解乘法含義之后，由加法算式過渡到乘法算式，通過模仿與遷移編出每句口訣，然后通過強化練習(xí)，達到對乘法口訣的技能掌握。上述9的乘法口訣教學(xué)設(shè)計，不同于一般的口訣教學(xué)流程，而是打通了加減乘除四則運算思維，把乘法口訣的理解過程變成了規(guī)律探索過程和思維發(fā)展過程。通過展示直觀的五角星圖片，讓學(xué)生動筆，親自加一加，在動手實踐中經(jīng)歷每次加9的過程，在潛移默化中初步感知幾個9的數(shù)據(jù)由來及特征，為學(xué)習(xí)乘法口訣的含義做充分準(zhǔn)備，也為探尋乘法口訣規(guī)律掃清障礙。在學(xué)生已初步了解得數(shù)特征的基礎(chǔ)上，通過對比9與10之間的微妙關(guān)系，嘗試從減法的角度發(fā)現(xiàn)9的乘法口訣規(guī)律的獨特奧秘。有了前面的鋪墊準(zhǔn)備和例1五角星圖的豐富感性積累，編制9的乘法口訣就水到渠成了。依據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)實，教師放手讓學(xué)生自主編制口訣，使每個學(xué)生親身經(jīng)歷口訣的由來過程。以此為基礎(chǔ)，將著力點放在對9的乘法口訣規(guī)律的進一步探尋上。學(xué)生不僅能根據(jù)以前學(xué)習(xí)的前后口訣之間的一般規(guī)律進行推想，還能根據(jù)9的乘法口訣的特殊規(guī)律進行對比、歸納和推理。通過介紹手指記憶法，把每一個學(xué)生當(dāng)作學(xué)習(xí)資源，運用每一個學(xué)生的雙手來記憶9的乘法口訣，學(xué)生感到新奇、有趣。可以想象，學(xué)生對9的乘法口訣的理解和記憶自然延伸到課外，有效提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性。

二、認(rèn)知結(jié)構(gòu)是掌握技能的關(guān)鍵

布魯納曾經(jīng)指出四條教學(xué)原則，第一條原則為“學(xué)習(xí)的實質(zhì)是主動形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)”。奧蘇貝爾說：“所謂認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就是學(xué)生頭腦內(nèi)的知識結(jié)構(gòu)?！爆F(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)研究告訴我們，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程實際上是一個數(shù)學(xué)認(rèn)知的過程，在這個過程中學(xué)生在教師的指導(dǎo)下把教材知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如何把數(shù)學(xué)本身的知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)？這就需要教師充分認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在本質(zhì)與結(jié)構(gòu)，從兒童的已有認(rèn)知經(jīng)驗出發(fā)，以原有知識為基礎(chǔ)對新的數(shù)學(xué)知識進行加工和改造，然后按照一定的方式將所要學(xué)習(xí)的新知識內(nèi)化到頭腦里面，使新舊知識融為一體，形成穩(wěn)定的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

【教學(xué)片段2】六年級《解決問題的策略：替換》

例題：小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒?jié)M。小杯的容量是大杯的小杯和大杯的容量各是多少毫升？

教師結(jié)合學(xué)生回答完善板書：

師：對比剛才進行的兩次替換解決問題，你發(fā)現(xiàn)有什么不同？

生2：替換的結(jié)果不同，第一次結(jié)果總量不變，第二次結(jié)果總量變化了。

師：為什么第一次替換的結(jié)果不變而第二次結(jié)果變化了？

生：因為第一次是倍數(shù)關(guān)系，替換下來正好；第二次是相差關(guān)系，每次替換下來不正好。

師：再來觀察兩次替換中杯子的總個數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：倍數(shù)關(guān)系的替換，杯子總個數(shù)要么變多了（9個小杯），要么變少了（3個大杯）。

生2：相差關(guān)系的替換，杯子的總個數(shù)不變（都是9個杯子）。

師：是呀！果汁總量不變但杯子總個數(shù)卻變了，果汁總量變了但杯子總個數(shù)卻不變。數(shù)學(xué)就是這么奇妙，在變化和不變之間存在著內(nèi)在規(guī)律，需要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。

