概念的定義、理解與應(yīng)用
——一定要強(qiáng)調(diào)百分?jǐn)?shù)不能帶單位嗎？

游 迪

在一次數(shù)學(xué)教學(xué)高級研修班上，與會教師圍繞分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系展開了一次“特殊”的研討。討論圍繞以下推理過程展開：

表1 請判斷以下推理過程的對錯(cuò)并解釋原因

表面上看，上述問題是分?jǐn)?shù)、以100為分母的分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)之間的相互轉(zhuǎn)化；而這一問題的背后，實(shí)際上考查的是教師對分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)概念的理解。為了達(dá)到考查目標(biāo)，我們進(jìn)一步在教師中詢問以下問題：噸、20%噸的表述方法對嗎？參與詢問的所有教師說噸的表述是正確的，而20%噸的表述是錯(cuò)誤的。

盡管分?jǐn)?shù)有比的含義，但這里教師很明顯是將分?jǐn)?shù)看成數(shù)量，但卻將20%只看作是一個(gè)比。所以，20%一定不能帶單位。同時(shí)，我們在準(zhǔn)備這篇文章的過程中，也觀摩了幾位特級教師關(guān)于百分?jǐn)?shù)意義的課例，在這些課例中都一致強(qiáng)調(diào)百分?jǐn)?shù)不能帶單位，把20%噸是否正確作為一個(gè)例子，讓學(xué)生進(jìn)行判斷。對于百分?jǐn)?shù)能否帶單位這個(gè)問題，在學(xué)生沒有任何疑問的情況下，教師一再強(qiáng)調(diào)百分?jǐn)?shù)不能帶單位。我們的問題是，有必要如此強(qiáng)調(diào)百分?jǐn)?shù)不能帶單位嗎？一方面分?jǐn)?shù)也具有比的含義，教師對于分?jǐn)?shù)帶單位毫無疑義，而對于百分?jǐn)?shù)帶單位卻堅(jiān)決反對。那么，百分?jǐn)?shù)是不是分?jǐn)?shù)？百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)是否具有共同的數(shù)學(xué)本質(zhì)？

在本文中，我們將繼續(xù)沿用已有系列文章中的框架，依次從數(shù)學(xué)分析、認(rèn)知分析和教學(xué)分析三個(gè)層面對此教學(xué)案例進(jìn)行探討。數(shù)學(xué)分析是從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，討論以上推理是否合理，合理之處在哪，不合理之處在哪，如何解釋或解決。認(rèn)知分析則探討教師和學(xué)生在碰到類似的問題時(shí)，有什么樣的認(rèn)知困難或認(rèn)知障礙，以及為什么會有這樣的困難或障礙。教學(xué)分析則是在對數(shù)學(xué)分析和認(rèn)知分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，以幫助學(xué)生克服認(rèn)知困難，實(shí)現(xiàn)對這個(gè)數(shù)學(xué)概念的清晰理解。我們的重點(diǎn)是沒有必要過分強(qiáng)調(diào)百分?jǐn)?shù)不可以帶單位，以及過分將百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)分割開來，甚至要過分人為的不把百分?jǐn)?shù)看作是一種特殊的分?jǐn)?shù)。當(dāng)然，我們并不否定在很多情境下百分?jǐn)?shù)不能帶單位的事實(shí)。

一、數(shù)學(xué)分析

大約在1650年，百分?jǐn)?shù)的意大利語per cento（每一百中）縮減為百分號“%”，百分號的引入是百分?jǐn)?shù)發(fā)展歷史上的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，百分?jǐn)?shù)的表達(dá)逐漸脫離具體的基準(zhǔn)，其含義更多地傾向于抽象關(guān)系（比及比率）。到了19世紀(jì)，隨著概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展，各種類型的數(shù)據(jù)急劇增長。百分?jǐn)?shù)很快成為數(shù)據(jù)比較的標(biāo)準(zhǔn)方式，百分?jǐn)?shù)的直觀表達(dá)方式如餅圖等也在這個(gè)時(shí)期出現(xiàn)。

數(shù)學(xué)辭海中定義“百分?jǐn)?shù)（percentage）為一種特殊的分?jǐn)?shù)。指分母是100的分?jǐn)?shù)，或表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)分母常用符號‘%’表示，稱為百分號，并寫成分子與百分號并列的形式。例如5%、1.5%……”。該定義強(qiáng)調(diào)百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)，也就是既可以是數(shù)，也可以是比。百分?jǐn)?shù)之所以不容易理解，是因?yàn)樗卸喾N內(nèi)涵。根據(jù)Parker和Leinhardt（1995）對百分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵界定，百分?jǐn)?shù)至少有五個(gè)方面的含義：數(shù)、比、比率、統(tǒng)計(jì)量和算子五種不同的意義。

（2）作為比，本質(zhì)是同類量之比，而且同類量的度量選擇同一度量單位。例如，某某獲得了40%的選票，此處40%意指投給某某的人數(shù)與全部投票人數(shù)的比為40%。

（3）作為比率，是另一種比的形式，其指不同類型量之比。 如某品牌汽車的油耗為5.8%（L/km），某一化學(xué)液體的質(zhì)量濃度為3%（g/ml）。

（4）作為統(tǒng)計(jì)量，即用于表示某一特定數(shù)量相對于另一數(shù)量的相對大小，經(jīng)常被用于表示人口統(tǒng)計(jì)或管理類的統(tǒng)計(jì)量。例如，今年的開銷增長了12%等。作為統(tǒng)計(jì)量的百分?jǐn)?shù)通常有兩種用法：①用單獨(dú)的百分?jǐn)?shù)描述一個(gè)特定的比率（如7.5%的失業(yè)率）；②用兩個(gè)百分?jǐn)?shù)的比（如相較于國家一月份的失業(yè)率7.5%，某省一月份的失業(yè)率為8%，由此來比較國家一月份的失業(yè)率和某省一月份的失業(yè)率）。這兩種用法都是為了省略原始統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，且更易于解釋數(shù)據(jù)所要表達(dá)的含義。

（5）作為一個(gè)算子，反映了自變量（輸入值）和因變量（輸出值）之間的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，在這種情況下，百分?jǐn)?shù)常常揭示兩個(gè)量之間的線性關(guān)系。

首先開展直接數(shù)字化攝影檢查（DR），之后開展高千伏胸片檢查，為了確保兩種檢查方式存在可比性，需要僅調(diào)整直接數(shù)字化攝影檢查（DR）原始圖像的窗寬窗位，不更改其余參數(shù)。選擇柯尼卡干式激光相機(jī)對胸片進(jìn)行打印。通過4名有經(jīng)驗(yàn)的醫(yī)師閱片盲評高千伏胸片，由3名有經(jīng)驗(yàn)的醫(yī)師閱片盲評直接數(shù)字化攝影胸片，胸片質(zhì)量包括1～4的等級，對比兩種檢查方式的密集度、小陰影形態(tài)、分布范圍、診斷分期。實(shí)際一致率為PA，期望一致率為PE。

從百分?jǐn)?shù)的定義來分析，它是“表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)”，這個(gè)定義的本質(zhì)在于兩個(gè)數(shù)之間的比較，但我們知道，數(shù)具有抽象性，就像“1”表示一個(gè)蘋果、一個(gè)人、一頭牛等構(gòu)成的集合在數(shù)量方面的共同屬性。因此，當(dāng)我們考慮現(xiàn)實(shí)問題或物理問題時(shí)，每一個(gè)數(shù)都與特定的事物相聯(lián)系，此時(shí)的數(shù)常以名數(shù)的形態(tài)出現(xiàn)，如3千米、5克等。當(dāng)我們考慮被比較的兩個(gè)對象的物理屬性時(shí)，就有兩種情形：第一種情形，同類量之比，對應(yīng)于比，由于共同的度量單位相消，最后的比值就不帶單位；第二種情形，不同類型量之比，如速度就是路程與時(shí)間的比值，單價(jià)就是物品總價(jià)與物品數(shù)量的比值，此時(shí)對應(yīng)于比率，此時(shí)的百分?jǐn)?shù)就是帶單位的。當(dāng)然，在現(xiàn)實(shí)生活中及現(xiàn)行教材中，百分?jǐn)?shù)更多的都表示同類量的比值，但不同類型量的比值也完全符合百分?jǐn)?shù)的定義。我們沒必要一定要把不同類型量的比值從百分?jǐn)?shù)的含義中剔除掉。