數(shù)學(xué)是一門結(jié)構(gòu)性很強的學(xué)科，知識只有形成結(jié)構(gòu)才能達到深度理解并有可能產(chǎn)生新知識。在學(xué)生初步學(xué)習(xí)了倍數(shù)關(guān)系的替換策略之后，教師抓住替換的依據(jù)進行變式，由“小杯的容量是大杯的”改變?yōu)椤靶”娜萘勘却蟊?0毫升”，讓學(xué)生進行替換策略的鞏固，進而逐步形成結(jié)構(gòu)化很強的板書。讓學(xué)生觀察板書時教師進行了三次思辨式提問（替換的依據(jù)、果汁的總量、杯子的總個數(shù)），適時組織學(xué)生討論、辯論，從而使問題得到解決。這樣的設(shè)計與教學(xué)，抓住兩個量之間的關(guān)系，靈活變化，充分調(diào)動了學(xué)生的探究欲望，利用知識間的遷移，在循序漸進中突破了難點，并讓學(xué)生在比較中內(nèi)化已有知識結(jié)構(gòu)，明確了倍比、差比兩種不同類型的替換特征，在變化與不變中讓學(xué)生探尋聯(lián)系，感受到數(shù)學(xué)的一種規(guī)律美。

三、適度練習(xí)是掌握技能的保證

作為教育學(xué)的基本概念之一的技能是指個體運用已有的知識經(jīng)驗，通過練習(xí)而形成的一定的動作方式或智力活動方式。學(xué)生的數(shù)學(xué)技能形成具有階段性特點，因此掌握技能不應(yīng)一蹴而就，應(yīng)該遵循數(shù)學(xué)技能的形成規(guī)律和兒童的認(rèn)知特點，體現(xiàn)循序漸進與螺旋上升。過分重復(fù)與簡單的練習(xí)容易使學(xué)生對學(xué)習(xí)失去興趣與挑戰(zhàn)性，而過早拔高難度與復(fù)雜的應(yīng)用又容易造成基礎(chǔ)知識和基本技能不扎實。 因此，基本技能的形成，需要一定量的訓(xùn)練，但要適度，不能依賴機械的重復(fù)操作，要注重訓(xùn)練的實效性。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在“教材編寫建議”中指出：“習(xí)題的選擇和編排突出層次性，設(shè)置鞏固性問題、拓展性問題、探索性問題等?！?/p>

1.鞏固性練習(xí)設(shè)計

【教學(xué)片段3】四年級《平均數(shù)》

（1）從“移多補少”到“取長補短”。

（課件先出示筆筒圖，動態(tài)顯示移多補少的過程，然后逐步變化為豎著的條形圖，再變化為橫著的條形圖）

（2）從“取長補短”到“求和平分”。

（從橫著的條形圖變化為三條沒有標(biāo)注長度的帶子圖）

提問：如果用取長補短的方法，那最長的那條帶子該剪下多長呢？中等長度的到底需不需要剪下一段呢？（引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生對數(shù)據(jù)的需要，用求和平分的方法求平均數(shù)解決問題）

在學(xué)生初步理解平均數(shù)的來源和意義之后，如何靈活求出平均數(shù)是學(xué)生深度理解兩種方法（移多補少和求和平分）的關(guān)鍵，也是學(xué)生從知識到方法的提升，是由理解到掌握的必由之路。移多補少法是學(xué)生在初步理解平均數(shù)時自然產(chǎn)生的方法，而求和平分法則是更為普遍與簡潔的方法。教師沒有機械地規(guī)定學(xué)生使用哪種方法，也沒有讓學(xué)生每題都要使用兩種方法，而是設(shè)計了由具體到抽象、由簡單到復(fù)雜、由單一到復(fù)合的方法，讓學(xué)生學(xué)會選擇與應(yīng)用：筆筒直觀圖，學(xué)生直接移多補少得出平均數(shù)；豎式條形圖，學(xué)生由實物圖到條形圖進行移多補少；橫式條形圖，學(xué)生由移多補少聯(lián)想到取長補短；沒有數(shù)據(jù)的彩帶圖，學(xué)生用移多補少法無法準(zhǔn)確進行操作；有數(shù)據(jù)的彩帶條形圖，學(xué)生體驗求和平分法的簡便。這樣的設(shè)計，幫助學(xué)生溝通了移多補少法與求和平分法之間的內(nèi)在聯(lián)系，以形成靈活的應(yīng)用技能，達到對平均數(shù)的深度理解。