盡管百分?jǐn)?shù)的“比率”的內(nèi)涵與百分?jǐn)?shù)的定義是相容的，但這方面內(nèi)涵的應(yīng)用確實(shí)是比較少見的。百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)量及算子的內(nèi)涵，其本質(zhì)為“比”，因此，百分?jǐn)?shù)最為常見的內(nèi)涵包括兩個(gè)方面：第一類作為數(shù)的含義，可以帶單位；二是作為關(guān)系，即比的含義，不帶單位。

二、認(rèn)知分析

從認(rèn)知角度出發(fā)，教師們認(rèn)為上面案例的推理是錯(cuò)誤的，可能的原因有三個(gè)：①將中的三者均作為數(shù)，故而認(rèn)同三者之間的等量轉(zhuǎn)換；但在推理過程中，將作為數(shù)，20%作為比，從而20%噸的表示是不能接受的，故認(rèn)為推理是錯(cuò)誤的。②將中的三者均作為比，故而同樣認(rèn)同三者之間的比的轉(zhuǎn)換；同樣，在推理過程中，20%噸的表示不能接受，從而認(rèn)為推理錯(cuò)誤。③將中的三者均作為數(shù)，故而認(rèn)同三者之間的等量轉(zhuǎn)換；但在推理過程中，將三者又同時(shí)作為比，但20%噸的表示不能接受，從而認(rèn)為推理是錯(cuò)誤的。

我們通過以上的認(rèn)知分析并結(jié)合對百分?jǐn)?shù)意義的課堂觀摩發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)的教師認(rèn)為，百分?jǐn)?shù)不能帶單位，而且堅(jiān)定地認(rèn)為在課堂有必要給學(xué)生強(qiáng)調(diào)百分?jǐn)?shù)不能帶單位。當(dāng)我們進(jìn)一步追問百分?jǐn)?shù)不能帶單位的原因時(shí)，教師們的回答是百分?jǐn)?shù)是一個(gè)比。那我們要分析這樣的理由是否充分。

我們先回顧分?jǐn)?shù)的引入，人教版數(shù)學(xué)三年級上冊教材引入“幾分之一”時(shí)，呈現(xiàn)了這樣的問題情境：把這塊月餅平均分成4塊，每塊是它的四分之一，寫作把一個(gè)圓平均分成3份，每份是它的三分之一，寫作顯然，分?jǐn)?shù)是在比較意義下引入的，它的本質(zhì)也是一個(gè)比，特級教師吳正憲在她的著作《小學(xué)數(shù)學(xué)基本概念解讀》中也強(qiáng)調(diào)了這一點(diǎn)，她在論述分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的相同點(diǎn)時(shí)，強(qiáng)調(diào)百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)是一樣的，都表示兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，這時(shí)的分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)沒有計(jì)量單位，它們都是率。人教版數(shù)學(xué)五年級下冊教材在“分?jǐn)?shù)的意義與性質(zhì)”的引入中，又呈現(xiàn)了這樣的問題情境：把桌上的月餅、蘋果平均分給兩位同學(xué)，每人得到塊月餅、個(gè)蘋果。此時(shí)的分?jǐn)?shù)就是作為數(shù)來引入的。假如我們把這樣的情境改造一下：把桌上的月餅、蘋果平均分給兩位同學(xué)，每人得到50%塊月餅、50%個(gè)蘋果。盡管這樣的說法和我們習(xí)慣上的說法有一定出入，但這樣的說法沒有邏輯問題，也沒有違背百分?jǐn)?shù)的定義。

既然分?jǐn)?shù)有比的屬性，也有數(shù)的屬性，可以帶單位，那么我們到底承不承認(rèn)百分?jǐn)?shù)是特殊的分?jǐn)?shù)？數(shù)學(xué)辭海中已明確地把百分?jǐn)?shù)界定為特殊的分?jǐn)?shù)，吳正憲在對百分?jǐn)?shù)的描述中也采用了辭海中百分?jǐn)?shù)的定義。如果我們承認(rèn)百分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)，那么分?jǐn)?shù)所具有的性質(zhì)百分?jǐn)?shù)是一定有的。因此，百分?jǐn)?shù)也像分?jǐn)?shù)一樣具有比的屬性，也具有數(shù)的屬性。

再進(jìn)一步分析，百分?jǐn)?shù)到底能不能帶單位，一定要看具體的情境，不能絕對化，不能一再強(qiáng)調(diào)百分?jǐn)?shù)就不能帶單位，絕對量與相對量之間很容易實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。如一瓶鹽水重1千克，鹽的含量為5%，這瓶鹽水中有多少千克鹽？這里的鹽的含量5%就是一個(gè)比，但最后鹽水中的鹽有5%千克，最后的5%千克就是一個(gè)數(shù)量。如果說這里5%千克的表示有誤，非要寫成千克，這又有多大的必要性？如果說僅僅由于百分?jǐn)?shù)是一個(gè)比值，它就不能帶單位，我們把這個(gè)結(jié)論絕對化，可能會帶來一些滑稽的結(jié)果。如，圓周率π就是一個(gè)比，現(xiàn)在的問題是半徑為1厘米的圓面積為多少，答案就是π平方厘米。如果我們說圓周率是一個(gè)比值，不能帶單位，那么這個(gè)問題該如何解答呢？帶不帶單位，帶什么單位，這是物理學(xué)非常關(guān)心的問題，在物理學(xué)專門有量綱分析，解決的就是單位問題。總之，單位往往是由一個(gè)關(guān)系式?jīng)Q定的，因此，在數(shù)學(xué)中考慮單位問題時(shí)，一定要分析數(shù)學(xué)算式的具體情境，針對具體情境才能決定單位的問題。雖然作為比的百分?jǐn)?shù)沒有單位，但是它可以作為一個(gè)算子，當(dāng)輸入量帶單位時(shí)，輸出量有時(shí)盡管還是百分?jǐn)?shù)的形態(tài)，但這時(shí)輸出量已經(jīng)是一個(gè)絕對量了，所以就帶了單位。

而教材在給出百分?jǐn)?shù)定義后，所舉的例子也都是同一類型量的兩個(gè)數(shù)之比，此時(shí)的確沒有單位，那是因?yàn)閮蓚€(gè)比的量的單位被抵消了，而且所有的例題或其他學(xué)習(xí)材料也都只是突出了百分?jǐn)?shù)作為同一類型量比的形式。因此，才會導(dǎo)致教師產(chǎn)生這樣的疑惑。當(dāng)然，百分?jǐn)?shù)帶單位來表示某一數(shù)量在生活中確實(shí)比較少見。

百分?jǐn)?shù)作為分母為100的特殊分?jǐn)?shù)，在不同情境下其內(nèi)涵不同。那么在教學(xué)過程中如何正確、多角度地認(rèn)識百分?jǐn)?shù)，避免理解上的誤區(qū)呢？下面我們對百分?jǐn)?shù)進(jìn)行教學(xué)方面的分析。

三、教學(xué)分析

百分?jǐn)?shù)之所以是一個(gè)讓學(xué)生甚至教師感到困惑的概念，其主要原因在于百分?jǐn)?shù)內(nèi)涵的豐富性。學(xué)生能夠很好地掌握百分?jǐn)?shù)的程序性知識，但其概念性知識對于學(xué)生甚至教師都構(gòu)成了挑戰(zhàn)。然而，教材中舉的例子只強(qiáng)調(diào)了同一類型量的兩個(gè)數(shù)之比的特性。例如，人教版數(shù)學(xué)六年級上冊教材對百分?jǐn)?shù)的定義為“百分?jǐn)?shù)表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾，如14%表示一個(gè)數(shù)占另一個(gè)數(shù)的”，北師大版數(shù)學(xué)教材的定義與人教版數(shù)學(xué)教材的定義類似。而蘇教版數(shù)學(xué)教材定義為“像這樣表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)，叫做百分?jǐn)?shù)，百分?jǐn)?shù)又叫做百分比或百分率”及浙教版教學(xué)教材的定義為這些分?jǐn)?shù)的分母都是100，像這樣表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)叫百分?jǐn)?shù)。百分?jǐn)?shù)又叫百分比（或百分率）”。通過以上定義我們發(fā)現(xiàn)百分?jǐn)?shù)具有數(shù)的屬性。而且目前的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有大量的練習(xí)題目涉及百分?jǐn)?shù)、小數(shù)及分?jǐn)?shù)之間的轉(zhuǎn)化。百分?jǐn)?shù)作為一個(gè)數(shù)，它是小數(shù)和分?jǐn)?shù)的另一種表征形式而已，這種表征有它的優(yōu)勢。因此，我們建議教材在舉例時(shí)不僅要突出百分?jǐn)?shù)作為比的屬性或形式，還應(yīng)該舉一些體現(xiàn)百分?jǐn)?shù)作為數(shù)的屬性的例子。