2.拓展性練習(xí)設(shè)計

【教學(xué)片段4】三年級《認(rèn)識小數(shù)》

教師在學(xué)生初步學(xué)習(xí)例題之后，設(shè)計了三次拓展變式：

（1）第一次變式。（從長條圖表示人民幣單位1元變式為表示長度單位1米）

（2）第二次變式。（從一根長條圖分解疊加變式為正方形，并且從數(shù)量變?yōu)閿?shù)“1”）

（3）第三次變式。（從正方形圖拆解、拼接、濃縮變式為帶有箭頭的直線）

學(xué)生首次認(rèn)識和理解小數(shù)的含義需要完成認(rèn)知上的飛躍。生活中最常見的小數(shù)常常出現(xiàn)在商品標(biāo)價上，因此初次認(rèn)識小數(shù)時從商品價格入手（即例題學(xué)習(xí)），但是要讓學(xué)生認(rèn)識到小數(shù)其實就是十進分?jǐn)?shù)，還需要進一步的感知積累。第一次變式由人民幣單位發(fā)展為長度單位，學(xué)生積累起豐富的感性經(jīng)驗米。第二次變式由具體的數(shù)量發(fā)展為單純的數(shù)（“1”），讓學(xué)生用分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示涂色部分，進而逐步理解了小數(shù)的由來，即“整數(shù)→分?jǐn)?shù)→小數(shù)”。第三次變式由正方形演變?yōu)閹Ъ^的直線，進一步抽象，使學(xué)生逐漸溝通起小數(shù)與整數(shù)、分?jǐn)?shù)之間的密切聯(lián)系。三次變式拓展，讓學(xué)生在動手實踐的基礎(chǔ)上進行觀察、模仿、比較、歸納，經(jīng)歷由具體的數(shù)量轉(zhuǎn)化過渡到一般的十進分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生在有序的數(shù)學(xué)思維活動過程中逐步感知小數(shù)的含義，形成小數(shù)的正確讀寫以及小數(shù)和分?jǐn)?shù)、整數(shù)之間的互化技能。

3.探索性練習(xí)設(shè)計

【教學(xué)片段5】四年級《解決問題的策略：畫圖》

出示探索題的基本條件：張莊小學(xué)原來有一個長方形操場，長50米，寬40米。

（1）出示初步探索的條件和問題：（要求學(xué)生在頭腦中畫圖）

①長增加8米，面積增加多少平方米？

（40×8＝320）

②寬增加8米，面積增加多少平方米？

（50×8＝400）

（2）出示再次探索的問題：（要求學(xué)生先腦中畫圖再紙上驗證）

③長和寬各增加8米，面積增加多少平方米？

（學(xué)生容易產(chǎn)生負(fù)遷移，錯誤列式為320＋400＝720）

通過畫圖，學(xué)生可能出現(xiàn)的正確方法有：

方法一： 40×8＋50×8＋8×8

方法二：（50＋8）×（40＋8） －50×40

方法三：（50＋8）×8＋40×8

方法四： （40＋8）×8＋50×8

長和寬各減少8米，面積減少多少平方米？

（3）出示深入探索的條件和問題：（要求先猜測答案再畫圖驗證）

④長增加8米，寬減少8米，面積改變嗎？為什么？⑤長減少8米，寬增加8米呢？為什么？⑥有沒有一種長方形，一條邊增加與另一條邊減少相同長度，面積不變？

對于四年級學(xué)生來說，畫圖解決圖形面積變化問題是有一定難度的。這道練習(xí)題充滿了探索性，充分體現(xiàn)了畫圖策略的價值所在。教師采用一題多變的方式，讓學(xué)生在運用畫圖策略的過程中探索變化規(guī)律，享受數(shù)學(xué)思維活動的快樂。首先，題目出示的方式具有心理暗示的效應(yīng)：先以文字的“誤導(dǎo)”讓學(xué)生輕易地獲得答案，再通過畫圖的策略尋找問題的關(guān)鍵，并通過對比讓學(xué)生充分感受到畫圖的價值。接下來的變式設(shè)計，更是把數(shù)學(xué)思維推向高潮：由“各增加”到“各減少”的演變使學(xué)生的思維更加趨向嚴(yán)密，由長增加（減少）同時寬減少（增加）相同長度而猜想面積的變化情況，培養(yǎng)學(xué)生的對比推理能力，再通過“變化”和“不變”的追問讓學(xué)生體悟到數(shù)學(xué)辯證法思想。這道拓展題的精心設(shè)計，緊緊圍繞畫圖策略，讓學(xué)生不斷猜測、驗證和聯(lián)想、推理，經(jīng)歷不同情形下的數(shù)形變化，探究圖形變化中的內(nèi)在規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)思維活動中獲得成功體驗。