此外，從前面的案例可以發(fā)現(xiàn)，目前教學(xué)中或許太過強(qiáng)調(diào)百分?jǐn)?shù)不能帶單位，以至于教師和學(xué)生逐漸形成一種思維定式，一提到百分?jǐn)?shù)就只能是兩個(gè)同類型量的比，完全是一種不同于分?jǐn)?shù)的數(shù)，因而一定不能帶單位。但根據(jù)百分?jǐn)?shù)的五種屬性，在教學(xué)中教師要使學(xué)生形成百分?jǐn)?shù)的概念意象，加強(qiáng)百分?jǐn)?shù)的概念性理解，豐富對百分?jǐn)?shù)內(nèi)涵的體驗(yàn)，就需要給學(xué)生提供豐富而恰當(dāng)?shù)那榫场?/p>

從百分?jǐn)?shù)作為數(shù)的屬性方面來說，以分為單位去度量元，那么1分就是1%元。用百分?jǐn)?shù)表示這種變化率及特定比值的情況比較少見。但也有一些很生動(dòng)的例子，如某品牌汽車的油耗為5.8%（L/km），某化學(xué)液體的質(zhì)量濃度為3%（g/mL）。

根據(jù)前文對百分?jǐn)?shù)內(nèi)涵的分析，百分?jǐn)?shù)可以作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，如2018年中國GDP比上一年增長6.6%，雖然這里的6.6%來自一個(gè)比，但它實(shí)際上也是可以直接用于比較大小的數(shù)。比如，2017年的中國GDP增長量為6.9%，所以2018年的增長量少于2017年增長量的0.3%。這樣的百分?jǐn)?shù)是能夠直接用于計(jì)算或者進(jìn)行大小比較的。

另外，對于百分?jǐn)?shù)作為比的屬性，在教學(xué)中教師可給學(xué)生提供下面的例子，幫助學(xué)生體會百分?jǐn)?shù)作為比的含義與數(shù)的含義的區(qū)別。

“在星期六售出的雪糕中，有40%是巧克力味的。在星期天售出的雪糕中，有50%是巧克力味的。于是小林說，雪糕店在星期天售出的巧克力味雪糕比在星期六售出的巧克力味雪糕多，因?yàn)?0%比40%大。你認(rèn)為小林說的對嗎？試加以解釋?！?/p>

分析小林的說法，首先要搞清楚這里50%與40%的含義，這里的50%與40%是兩個(gè)比，分別表示“雪糕店周六巧克力蛋糕的賣出率及周日巧克力蛋糕的賣出率”，這兩個(gè)賣出率可以比較大小，所以小林說50%比40%大，這個(gè)說法是沒問題的。但小林的錯(cuò)誤在于把“比”看成是數(shù)量進(jìn)行比較，要得到數(shù)量，必須還要考慮50%與40%的參照量，即雪糕店周六、周日賣出的巧克力總量。

因此，教師在教學(xué)過程中需要注意，百分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵是豐富的，什么情境下是比，什么情境下是數(shù)。只有引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析情境，搞清楚每一個(gè)情境下百分?jǐn)?shù)的確切內(nèi)涵，學(xué)生才有可能做出正確的判斷。而由于擔(dān)心學(xué)生會混淆相對比及數(shù)量，一味強(qiáng)調(diào)百分?jǐn)?shù)不能帶單位的做法是不可取的。

如果把百分?jǐn)?shù)理解為比，而把比僅限于同類量之間的比，一再強(qiáng)調(diào)比不能帶單位，這種做法會給以后的教學(xué)帶來干擾。如，在正比例的學(xué)習(xí)中就是一個(gè)比，假如我們給正比例賦予具體情境，如當(dāng)速度保持恒定時(shí)，距離與時(shí)間之間就是一個(gè)正比例關(guān)系。如果我們一再強(qiáng)調(diào)比不能帶單位，那么這里的速度就沒有單位。

四、結(jié)語

百分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，雖然小學(xué)階段對百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用并不多，而且也只在六年級時(shí)才開始接觸，但作為一類重要的數(shù)，教師首先要明確其內(nèi)涵和意義。借助Parker 和 Leinhardt 的研究結(jié)果，提出了百分?jǐn)?shù)的五個(gè)方面的內(nèi)涵，可能有一些小學(xué)教師對百分?jǐn)?shù)作為一個(gè)數(shù)及不同類型量之間的比有質(zhì)疑。然而，百分?jǐn)?shù)作為數(shù)的屬性及作為不同類型量之比的屬性與百分?jǐn)?shù)的定義是完全相容的。當(dāng)然，百分?jǐn)?shù)作為一個(gè)數(shù)及作為不同類型量之比的屬性在日常生活中不多見。

根據(jù)其五種內(nèi)涵，教師在教學(xué)過程中應(yīng)該幫助學(xué)生明晰百分?jǐn)?shù)作為比和數(shù)的兩種屬性，而且這兩種屬性需要依賴問題所在的情境才能進(jìn)行判斷。由于百分?jǐn)?shù)既有數(shù)的內(nèi)涵，又有比的內(nèi)涵，這就使得學(xué)生極容易犯錯(cuò)誤，有時(shí)會把百分?jǐn)?shù)比的含義理解為數(shù)的含義。教師要引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)真分析問題情境，結(jié)合具體情境厘清百分?jǐn)?shù)的數(shù)的含義與比的含義。

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，沒有必要一再強(qiáng)調(diào)百分?jǐn)?shù)不能帶單位，一方面這樣的強(qiáng)調(diào)缺乏充分的依據(jù)，有理數(shù)從本質(zhì)上講就是比，但我們并沒有對有理數(shù)可以帶單位產(chǎn)生過質(zhì)疑；另一方面，過于強(qiáng)調(diào)比不能帶單位會給以后的教學(xué)帶來干擾，尤其不利于學(xué)生學(xué)習(xí)正比例的相關(guān)內(nèi)容。

本文并不是要強(qiáng)調(diào)教師要教給小學(xué)生百分?jǐn)?shù)的五種內(nèi)涵，而是希望通過對案例的分析，幫助教師明晰對百分?jǐn)?shù)內(nèi)涵的認(rèn)識，并在遇到類似問題時(shí)，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)分析、認(rèn)知分析和教學(xué)分析這一框架進(jìn)行其他教學(xué)案例的分析，從而從數(shù)學(xué)的本質(zhì)、學(xué)生學(xué)習(xí)的特點(diǎn)以及教學(xué)設(shè)計(jì)的角度改進(jìn)自己的教學(xué)，提升學(xué)生學(xué)習(xí)水平，促進(jìn)自己的專業(yè)發(fā)展，逐漸成長為研究型教師。

①：“游迪”一名取自美國特拉華大學(xué)校名的英文縮寫（UD），是蔡金法教授（西南大學(xué)、University of Delaware）及訪問學(xué)者共同使用的筆名。作者還包括姚一玲（杭州師范大學(xué)教育學(xué)院）、賈隨軍（浙江外國語學(xué)院教育學(xué)院）、張玲（西南大學(xué)數(shù)統(tǒng)學(xué)院）、劉啟蒙（北京師范大學(xué)中國基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測協(xié)同創(chuàng)新中心）、鞏子坤（杭州師范大學(xué)理學(xué)院）、陳雪梅（河北師范大學(xué)教師教育學(xué)院）、徐冉冉（西南大學(xué)數(shù)統(tǒng)學(xué)院），特別感謝澳門大學(xué)江春蓮教授提出的寶貴意見。本文是根據(jù)蔡金法教授和訪問學(xué)者們在數(shù)學(xué)教育討論班中的若干研討內(nèi)容整理而成。這一討論的最終目的是通過對教學(xué)實(shí)踐案例的研究，讓高校的數(shù)學(xué)教育研究者關(guān)注并參與到一線數(shù)學(xué)教育實(shí)踐，共同學(xué)習(xí)和探討這一過程中產(chǎn)生的問題，讓高校的理論研究能夠更好地為教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行服務(wù)。